全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案)_中学教育-竞赛题.pdf

全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（1）已知17xx（01x），则1xx的值为（B ）（A）7 （B）5 （C）7 （D）5【解】21125xxxx （），15xx 又01x，15xx.故选（B）（2）若关于x的方程2230 xxm 的一个根大于2且小于1，另一个根大于 2 且小于 3，则 m 的取值范围是（C ）（A）98m （B）9148m （C）95m （D）142m【解】根据题意，由根的判别式980m，得98m 设223yxxm，由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，当2x 时，有860m ，即14m；当1x 时，有230m ，即5m；当2x 时，有860m ，即2m；当3x 时，有1890m，即9m 综上，95m.故选（C）（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为1v，2v，3v，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D ）（A）1233vvv （B）1231113vvv （C）1231111vvv（D）1233111vvv 【解】设这段公路长为 3s，则三个不同路段的长度均为 s，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为iistv（1,2,3i），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 123123123333111ssvssstttvvvvvv 故选（D）（4）已知边长为 1 的正方形 ABCD，E 为 CD 边的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿ABCE运动，设点 P 经过的路程为x，APE的面积为y，则y关于x的函数的图象大致为（A）y x O 1 2 2 1 3 1 2 3 C E D x（D）y O 2.5（A）1（B）x y O 2.5 1（C）x y O 2.5 1 x y O 2.5 1【解】由已知，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，如图，当点 P 在 AB 边上运动时，APx（10 x），12yx；如图，当点 P 在 BC 边上运动时，ABBPx，即1BPx（12x），有2CPx，ABPECPADEABCDySSSS正方形=11111131(1)(2)12222244xxx ；如图，当点 P 在线段 CE 上运动时，ABBCCPx，有52EPx （252x），1551()12242yxx 故选（A）（5）已知矩形 ABCD 中，AB=72，AD=56，若将 AB边 72 等分，过每个分点分别作 AD 的平行线；将AD 边 56 等分，过每个分点分别作 AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为 1 的 72 56个小正方形于是，被对角线 AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有 AC 上的两个点）共有（D ）（A）130 个 （B）129 个 （C）121 个 （D）120 个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得)56,0(),0,72(),0,0(DBA，则)56,72(C 因为AC 与水平线（含 AB与 DC）、竖直线（含 AD 与 BC）中的每一条都相交，所以有 57+73=130 个交点（含重合的交点）由表示直线 AC 的正比例函数为79yx，于是重合的交点坐标为（9k，7k）（k 0，1，2，8）即有 9 个重合的交点 因此共有1309121 个彼此不同的交点，它们将对角线 AC 分成 120 段，每段仅穿过 1 个小正方形，于是 AC 共穿过 120 个小正方形故选（D）二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分)（6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y，则由x，y所确定的点(,)M x y在双曲线6yx上的概率等于19.【解】1 2 3 4 5 6 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线6yx上，因此所求的概率等于19 x y A B C D E P 图 A B C D G P 图 又故选的一个根大于且小于另一个根大于且小于则的取值若关于的方程范围是解根据题意由根的判别式得设由已知画出该二次函数的大致图象观察图象当当当当综上故选某段公路由上坡平坡下坡三个等长的路段组成已知一辆汽车在段公路长为则三个不同路段的长度均为此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为故选已知边长为的正方形为边的中点动点在正方形边上运动设点经过的路程为的面积为则关于的函数的图象大动时有图故选图已知矩形中若将边等分过每个分点分别作的平行线将边等分过每个分点分别作的平行线则这些平行线把整个矩形分成了边长为的个小正方形于是被对角线从内部穿过的小正方形小正方形内部至少有上的两个点共有个（7）计算999 9991999nnnn个个个（2n 的整数）的值等于 100 【解】根号内的被开方数可化为 2999 999 10999999(999 1)10999 101010.nnnnnnnnnnn 个个个个个个 所以2999 999 199910100nnnnnn个个个（8）若p是质数，且3p 整除5p，则2009p的末位数字是 2 .【解】当2p 时，35p ，510p，5 能整除 10；当p是奇质数时，3p 为偶数，5p为奇数，而偶数不能整除奇数，此时p不满足“3p 整除5p”的条件.综上，2p.于是200920094 5025022(2)22 16p .由50216的末位数字是 6，所以2009p的末位数字是 2.（9）如图，四边形 ABCD 中，105ACBBAD，45ABCADC，若2AB，则CD的长为 2 【解】如图，过点 A作EAAB与 BC 的延长线交于点 E，则90EAB.在ABC中，由45ABC，105ACB，得30CAB 60EACEABCAB 105BAD，75DACDABCAB，又18075ACEACB ，DACACE 又在ACD 中，18060ACDDACADC ，ACDEAC ACECAD有CDAE 而在 RtABE 中，45ABC，2AEAB，2CD.（10）如图所示，在圆环的 10 个空格内分别填入 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数字，将所有相邻两 个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为 50 【解】设相邻格子内的两数为a，b，且ab，则baba，共有 10 个差，要使这 10 个差的和最大，其中 10 个被减数a应当尽量大，10 个减数b应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6 各当作两次被减数，5，4，3，2，1 各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为 2(109876)2(54321)50 如图，是满足条件的一种填数字的方法 5 4 6 7 10 9 8 3 2 1 D C B A E 又故选的一个根大于且小于另一个根大于且小于则的取值若关于的方程范围是解根据题意由根的判别式得设由已知画出该二次函数的大致图象观察图象当当当当综上故选某段公路由上坡平坡下坡三个等长的路段组成已知一辆汽车在段公路长为则三个不同路段的长度均为此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为故选已知边长为的正方形为边的中点动点在正方形边上运动设点经过的路程为的面积为则关于的函数的图象大动时有图故选图已知矩形中若将边等分过每个分点分别作的平行线将边等分过每个分点分别作的平行线则这些平行线把整个矩形分成了边长为的个小正方形于是被对角线从内部穿过的小正方形小正方形内部至少有上的两个点共有个三、解答题（本大题共 4 小题，每小题满分 20 分，共 80 分）（11）（本小题满分 20 分）已知 2xyxy，3xzxz，4yzyz，求752xyz的值.【解】2xyxy，1112xy，同理 1113xz ，1114yz.10 分 由+-，得2111234 x，解得247x.由+-，得2111243y ，解得245y.由+-，得2111342z ，解得24z.所以，7520 xyz.20 分 （12）（本小题满分 20 分）从一个等边三角形（如图）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有 18 个尖角的图形（如图）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线 如果设原等边三角形边长为 a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第 1 次生长后，得图，每个小等边三角形的边长为13a，所形成的图形的周长为4a 请填写下表：（用含a的代数式表示）第 1 次 生长后 第 2 次 生长后 第 3 次 生长后.第 n 次 生长后 每个小等边 三角形的边长 13a 所形成的 图形的周长 4a 【解】第 1 次 生长后 第 2 次 生长后 第 3 次 生长后.第 n 次 生长后 每个小等边 三角形的边长 13a 19a 127a 1()3na 10 分 图 图 图 图 又故选的一个根大于且小于另一个根大于且小于则的取值若关于的方程范围是解根据题意由根的判别式得设由已知画出该二次函数的大致图象观察图象当当当当综上故选某段公路由上坡平坡下坡三个等长的路段组成已知一辆汽车在段公路长为则三个不同路段的长度均为此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为故选已知边长为的正方形为边的中点动点在正方形边上运动设点经过的路程为的面积为则关于的函数的图象大动时有图故选图已知矩形中若将边等分过每个分点分别作的平行线将边等分过每个分点分别作的平行线则这些平行线把整个矩形分成了边长为的个小正方形于是被对角线从内部穿过的小正方形小正方形内部至少有上的两个点共有个所形成的 图形的周长 4a 163a 649a 143nna （13）（本小题满分 20 分）已知m，n为正整数，关于x的方程2()0 xmnxmn有正整数解，求m，n的值【解】设方程2()0 xmnxmn的两个根为，则,.mnmn 由m，n，均为正整数，不妨设1，mn1，于是，()mnmn 即(1)(1)(1)(1)2mn 10 分 当(1)(1)2 时，(1)(1)0mn，有1n 只有=3，=2，此时5m；当(1)(1)1 时，(1)(1)1mn，只有=2，=2，此时2m，2n；当(1)(1)0 时，有=1，(1)(1)2mn，得3m，2n 所以，5,1;mn 或2,2;mn 或3,2.mn 20 分 （14）（本小题满分 20 分）已知点P是锐角ABC内的一个点，且使PCPBPA最小，试确定点P的位置，并证明你的结论【解】如图，分别以BCAC,为边向外作正ACB，正BCA，连接,AABB交于点P，则点P即为所求 5 分 证明如下：易证BCBCAA 有CAABCB 60BCABPA APB与BPA为对顶角，APB60 BPA 10 分 在PB上可截取APPD，连接CPAD,，有APD为正三角形 20 分 A B A C B D P 又故选的一个根大于且小于另一个根大于且小于则的取值若关于的方程范围是解根据题意由根的判别式得设由已知画出该二次函数的大致图象观察图象当当当当综上故选某段公路由上坡平坡下坡三个等长的路段组成已知一辆汽车在段公路长为则三个不同路段的长度均为此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为故选已知边长为的正方形为边的中点动点在正方形边上运动设点经过的路程为的面积为则关于的函数的图象大动时有图故选图已知矩形中若将边等分过每个分点分别作的平行线将边等分过每个分点分别作的平行线则这些平行线把整个矩形分成了边长为的个小正方形于是被对角线从内部穿过的小正方形小正方形内部至少有上的两个点共有个易证APCADB可得DBCP BBDBPBPDPCPBPA为定值15 分 在ABC内任取一点M（不同于点P），连接MA，MB，MC 将AMC以点A为旋转中心逆时针旋转60，AC与BA 重合，得BAG 有BAG AMC 可得CMGB 连接GM，则AGM为正三角形，有MGMA BGMGBMGBMBMGMCMBMA 由于折线BBBGMGBM 点P到三个顶点A，B，C的距离之和最短 20 分（若以AB为边向外作正ABC，可得CCBBAA）A B C B GM 又故选的一个根大于且小于另一个根大于且小于则的取值若关于的方程范围是解根据题意由根的判别式得设由已知画出该二次函数的大致图象观察图象当当当当综上故选某段公路由上坡平坡下坡三个等长的路段组成已知一辆汽车在段公路长为则三个不同路段的长度均为此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为故选已知边长为的正方形为边的中点动点在正方形边上运动设点经过的路程为的面积为则关于的函数的图象大动时有图故选图已知矩形中若将边等分过每个分点分别作的平行线将边等分过每个分点分别作的平行线则这些平行线把整个矩形分成了边长为的个小正方形于是被对角线从内部穿过的小正方形小正方形内部至少有上的两个点共有个