2021年湖南省湘潭市中考数学真题及答案.pdf

20212021 年湖南省湘潭市中考数学真题及答案年湖南省湘潭市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分）1（3 分）2021 的相反数是（）A2021B2021CD2（3 分）据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球 320000000 千米其中 320000000 用科学记数法表示为（）A0.32109B3.2108C3.2109D321073（3 分）下列计算正确的是（）Am3m2mB（a3）2a5Cx2x3x6D3a3a22a4（3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD5（3 分）下列几何体中，三视图不含圆的是（）ABCD6（3 分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 64 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为 x，可列方程得（）A100（1x）264B100（1+x）264C100（12x）64D100（1+2x）647（3 分）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（）A7 分B8 分C9 分D10 分8（3 分）如图，BC 为O 的直径，弦 ADBC 于点 E，直线 l 切O 于点 C，延长 OD 交 l 于点 F，若 AE2，ABC22.5，则 CF 的长度为（）A2B2C2D4二、填空题（本题共 8 个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分）9（3 分）单项式 3x2y 的系数为10（3分）在平面直角坐标系中，把点A（2，1）向右平移5个单位得到点A，则点A的坐标为11（3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是12（3 分）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献全球共有 40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达 800 万公顷某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风）不同的 6 块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：1042kg/亩，s甲26.5，1042kg/亩，s乙21.2，则品种更适合在该村推广（填“甲”或“乙”）13（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，已知 ab，1130，则2 为度14（3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点 已知 BC10，则 OE15（3 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别为边 AB，AC 上的点，试添加一个条件：，使得ADE 与ABC 相似（任意写出一个满足条件的即可）16（3 分）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历有十天干与十二地支，如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789101112123算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以 12 的余数查出地支如 2008 年，尾数 8 为戊，2008除以 12 余数为 4，4 为子，那么 2008 年就是戊子年2021 年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立 100 周年，则 2021 年是年（用天干地支纪年法表示）三、解答题（本大题共 10 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分）17（6 分）计算：|2|（2）0+（）14tan4518（6 分）先化简，再求值：（+1），其中 x319（6 分）如图，矩形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，将ABE 沿 AE 翻折后，点 B 恰好落在对角线 AC 的中点F 上（1）证明：AEFCEF；（2）若 AB，求折痕 AE 的长度20（6 分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到 70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近 80%，才有可能形成群体免疫本着自愿的原则，18 至 60 周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：接种地点疫苗种类医院A新冠病毒灭活疫苗B重组新冠病毒疫苗（CHO 细胞）社区卫生服务中心C新冠病毒灭活疫苗D重组新冠病毒疫苗（CHO 细胞）若居民甲、乙均在 A、B、C、D 中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用 A、B、C、D 表示选取结果）（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率21（6 分）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基 A 处起飞，沿直线飞行 120米至点 B，在此处测得楼基 A 的俯角为 60，再将无人机沿水平方向向右飞行 30 米至点 C，在此处测得楼顶 D 的俯角为 30，请计算万楼主楼 AD 的高度（结果保留整数，1.41，1.73）22（6 分）为隆重纪念中国共产党成立 100 周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩我们诵；B、听党话我们唱；C、跟党走我们画；D、学党史我们写其中 C 项活动全体同学参与，预计成绩 95x100 可获一等奖，成绩 90 x95 可获二等奖，随机抽取 50 个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：收集其中 90 x100 这一组成绩如下：n939298959596919496整理该组数据得下表：组别平均数中位数众数获奖组94.59595根据以上信息，回答下列问题：（1）频数分布直方图中 m；（2）90 x100 组中 n；（3）已知该校有 1200 名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？23（8 分）如图，点 A（a，2）在反比例函数 y的图象上，ABx 轴，且交 y 轴于点 C，交反比例函数y于点 B，已知 AC2BC（1）求直线 OA 的解析式；（2）求反比例函数 y的解析式；（3）点 D 为反比例函数 y上一动点，连接 AD 交 y 轴于点 E，当 E 为 AD 中点时，求OAD 的面积24（8 分）2020 年 12 月 30 日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲已知线上零售 40kg、线下批发 80kg 湘莲共获得 4000 元；线上零售 60kg 和线下批发 80kg 湘莲销售额相同（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲 2000kg，设线上零售 xkg，获得的总销售额为 y 元：请写出 y 与 x 的函数关系式；若总销售额不低于 70000 元，则线上零售量至少应达到多少千克？25（10 分）如图，一次函数 yx图象与坐标轴交于点 A、B，二次函数 yx2+bx+c 图象过 A、B 两点（1）求二次函数解析式；（2）点 B 关于抛物线对称轴的对称点为点 C，点 P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点 Q，使得以 B、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由26（10 分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”如图，点 C 把线段 AB 分成两部分，如果0.618，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点（1）特例感知：在图中，若 AB100，求 AC 的长；（2）知识探究：如图，作O 的内接正五边形；作两条相互垂直的直径 MN、AI；作 ON 的中点 P，以 P 为圆心，PA 为半径画弧交 OM 于点 Q；以点 A 为圆心，AQ 为半径，在O 上连续截取等弧，使弦 ABBCCDDEAQ，连接 AE；则五边形 ABCDE 为正五边形在该正五边形作法中，点 Q 是否为线段 OM 的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系延长题（2）中的正五边形 ABCDE 的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图，点 E 是线段 PD 的黄金分割点，请利用题中的条件，求 cos72的值答案一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分）1 解析：只有符号不同的两个数互为相反数求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面添加“”答案：2021 的相反数是2021，故选：B2 解析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同答案：3200000003.2108，故选：B3 解析：A直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；B直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；C直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；D直接利用合并同类项法则计算得出答案答案：Am3m2m，故此选项符合题意；B（a3）2a6，故此选项不合题意；Cx2x3x5，故此选项不合题意；D.3a3与 a2无法合并，故此选项不合题意故选：A4 解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而在数轴上表示解集即可答案：解不等式 x+12，得：x1，解不等式 4x80，得：x2，则不等式组的解集为 1x2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：D5 解析：分别找出四个立体图形的三视图即可解答答案：A、圆柱的俯视图是圆，故不符合题意；B、球的三视图都是圆，故不符合题意；C、正方体的三视图都是正方形，故符合题意；D、圆锥的俯视图是圆，故不符合答题，故选：C6 解析：设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是 100（1x），第二次降价后的价格是 100（1x）2，据此即可列方程求解答案：根据题意得：100（1x）264，故选：A7 解析：根据算术平均数的定义求解即可答案：小明同学五项评价的平均得分为9（分），故选：C8 解析：根据垂径定理求得，AEDE2，即可得到COD2ABC45，则OED 是等腰直角三角形，得出 OD2，根据切线的性质得到 BCCF，得到OCF 是等腰直角三角形，进而即可求得 CFOCOD2答案：BC 为O 的直径，弦 ADBC 于点 E，AEDE2，COD2ABC45，OED 是等腰直角三角形，OEED2，OD2，直线 l 切O 于点 C，BCCF，OCF 是等腰直角三角形，CFOC，OCOD2，CF2，故选：B二、填空题（本题共 8 个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分）9 解析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数答案：3x2y3x2y，其中数字因式为 3，则单项式的系数为 3故答案为：310 解析：根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可答案：点 A（2，1）向右平移 5 个单位得到点 A，A（3，1），故答案为（3，1）11 解析：根据二次根式有意义的条件，可得 x20，解不等式求范围答案：根据题意，使二次根式有意义，即 x20，解得 x2；故答案为：x212 解析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案答案：1042kg/亩，1042kg/亩，s甲26.5，s乙21.2，S甲2S乙2，产量稳定，适合推广的品种为乙，故答案为：乙13 解析：根据邻补角得出3 的度数，再根据平行线的性质解答即可答案：1130，318013050，ab，2350，故答案为：5014 解析：由平行四边形的性质可得，点 O 是线段 AC 的中点，可得 OE 是ABC 的中位线，由中位线定理可得 OE 的长答案：在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 O 是 AC 的中点，点 E 是边 AB 的中点，OE 是ABC 的中位线，OEBC5故答案为：515 解析：根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题答案：添加ADEC，又AA，ADEACB，故答案为：ADEC（答案不唯一）16 解析：先用 2021 的尾数 1 查出天干，再用 2021 除以 12 的余数查出地支即可答案：2021 年，尾数 1 为辛，2021 除以 12 余数为 5，5 为丑，那么 2021 年就是辛丑年故答案为：辛丑三、解答题（本大题共 10 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分）17 解析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案答案：原式21+34121+34018 解析：先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可答案：（+1），当 x3 时，原式19 解析：（1）由折叠性质得到，AFEB90，由点 B 恰好落在对角线 AC 的中点 F 上可得 AFCF，根据邻补角的定义得到CFE90，即可根据 SAS 判定AEFCEF；（2）由（1）得EAFECF，由折叠性质得到BAEEAF，根据直角三角形的两锐角互余求出BAE30，再解直角三角形求解即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，B90，将ABE 沿 AE 翻折后，点 B 恰好落在对角线 AC 的中点 F 上，AFEB90，AFCF，AFE+CFE180，CFE180AFE90，在AEF 和CEF 中，AEFCEF（SAS）（2）解：由（1）知，AEFCEF，EAFECF，由折叠性质得，BAEEAF，BAEEAFECF，B90，BAC+BCA90，3BAE90，BAE30，在 RtABE 中，AB，B90，AE220 解析：（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有 16 种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有 8 种，再由概率公式求解即可答案：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为；（2）画树状图如图：共有 16 种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有 8 种，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为21 解析：由题意可得在 RtABE 中和 RtCDE 中，AB120 米，ABE60，DCE30，CEBE+CB，根据解直角三角形的应用，在 RtABE 中，可计算出 BE 和 AE 的长度，在 RtCDE 中，可计算出 AD 的长度，由 ADAEDE 计算即可得出答案答案：由题意可得，在 RtABE 中，AB120 米，ABE60，BE60（米），AEsin60AB（米），在 RtCDE 中，DCE30，CEBE+CB60+3090（米），DEtan30CE30（米），ADAEDE603052（米）答：万楼主楼 AD 的高度约为 52 米22 解析：（1）根据抽取 50 个同学的作品以及频数分布直方图可得 m 的值；（2）根据众数的定义可得 n 的值；（3）求出样本中 95x100 的人数所占整体的百分比乘以该校学生总数即可答案：（1）m504102412，故答案为：12；（2）90 x100 这一组成绩如下：n939298959596919496，其中 95，96 都出现了 2次，该组数据的众数是 95，n95，故答案为：95；（3）抽取 50 个同学的作品成绩 95x100 的人数为 3，120072（人），答：估计本次活动获一等奖的同学有 72 人23 解析：（1）由点 A（a，2）在反比例函数 y的图象上，得 a2，即 A（2，2），设直线 OA 解析式为ymx，即得 m1，故直线 OA 解析式为 yx；（2）由 AC2BC 得 B（1，2），把 B（1，2）代入反比例函数 y，即得解析式为 y；（3）设 D（t，），而 A（2，2），故 AD 中点 E（，+1），即有0，解得 t2，可得 D（2，1），E（0，），从而可得 SDOE，SAOE，即得OAD 面积 S3答案：（1）点 A（a，2）在反比例函数 y的图象上，2，解得 a2，A（2，2），设直线 OA 解析式为 ymx，则 22m，解得 m1，直线 OA 解析式为 yx；（2）由（1）知：A（2，2），ABx 轴，且交 y 轴于点 C，AC2，AC2BC，BC1，B（1，2），把 B（1，2）代入 y得：2，k2，反比例函数 y的解析式为 y；（3）设 D（t，），而 A（2，2），AD 中点 E（，+1），而 E 在 y 轴上，0，解得 t2，D（2，1），E（0，），SDOEOE|xD|2，SAOEOE|xA|2，OAD 面积 SSDOE+SAOE324 解析：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克 x 元，线下批发湘莲的单价为每千克 y 元，由题意：线上零售 40kg、线下批发 80kg 湘莲共获得 4000 元；线上零售 60kg 和线下批发 80kg 湘莲销售额相同列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由总销售额线上零售额和线下批发额，即可求解；由得：10 x+6000070000，解不等式即可答案：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克 x 元，线下批发湘莲的单价为每千克 y 元，由题意得：，解得：，答：线上零售湘莲的单价为每千克 40 元，线下批发湘莲的单价为每千克 30 元；（2）由题意得：y40 x+30（2000 x）10 x+60000，即 y 与 x 的函数关系式为：y10 x+60000；设线上零售量应达到 x 千克，由得：10 x+6000070000，解得：x1000，答：线上零售量至少应达到 1000 千克25 解析：（1）由 yx可求出 A（3，0），B（0，），代入二次函数 yx2+bx+c 即得二次函数解析式为 yx2x；（2）由二次函数 yx2x可得其对称轴为直线 x1，设 P（1，m），Q（n，n2n），而 C 与 B 关于直线 x1 对称，可得 C（2，），当 BC、PQ 为对角线时，可得，此时四边形 BQCP 是平行四边形，根据 P（1，），B（0，），C（2，）可得 PBPC，即得此时 Q（1，）；BP、CQ 为对角线时，同理可得 Q（1，0）；以 BQ、CP 为对角线，同理可得 Q（3，0）答案：（1）在 yx中，令 x0 得 y，令 y0 得 x3，A（3，0），B（0，），二次函数 yx2+bx+c 图象过 A、B 两点，解得，二次函数解析式为 yx2x；（2）存在，理由如下：由二次函数 yx2x可得其对称轴为直线 x1，设 P（1，m），Q（n，n2n），而 B（0，），C 与 B 关于直线 x1 对称，C（2，），当 BC、PQ 为对角线时，如图：此时 BC 的中点即是 PQ 的中点，即，解得，当 P（1，），Q（1，）时，四边形 BQCP 是平行四边形，由 P（1，），B（0，），C（2，）可得 PB2PC2，PBPC，四边形 BQCP 是菱形，此时 Q（1，）；BP、CQ 为对角线时，如图：同理 BP、CQ 中点重合，可得，解得，当 P（1，0），Q（1，0）时，四边形 BCPQ 是平行四边形，由 P（1，0），B（0，），C（2，）可得 BC24PC2，四边形 BCPQ 是菱形，此时 Q（1，0）；以 BQ、CP 为对角线，如图：BQ、CP 中点重合，可得，解得，P（1，0），Q（3，0）时，四边形 BCQP 是平行四边形，由 P（1，0），B（0，），C（2，）可得 BC24PC2，四边形 BCQP 是菱形，此时 Q（3，0）；综上所述，Q 的坐标为：（1，）或（1，0）或（3，0）26 解析：（1）根据黄金分割的定义直接求出 AC 的长度即可；（2）设O 的半径为 r，则 PQAPr，MQ2rrrr，OQrr，得出，即可得证点 Q 是线段 OM 的黄金分割点；（3）作 PHAE 于 H，由正五边形可知，AEDE，PEA72，cos72答案：（1）根据黄金分割点的意义，得，AB100，AC5050；（2）Q 是线段 OM 的黄金分割点，理由如下：设O 的半径为 r，则 OPr，PQAPr，OQQPOPrrr，MQOMOQrrr，即 Q 是线段 OM 的黄金分割点；（3）如图，作 PHAE 于 H，由题可知，AHHE，正五边形的每个内角都为（52）1805108，PEH18010872，即 cosPEHcos72，点 E 是线段 PD 的黄金分割点，又DEAE，HEAHAE，cos72