2022年全国甲卷高考理科数学真题及答案.pdf
20222022 年全国甲卷高考理科数学真题及答案年全国甲卷高考理科数学真题及答案注意事项：注意事项：1 1答卷前答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上，并认真核准并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2 2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动如需改动，用橡皮擦干用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。1若13iz ，则1zzz（）A13i B13i C13i33D13i332某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集 2,1,0,1,2,3U ，集合2 1,2,430ABx xx，则()UAB（）A1,3B0,3C 2,1D 2,04如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D205函数33cosxxyx在区间,2 2的图像大致为（）ABCD6当1x 时，函数()lnbf xaxx取得最大值2，则(2)f（）A1B12C12D17在长方体1111ABCDABC D中，已知1B D与平面ABCD和平面11AAB B所成的角均为30，则（）A2ABADBAB与平面11ABC D所成的角为30C1ACCBD1B D与平面11BBC C所成的角为458沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA当2,60OAAOB时，s（）A11 3 32B11 4 32C93 32D94 329甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A5B2 2C10D5 10410椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A32B22C12D1311设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A5 13,3 6B5 19,3 6C13 8,6 3D13 19,6612已知3111,cos,4sin3244abc，则（）AcbaBbacCabcDacb二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|1,|3ab，则(2)abb_14若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则m_15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_16已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD当ACAB取得最小值时，BD _三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答。第都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17（12 分）记nS为数列 na的前n项和已知221nnSnan（1）证明：na是等差数列；（2）若479,a a a成等比数列，求nS的最小值18（12 分）在四棱锥PABCD中，PD 底面,1,2,3ABCD CDAB ADDCCBABDP（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值19（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20（12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点,0D p，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，3MF（1）求C的方程；（2）设直线,MD ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线AB的方程21（12 分）已知函数 lenxf xxxax（I）若 0f x，求a的取值范围；（2）证明：若 f x有两个零点12,x x，则121x x（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt，（t为参数），曲线2C的参数方程为26sxys ，（s为参数）（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac绝密绝密启用前启用前理科数学理科数学参考答案参考答案注意事项：注意事项：1 1答卷前答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上，并认真核准并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.1114.3315.635.16.31#1+3三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17172121 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答第都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分17.（1）解：因为221nnSnan，即222nnSnnan，当2n时，21121211nnSnnan，得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以 na是以1为公差的等差数列（2）7818.（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，因为/,1,2CDAB ADCDCBAB，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以12AEBF，故32DE，223BDDEBE，所以222ADBDAB，所以ADBD，因为PD 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PDBD，又PDADD，所以BD 平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA；（2）55.19.（1）0.6；（2）分布列见解析，13E X.【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，00.5 0.4 0.80.16P X,100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44P X，200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34P X，300.5 0.6 0.20.06P X.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望0 0.16 10 0.4420 0.3430 0.0613E X .20.（1）24yx；（2）:24AB xy.21.已知函数 lnxf xxaxxe（1）(,1e（2）由题知,fx一个零点小于 1,一个零点大于 1不妨设121xx 要证121x x,即证121xx因为121,(0,1)xx,即证 121f xfx因为 12f xf x,即证221f xfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2 ln02xxxxxxx下面证明1x 时，1e11e0,ln02xxxxxxx设11(),eexxg xxxx，则11122111111()eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx 111e1 e1eexxxxxxxxx设 22e1111,ee0 xxxxxxxxxxx所以 1ex,而1eex所以1ee0 xxx,所以()0g x所以()g x在(1,)单调递增即()(1)0g xg,所以1ee0 xxxx令11()ln,12h xxxxx2222211121(1)()10222xxxh xxxxx所以()h x在(1,)单调递减即()(1)0h xh,所以11ln02xxx；综上,1e11e2 ln02xxxxxxx,所以121x x.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.（1）2620yxy；（2）31,C C的交点坐标为1,12，1,2，32,C C的交点坐标为1,12，1,2 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 23.（1）证明：由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc；（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c 时取等号，所以113ac
