2018数学一解析.pdf

2018年数学（一）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（D）.【解解】方法一 对/（工）=cos/H|,心）_/（0）=讪 cos/T订-1=_恤 Ll!不存在，即/（）=cosTT 在z=0 0 X Lo X Z lo x处不可导，应选（D）.方法二当/（jc）=|工|sin|时,f（jr）-/（0）工2,/（工）在工=0处可导且导数为0,不选（A）；32当/（X）=|工I sin/工I时，/（）-/（0）I I，/（工）在工=0处可导且导数为0,不选（E）；当/（x）-cos|JC I时一*攵2,于（工）在工=0处可导且导数为0,不选（C）,应选（D）.【答案】（E）.【解解】设切点为（工0，九，6）,则(2 I 2之0=无0十夕0，y(2jc 0 9 2y0 1)(1 1?0)=0 9|(2Ho,2j/o，1)(工01,夕0,20)=0,To=0,卜0=1,解之得屮y o=0，或屮y o=1,J=0,J=2,故所求切平面为z=0或2x+2z=2.应选(E).（3）【答案答案】（B）.【解解】n=02n+3(2/?+1)!=cos 1+2sin 1,应选（B）.（4）【答案答案】（C）.2【解解】(1+工)1+工22工 1+川丿+川丿当当守冬工守冬工ww守时,守时,i+ycosx i(l+TTT)1山 即 K MN.应选(C).2 J 2 J 2 e（5）【答案答案】（A）.【解解】方法一I110/I1/I0-1令M=01】,A=0B=011o0I101/o01-101/I 1一1I10C=0 10,D=01o 01丿o0显然矩阵A,B,C,D的特征值都是4=入2=入 3=1 9o-1 0 /O0-1,E-A=00 0 0-100,-cJ：o-1/00100,E-D=0000oo00因为 r(E-M)=r(E-A)=2,所以应选(A).方法二z1 1z11取p=0 10,则P1 _(110,o 0Jo01I1 110/!1I1因为pT 0 11 P=011，所以（，1与0o 01 10100J0（6）【答案答案】(A).【解解】(A,AB)=A(E,B)9显然r（A,AB)=r_A(E,B)W 厂(A)9；相似，应选（A）.0 1 又 r(A,AB)r(A),于是厂(A,AB)=r(A),应选(A).（7）【答案答案】（A）.【解解】f/(jr)da-=f/(jc)djr=/Udz 0.3,Jo J 1 2 J 0PCX V0)=I/(j?)djr=I f(j2)dx 一 I/(jc)djr=0.5 一 0.3=0.2,应选应选(A).J OO J OO J 0【答案答案】(D).【解解】若/已知，则假设的接受域：uua，其中一为正态分布的斗（上）分位数.7 7 2若7 2未知，则假设Ho的接受域：|z|z（7?1）,其中Z （72 1）为自由度是n 1的7 TryI分布的守（上）分位数.显然检验水平a变小，接受域都变大.应选（D）.二二、填空题填空题(9)【答案答案】一 2.【解解】因为limj-*o sin kx1 一 tan x1+tan jc1)=lim t/lo sin kx2tan 攵1+tan xlim-r-*o kx_ 2z1+tan jck故limH-*01 tan x1+tan x_2_=e k=e，艮卩怡=2.(10)【答案答案】2(ln 2-1)【解解】/(l)=(2-r)，|J=1=21n 2,xffx)dj?=x(jc)=jr/z(j?)I ff(x)d:r=/z(1)/(1)+/(0)J 0 J 0 I o Jo=21n 2 2=2(ln 2 1).(11)答案答案】i_k.ijk【解解】rot F(1,1,0)=aa齐=(yi zj 一 jck)|=i k1,1,0)yzzx(1,1,0)(12)【答案答案】一寻一寻【解解】(工(工+yz 十十 hz)ds=(z+夕夕+z)2 (j:2 y2+z2)Ud.s(13)【答案答案】1.【解解】5,02是A的线性无关的特征向量，则a.a2是的线性无关的特征向量.由A2(a t+a2)=5+a2,得ai+a?也为 的特征向量，因此有二重特征值入=1.因为A有两个不同的特征值，所以A的特征值为右=1,入2=1，于是|A|=-1.(14)L答案答案】4【解解】由 BC=0,得 P(BC)=0,因为 ABC CZ BC,所以 P(ABC)=0.P(AC|AB U C)=PACCAB U C)P(AE U C)PiCABC)U(AC)PCAB U C)P(AC)PCAB U C)P(A)P(C)P(A)P(B)+P(C)P(ABC)和|x|+P(C)-0_1 I解得p(c)=4三三、解答题解答题(15)【解解】j e2a arctan Jez 1 djr丄=_2arctan J er 1 de2r-e2 r arctan Jez 1-e2r darctan 一=-e2j arctan yer 1-2 4.2jc-j i r-dx=e2 r arctan Jer 1-eJ d J 1艮 一 1 2 2 J _ _ r _=e2j arctan 一-(e Ve1 J de)_ i _ 9-=e2r arctan J -er/er 1-(er 1)2 +C=-e2j arctan%/er 1-(e7+2)J +C.Z 6(16)【解解】设铁丝分成的三段长分别是x,y,z,则e+jz+n=2 9且依次围成的圆、正方形与 正三角形三个图形的面积之和为2+(汀+毎)Y+召+符2 2/o构造拉格朗日函数：L(h)=+z2+入(工+y+z 2)4兀 16 36L：=-A=0 9Z7C兀+4+3/3匸=寻+入0,L：=豊乂+A=0,0,No兀+4+3/3637t+4+3此时/(工0，夕0，Zo)又当x+y+z=2 xyz=0时,/(jf,y,z)的最小值为/IO,所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为f(a:0,y0,z0)=4+373/4+31(17)【解解】补曲面：37+拧=取后侧，。为丫与5所围成的立体利用高斯公式可得x ddz+(y3+2)dzdj?+z3 d.r dj/一 Lr ddz+(3/3+2)dzdx+z3 djr dj/工+工”(1+3丿$+32)d:r dydz 一 0=(1+3夕+32)djr dj/dz利用柱坐标变换y=厂cos 0 9之rsin 9=x得(1+3y2+3于)djr dydz=f d0dr f J o J o J I/一3/(1+3r2)rd:r=2tc3 J 一 3厂2(1+3r2)rdr=牛 o 3 J(14tc：()九45令QQ无02 k得y o8Itt+4+3 站=j：+y+z 2工=0,0Q0814+3始7t+4+3 3(18)【解解】(I)当/(j?)=x时，方程化为yf y=x，其通解为y=eJ(C+j?djr)=e_ r(C j:ex 一 eJ)=C e_J+jc 一 1.-加(II)方程y/y=f(c)的通解为y=ereJd7()d,C+即夕=eC+j ez/(f)drj.得 y(工+T)一 y(z)=e_(丁 一 1)C+e f(t)d/J e1 f(t)dz若于(工)是周期为T的连续函数，则1 C-t-r 1 rr i p+T e f(t)dt=节 e f Ct)dt 下 e f(Z)dze J o eJo e J t=fTe,f(i)d+-fJ eu+Tf(u+T)duJ o e J o为周期的解.c+te J Tef(u)du=占e工o,所以L=D工19y(jc+T)y(j?)=C)9即方程存在唯一的以T(19)【证明证明】因为xxe+0Tef(t)dt,0e f(t)dto由微分中值定理，存在乂()，使得叮十即因此05 Vs工卄1 _ j假设 0 工”+1 工”，则 e”+2=eV0 7 s+Q,得 0 工”+2 0时,/z(jr)=jt eJ 0,函数/(x)在0,+)上单调增加，所以a=0是方程ae=eu 1在0,+*)上的唯一解，故limg=0.”一8(20)【解解】(I)/(Jf 1,jC 2,JC 3)=(X!JC 2+3)2+(攵2+鼻3)+(工 1 aX=0 的充分必1 0 2卜1 一工2+攵3=0,要条件是(攵2+工3=0,对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得x 1+ax 3=0.Z1-1(1-1 1,/I-1 1 A=0 11-0 1 IP 1 1，4 0J、0 1 a-1o0 a 2a 2 日寸 9 f(工9乂 2 9*2?3)=0只有零解X=(JC!,JC 2，攵3厂=(0,0,0)T,2=2 时，1 1 I,o 0 Q)f(JT!,乂2，乂3)=0 有非零解 x=(JC!，工2,攵 3)T=k(2,1,1)T,其中 k#0.卩/I-1 1/1(Il)aH2 时，令 32=0 1 1 br2，J 1 0 a 工3所以fxx,X2,JC3)的规范形为/(歹1，2，夕3)=式+工+工.Q=2 时 91-111-11Z1-1011=011=a 2工0,则矩阵011可逆,10 a00a 一 240 af(X!，工 29 乂 3)=(壬1 工2+乂 3尸+(无 2+工3)+(力1+2 JC 3)?=2jc 1+2x 2+6jc 3 2工 1 工 2+6n 3 3=2(工一无：+工彳)？+JC +x +3jC233=2(工1 x2+工3)2+(工2+3)2所以/(,口2宀)的规范形为f(yi y2 3)=y+yl-(21)【解解】(I)显然厂(A)=2,因为初等变换不改变矩阵的秩，所以厂()=2,而门：；1 12 /I a 2/I a1-*o 1 I。1r o a+13，0 02 _ a令 P=(X|,x2,x3),I122/122(n)a=130.B=0127-2/111I122122I106344 由(A*)=130011 k 01-2-1-1_ 1得7-2-11I。00000 6k 2+42&2 1I 6!+3 则所求的可逆矩阵为P=2R1-6k2+4 一6怂+42紅一1 2孔一1(紅，紇，孔为任意常数且k2 k3k2 H 怂).(22)【解解】(I)因为E(X)=O,E(X2)=1,E(Y)=入，以及X,Y相互独立，故 Cov(X,Z)=Cov(X,XY)=E(X?Y)E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)-E2(X)E(Y)=A.(H)由Y服从参数为入的泊松分布即P(V=j)=e A(j=0,1,2,),于是，Z的所 J!有可能取值为全体整数.故Z的概率分布为1)当怡为正整数时，有P(Z=b)=P(XY=b)=P(X=l,Y=b)=P(X=l)P(y=b)1 z k=(k=1,2,3,)，z k!2)当怡为负整数时，有P(Z=k)=P(XY=b)=P(X=1,Y=T)=P(X=l)P(Y=T)3)当怡为0时，有P(Z=0)=P(XY=0)=P(X=l,Y=0)+P(X=l)P(Y=0)=P(X=l,Y=0)=1 kC/7、e(k=1 9 2,3，)96(k)!1-A I 1-A _-A=7e+7ei P f 7TFe 5 故 p(z=e)=丿，i 厂 f 2(厂！k=1，2 9 3 9 b=0 9k=1,2，一 3,(23)【解解】(I)似然函数为L(工1 9工2，9工n“)=11心心i=1(J)丄牘Z2”coo J?i+o,z=1,2,于是 In L=一 n In 2 7?In cr 一-Sl-.-l 1=11人 din L 令I 2 丨広i I=0 得C的最大似然估计量为c=I Xi|.c C 2=1(H)EG)=丄丄e(|x,|)=e(n z=if+=jc de a=一 x e aJ odG)=1d(|x,|)兀i=1Tn J Tn J d(7+00M+oo 1 丨工丨I 工 I y-e djr=8 厶O+0+_王 e a=o.oD(|X|)_E|X|2-E2(|X|)n1 _1j_L京 djx2 de o2jc e djr-(72一 CT2x e cLrCTn丁 2 xX _7 i 2e ax 一 aa)=(2(72 一 CT2)=/nn=0n-)4(rn