2022年山西普通高中学业水平考试数学试题及答案.pdf
20222022 年山西普通高中学业水平考试数学试题年山西普通高中学业水平考试数学试题及答案及答案学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知集合1U，2，3，4，1A，3，1B，4，则()UAB（）A2，3B3C1D1，2，3，42设21log3a，312b，123c，则（）AcbaBabcCcabDacb3 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，互斥而不对立的两个事件是（）A至少有 1 个白球；都是白球B至少有 1 个白球；至少有 1 个红球C恰有 1 个白球；恰有 2 个白球D至少有 1 个白球；都是红球4已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A若l，m，则lmB若lm，m，则lC若/lm，m，则/lD若/l，m，则/lm5函数()f x在(,)单调递减，且为奇函数若(1)1f，则满足1(2)1f x 的x的取值范围是（）A 2,2B 1,1C0,4D1,36如果不等式1xa成立的充分不必要条件是1322x；则实数a的取值范围是（）A1 3,2 2B1 3,2 2C13,22D13,227函数lg(1)yx的图像是（）ABCD8将函数 cos 26f xx的图象向左平移3个单位，得到函数 yg x的图象，那么下列说法正确的是（）A函数 g x的最小正周期为2B函数 g x的图象关于点,012对称C函数 g x为奇函数D函数 g x的图象关于直线2x对称9 已知平面内一点P及ABC，若PAPBPCBCuuruuruuu ruuu r，则P与ABC的位置关系是（）AP在ABC外部BP在线段AB上CP在线段AC上DP在线段BC上10 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2,E F分别是棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动，若1PA面AEF，则线段1PA的长度范围是（）A2,5B2,3C3 2,32D3 2,52二、填空题11已知i是虚数单位，复数13i1i_.12已知tan2，且0,2，则cos2_.13甲乙丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为_.14已知0,0.42abab，则11ab的最小值为_15已知函数 22logf xxa，若 31f，则a_16若不等式210 xax 对一切10,2x恒成立，则a的最小值是_17半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_18如图是甲乙两人在射击测试中 6 次命中环数的折线图，下列说法正确的是_.若甲乙射击成绩的平均数分别为12,x x，则12xx若甲乙射击成绩的方差分别为2212,ss，则2212ss乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数乙比甲的射击成绩稳定三、解答题19某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30，30,40，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.20在ABC中，内角,A B C的对面分别为,a b c，且满足3 cossinbCcB.（1）求C；（2）若5,7ac，求b及ABC的面积.21已知函数()4cos sin()16f xxx.（）求()f x的最小正周期：（）求()f x在区间,6 4 上的最大值和最小值.22如图，在直四棱柱1111ABCDA BC D中，底面ABCD为菱形，E为1DD中点.（1）求证：1/BD平面ACE；（2）求证：1BDAC.23为了响应国家节能减排的号召，2022 年某企业计划引进新能源汽车生产设备通过市场分析：全年需投入固定成本 2500 万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本 C x万元，且 210500,04064009016300,40 xxxC xxxx.由市场调研知，每辆车售价 9 万元，且生产的车辆当年能全部销售完(1)请写出 2022 年的利润 L x（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润售价成本）(2)当 2022 年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润参考答案：1B【解析】先计算得到2,3UC B，再计算UAC B得到答案.【详解】集合1U，2，3，4，1A，3，1B，4，则2,3UC B，3UAC B故选：B【点睛】本题考查了交集和补集的运算，属于简单题.2B【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出大小关系.【详解】31222111loglog 10133328，abc.故选：B.3C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念以及二者之间关系，一一判断各选项，可得答案.【详解】A：“至少有 1 个白球”和“都是白球”，可同时发生，故它们不是互斥事件,A 错误；B：“至少有 1 个白球”和“至少有 1 个红球”，因为 1 个白球 1 个红球时两种情况同时发生，故它们不是互斥事件，B 错误；C：“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当 2 个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件，C 正确；D：“至少有 1 个白球”和“都是红球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件，D 错误，故选：C4A【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】A选项：由线面垂直的性质定理可知A正确；B选项：由线面垂直判定定理知，l需垂直于内两条相交直线才能说明l，B错误；C选项：若l，则平行关系不成立，C错误；D选项：,l m的位置关系可能是平行或异面，D错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.5D【分析】方法一：不妨设()f xx，解1(2)1f x 即可得出答案.方法二：取=0 x，则有21()1f ，又因为1(12)()ff，所以与21()1f 矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得()11f，利用函数的单调性可得121x，解不等式即可求出答案.【详解】方法一：特殊函数法由题意，不妨设()f xx，因为1(2)1f x，所以121x，化简得13x故选：D.方法二：【最优解】特殊值法假设可取=0 x，则有21()1f ，又因为1(12)()ff，所以与21()1f 矛盾，故=0 x不是不等式的解，于是排除 A、B、C故选：D.方法三：直接法根据题意，()f x为奇函数，若(1)1f，则()11f，因为()f x在(,)单调递减，且1(2)1f x，所以 1(2)1ff xf，即有：121x，解可得：13x.故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法6B【分析】解绝对值不等式，得到11axa ，结合题干条件得到13 22xx是1 1+x axa的真子集，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】1xa，解得：11axa ，所以11axa 成立的充分不必要条件是1322x，故13 22xx是1 2aa 或110，b0，且4a+b=2，所以有：111111119()2()(4)(5)(52)2222442ababababbaaabb，当且仅当4baab时取等号，即21,33ba时取等号，故答案为：92.15-7【详解】分析：首先利用题的条件 31f，将其代入解析式，得到 2391floga，从而得到92a，从而求得7a ，得到答案.详解：根据题意有 2391floga，可得92a，所以7a ，故答案是7.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.1652.【分析】分离参数，将问题转化为求函数 1fxxx 最大值的问题，则问题得解.【详解】不等式210 xax 对一切10,2x成立，等价于1axx 对于一切10,2x成立设1()f xxx ，则max()af x因为函数()f x在区间10,2上是增函数，所以max15()22f xf，所以52a ，所以a的最小值为52故答案为：52.【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.173324R【详解】由题可得，因为半径为R的半圆卷成一个圆锥，所以该圆锥的底面半径满足2 rR，解得2Rr.所以圆锥的高为32R.所以该圆锥的体积为213()322RVR=3324R.故答案为：3324R18【分析】从图中得到甲、乙的射击成绩进而求出其平均数、中位数，可以判断错误，正确；甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，可以判断错误、正确.【详解】由图可知甲的射击成绩为 9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为 6、7、5、5、7、7.甲乙射击成绩的平均数分别12,x x，则1149910679866x，213767557766x，所以12xx，所以错误；从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即2212ss，所以错误；甲的射击成绩从小到大排序为 6、7、8、9、9、10，则中位数为 8.5，乙的射击成绩从小到大排序为 5、5、6、7、7、7，则中位数为 6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以正确；因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以正确.故答案为：19（1）77.5；（2）160(人).【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于 70 的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为0.020.04100.6，从而有：样本中分数小于 70 的频率为1 0.60.4，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于 80 的频率为 0.8，所以样本数据的 70%分位数必定位于70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4所以其分数的样本数据的 70%分位数估计值为 77.5.（2）由题知，样本中分数不小于 70 的学生人数为0.020.0410 10060，从而有，样本中分数不小于 70 的男生人数为160302，进而得，样本中的男生人数为30 260，女生人数为1006040，所以总体中女生人数为40400160100(人).20（1）3C；（2）8，10 3.【分析】（1）首先利用正弦定理得到3 cossinbCcB，从而得到tan3C，即可得到答案.（2）首先利用余弦定理得到8b，再利用正弦定理求解面积即可.【详解】（1）因为3 cossinbCcB，由正弦定理得3sincos=sinsinBCBC，因为0B，所以sin0B，且易知cos0C 所以tan3C，又0C，所以3C.（2）由（1）知3c，所以在ABC中，由余弦定理得，222752 5cos3bb ，即25240bb，因为0b，解得8b，所以113sin5 810 3222ABCSabC .21（）（）2，1【详解】（）因为 4cos sinf xx16x314cossincos122xxx23sin22cos13sin2cos22sin 26xxxxx，故 fx最小正周期为（）因为64x，所以22663x于是，当262x，即6x时，fx取得最大值2；当266x+=-，即6x 时，fx取得最小值1点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.22（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）设AC与BD交于点O，接OE，可得1/OED BB，即可证明1/BD平面ACE；（2）由底面ABCD是菱形，得ACBD，又1DD 底面ABCD，可得1DDAC，证明AC 平面11BDB D，利用线面垂直的性质可证1ACBD【详解】证明：（1）设AC与BD交于点O，接OE，底面ABCD是菱形，O为DB中点，又因为E是1DD的中点，1/OED BB，OE 面AEC，1BD 平面AEC1/BD平面ACE（2）底面ABCD是菱形，ACBD，1DD Q底面ABCD，AC底面ABCD，1DDAC，且1DBDDD，1,DB DD 平面11BDB DAC平面11BDB D1BD 平面11BDB D，1ACBD23(1)2104002500,04064003800,40 xxxL xxxx；(2)2022 年生产 80 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 3640 万元【分析】（1）根据给定条件，分段求出 C x的表达式即可作答.（2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答.【详解】（1）当040 x时，229 100105002500104002500L xxxxxx ，当40 x 时，640064009 100901630025003800L xxxxxx，所以 2104002500,04064003800,40 xxxL xxxx.（2）当040 x时，210201500L xx，当20 x=时，max1500L x，当40 x 时，640064003800380023800 1603640L xxxxx，当且仅当6400 xx，即80 x 时取“”，显然36401500，所以，当80 x，即 2022 年生产 80 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 3640 万元
