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2022年高中数学函数知识 ：一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特殊地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx (k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的改变值与对应的x的改变值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为随意不为零的实数 b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的随意一点P(x，y)，都满意等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特殊地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的随意一点P(x，y)，都满意等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最终得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t肯定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式：(不全，希望有人补充) 1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求随意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和) ：二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0) 顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P(h，k) 交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点A(x ，0)和 B(x，0)的抛物线 注：在3种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x,x=(-bb2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x= -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c确定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bb2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) V.二次函数与一元二次方程 特殊地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标对 称 轴 y=ax2(0，0) x=0 y=a(x-h)2(h，0) x=h y=a(x-h)2+k(h，k) x=h y=ax2+bx+c(-b/2a，4ac-b2/4a) x=-b/2a 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到. 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 因此，探讨抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了.这给画图象供应了便利. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a). 3.抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小;当x -b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大;当x -b/2a时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c); (2)当=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c= (a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0. 5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a. 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0). 7.二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现. ：反比例函数 形如 y=k/x(k为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质： 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。 如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。 当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 学问点： 1.过反比例函数图象上随意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。 2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减随意一个实数 (即 y=k/(xm)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页
