2021年考研数学（二）真题.pdf

2 0 2 1 年全国硕士研究生招生考试数 学（二）（科目代码3 0 2）一、选择题（1 1 0 小题，每小题5 分，共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.）（1）当x 0 时，（e-1）d t 是x 的（).（B）等价无穷小（A）低阶无穷小C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小工0.（2）磁数/（4）.在x =0 处（）._x=0（B）连续且取最小值（A）连续且取最大值（D）可导且导数不为零（C）可导且导数等于零（3）有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2 c m/s，3 c m/s，当底面半径为1 0 c m，高为5 c m 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）.（B）1 2 5 x c m 3/s，一4 0 c m 2/s（A）1 2 5 c m 2/s，4 0 c m 2/s（C）-1 0 0 c m 2/s，4 0 c m 2/s（D）-1 0 0 c m 3/s，-4 0 c m 2/s的取值范围是（）.（4）设函数 f（x）=a x b l n x（a 0）有两个零点，则-红(B)(0,)(A)(e,+0 o)e f o.)(D(4.+)（5）设函数f（x）=s e c x 在x=0 处的2 次泰勒多项式为1 a x+b z 2，则（）.-(B)a=1,b=（A）a=1，b=一+一少/a v1一(D a =0 b=-（C）a=0，b=一22（6）设函数f（x;y）可微，且f（x+1，e）=x（x+1）2，f（x，x 2）=2 r I n 工，则d f（1，1）=().(D)-d y(C)d y(B)d x-d y(A)d r +d y2 0 2 1 年数学（二）试题 第1 页（共4 页）f(x)d x =().（7）设函数 f（x）在【0，1】上连续，则(=1)2 6 二）(B)l i m-少(A)l i（云2），(D l m /()?(C l i m下、（8）设二次型f（x;，2，x;）=（x;x z）2（x。工3）2-（z;-x;）2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（）.(C)2,1(B)1,1(D)1,2(A)2,0（9）设3 阶矩阵A=（a，。，y），B=（，B。，、），若向量组;，。可以由向量组，B z，、线性表出，则（）.（A）A X=0 的解均为B X=0 的解（B）A X=0 的解均为B T X=0 的解（C）B X=0 的解均为A X=0 的解（D）B X=0 的解均为A X=0 的解言言量一心，若存在下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q，使得).P A Q 为对角矩阵，则P，Q 分别可以取（长景m:l ,9),)t 5，引（）(C)二、填空题（1 1 1 6 小题，每小题5 分，共3 0 分.请将答案写在题中的横线上.）(1 1)x|3-*d r=_&y(r =2 e+1+1,所确定，则（1 2）设函数y=y（x）由参数方程_y=4(1-1)e +t（1 3）设函数z=z（x，y）由方程（x+1）z 十y l n z 一a r e t a n 2 x y=1 确定，则下”=_ _ _（1 4）已知函数 f（）=J d-J_ s i n 等d y，则（工）=_（1 5）微分方程 y 一y=0 的通解为_ _ _.部学中x 3 项的系数为_ _ _ _.（1 6）多项式f（x）=2 0 2 1 年数学（二）试题 第 2 页（共4 页）三、解答题（1 7 2 1 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1 7）（本题满分1 0 分）1+飞任求极限I l i me-1s i n 工（1 8）（本题满分1 2 分）忙一“一已知 f（x）=干求f（x）的凹凸区间及渐近线.1+x（1 9）（本题满分1 2 分）（二a x=号r -+C，L 为曲线y=f（r）（4 x 9）L 的弧长设函数f（x）满足为s，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面面积为A，求s 与A.2 0 2 1 年数学（二）试题 第 3 页（共4 页）（2 0）（本题满分1 2 分）设y=y（x）（x 0）满足微分方程x y -6 y=-6，且满足y（）=1 0，（I）求 y（x）;（）设P 为曲线y=y（x）上的一点，曲线y=y（x）在点P 的法线在y 轴上的截距为1 I，为使I p 最小，求P 的坐标.（2 1）（本题满分 1 2 分）曲线（z 2+y）=x 2 一y（r 0;y 0）与x 轴围成的区域为D.求z y d r d s.（2 2）（本题满分 1 2 分）昌仅有两个不同的特征值.若A 相似对角于对角矩阵，求常数a，b 的值，并求可逆矩阵P，使得P-A P 为对角矩阵.2 0 2 1 年数学（二）试题 第 4 页（共4 页）