2021全国乙卷理科数学真题（原卷版+答案版）.pdf

2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 乙 卷(原 卷 版)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 2(z+z)+3(z-f)=4+6i,则 z=().A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i2.已 知 集 合 S=s|s=2n+l,nGZ,T=t|t=4n+l,n G Z),则 SCiT=()A.0B.SC.TD.Z3.已 知 命 题 p：3xER,sinx(pVq)4.设 函 数 f(x)半 三，则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的 是()A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l5.在 正 方 体 ABCD-ABCD中，P 为 B D 的 中 点，则 直 线 PB与 A所 成 的 角 为()6.将 5 名 北 京 冬 奥 会 志 愿 者 分 配 到 花 样 滑 冰、短 道 速 滑、冰 球 和 冰 壶 4 个 项 目 进 行 培 训，每 名 志 愿 者 只 分 到 1个 项 目，每 个 项 目 至 少 分 配 1名 志 愿 者，则 不 同 的 分 配 方 案 共 有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 7.把 函 数 y=f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 得 倍，纵 坐 标 不 变，再 把 所 得 曲 线 向 右 平 移 g个 单 位 长 度，得 到 函 数 丫=$打&5)的 图 像，则 f(x)=()B-si呜 C.sin(2%一 患)D.sin(2%+8.在 区 间(0,1)与(1,2)中 各 随 机 取 1个 数，则 两 数 之 和 大 于:的 概 率 为()4A.-4D.-99.魏 晋 时 期 刘 徽 撰 写 的 海 岛 算 经 是 关 于 测 量 的 数 学 著 作，其 中 第 一 题 是 测 量 海 盗 的 高。如 图，点 E,H,G在 水 平 线 AC上，DE和 FG是 两 个 垂 直 于 水 平 面 且 等 高 的 测 量 标 杆 的 高 度，称 为“表 高”，EG称 为“表 距”,GC和 EH都 称 为“表 目 距”，GC与 EH的 差 称 为“表 目 距 的 差”。则 海 岛 的 高 AB=().表 高 乂 表 距 表 目 距 的 差 A：+表 高 B：表 高 乂 表 距 丰 置 表“距 的 差 一 天 修 C：表 高 X表 距 表 H距 的 差+表 距 D：表 高 X表 距 表 M距 的 差-表 距 10.设 a W O,若 x=a为 函 数 f(x)=a(x-a)2(x-b)的 极 大 值 点，则().A：abC：aba22 211.设 B 是 椭 圆 C：号+卷=1(a b 0)的 上 顶 点，若 C 上 的 任 意 一 点 P 都 满 a2 b2足|PB|2 b,则 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是().A:怜 1)B：川 c：(。山 D：(咽 12.设 a=21nl.01,b=lnl.02,c=V104-1,则（）.A：abcB：bcaC：bacD：ca0）的 一 条 渐 近 线 为 国 x+my=0,则 C 的 焦 距 为.14.已 知 向 量 a=（1,3）,b=（3,4）,若（a-、b）_Lb,则 入=。15.记 4ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,面 积 为 B=60,a2+c2=3ac,则 b=.16.以 图 为 正 视 图 和 俯 视 图，在 图 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图,组 成 某 个 三 棱 锥 的 三 视 图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即 可）.（第 16期 图）三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17-21题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 60分。17.（12 分）某 厂 研 究 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下：旧 设 备 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为 土 和 歹，样 本 方 差 分 别 记 为 S：和 S22旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5（1）求 三，y,sr,s22；（2）判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高（如 果 y-x2产 尹，则 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高，否 则 不 认 为 有 显 著 提 高）.18.（12 分）如 图，四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 是 矩 形，PD，底 面 ABCD,PD=DC=1,M 为 BC的 中 点，且 PBJ_AM,（1）求 BC；（2）求 二 面 角 A-PM-B的 正 弦 值。（第 18题 图）19.（12 分）记 S n为 数 列 瓜 的 前 n 项 和，bn为 数 列 的 前 n 项 和，已 知 1+9=2.Sn bn（1）证 明：数 列 bj是 等 差 数 列；（2）求 4 的 通 项 公 式.20.(12 分)设 函 数 f(x)=ln(a-x),已 知 x=0是 函 数 y=xf(x)的 极 值 点。(1)求 a；(2)设 函 数 g(x)当 竽，证 明：g(x)0)的 焦 点 为 F,且 F 与 圆 M：x+(y+4)?=1上 点 的 距 离 的 最 小 值 为 4.(1)求 P;(2)若 点 P 在 M 上，PA,PB是 C 的 两 条 切 线，A,B是 切 点，求 APAB的 最 大 值.(二)选 考 题：共 10分，请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 4 一 4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)在 直 角 坐 标 系 xOy中，O C 的 圆 心 为 C(2,1),半 径 为 1.(1)写 出 O C 的 一 个 参 数 方 程；的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程；(2)过 点 F(4,1)作 0 C 的 两 条 切 线，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 这 两 条 直 线 的 极 坐 标 方 程.23.选 修 4 一 5：不 等 式 选 讲(10分)已 知 函 数 f(x)=|x-a|+1 x+31.(1)当 a=l时，求 不 等 式 f(x)2 6 的 解 集；(2)若 f(x)2 a，求 a 的 取 值 范 围.2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 乙 卷(答 案 版)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 2(z+z)+3(z-f)=4+6i,则 z=().A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i2.已 知 集 合 S=s|s=2n+l,nGZ,T=t|t=4n+l,n G Z),则 SCiT=()A.0B.SC.TD.Z3.已 知 命 题 p：3xER,sinx(pVq)4.设 函 数 f(x)半 三，则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的 是()A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l5.在 正 方 体 ABCD-ABCD中，P 为 B D 的 中 点，则 直 线 PB与 A所 成 的 角 为()6.将 5 名 北 京 冬 奥 会 志 愿 者 分 配 到 花 样 滑 冰、短 道 速 滑、冰 球 和 冰 壶 4 个 项 目 进 行 培 训，每 名 志 愿 者 只 分 到 1个 项 目，每 个 项 目 至 少 分 配 1名 志 愿 者，则 不 同 的 分 配 方 案 共 有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 7.把 函 数 y=f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 得 倍，纵 坐 标 不 变，再 把 所 得 曲 线 向 右 平 移 g个 单 位 长 度，得 到 函 数 丫=$打&5)的 图 像，则 f(x)=()B-si呜 C.sin(2%一 患)D.sin(2%+8.在 区 间(0,1)与(1,2)中 各 随 机 取 1个 数，则 两 数 之 和 大 于:的 概 率 为()4A.-4D.-99.魏 晋 时 期 刘 徽 撰 写 的 海 岛 算 经 是 关 于 测 量 的 数 学 著 作，其 中 第 一 题 是 测 量 海 盗 的 高。如 图，点 E,H,G在 水 平 线 AC上，DE和 FG是 两 个 垂 直 于 水 平 面 且 等 高 的 测 量 标 杆 的 高 度，称 为“表 高”，EG称 为“表 距”,GC和 EH都 称 为“表 目 距”，GC与 EH的 差 称 为“表 目 距 的 差”。则 海 岛 的 高 AB=().表 高 乂 表 距 表 目 距 的 差 A：+表 高 B：表 高 乂 表 距 丰 置 表“距 的 差 一 天 修 C：表 高 X表 距 表 H距 的 差+表 距 D：表 高 X表 距 表 M距 的 差-表 距 10.设 a W O,若 x=a为 函 数 f(x)=a(x-a)2(x-b)的 极 大 值 点，则().A：abC：aba22 211.设 B 是 椭 圆 C：号+卷=1(a b 0)的 上 顶 点，若 C 上 的 任 意 一 点 P 都 满 a2 b2足|PB|2 b,则 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是().A:怜 1)B：川 c：(。山 D：(咽 12.设 a=21nl.01,b=lnl.02,c=V104-1,则（）.A：abcB：bcaC：bacD：ca0)的 一 条 渐 近 线 为 Wx+my=0,则 C 的 焦 距 为.m14.已 知 向 量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-Ab)J_b,则 入=。15.记 4ABC的 内 角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,面 积 为 代,B=60,a2+c2=3ac,则 b=.16.以 图 为 正 视 图 和 俯 视 图，在 图 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图,组 成 某 个 三 棱 锥 的 三 视 图,的 一 组 答 案 即 可).口/M-2-X图 M-2-M图。13.411 44.-3515.2V216.或 则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为(写 出 符 合 要 求-2-x K-2-M图 4 图 M-2-M图(第 16题 图)填 空 题 答 案三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17-21题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 60分。17.（12 分）某 厂 研 究 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下：旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧 设 备 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为 土 和 歹，样 本 方 差 分 别 记 为 s：和 s22（3）求 3,y,S,2,s22；（4）判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高（如 果 与 2 2 奔 I 则 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高，否 则 不 认 为 有 显 著 提 高）.参 考 答 案 17.解：(1)各 项 所 求 值 如 下 所 示 甘 巳 8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0%(10 1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3(9.7-10.0)2+2 x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2 X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2 x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36,s?=x(10.0-10.3)2+3 x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2 x(10.4-10.3)2+24 10 x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.(2)由(1)中 数 据 得 歹-元=0.3,34显 然 广 元 2下 雪,所 以 不 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显著 提 高。18.(12 分)如 图，四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 是 矩 形，PDJ_底 面 ABCD,PD=DC=1,M 为 BC的 中 点,且 PBAM,(3)求 BC；(4)求 二 面 角 A-PM-B的 正 弦 值。(第 18题 图)参 考 答 案 18.解：(1)因 为 PDL平 面 ABCD,且 矩 形 ABCD中，ADDC,所 以 以 石?，尻，前 分 别 为 x,y,z轴 正 方 向，D 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D-xyz。设 BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(|,1,0),P(0,0,1),所 以 而=(t,1,-1),AM=1,0),2因 为 PBLAM,所 以 而 宿=-+1=0,所 以 t=&,所 以 BC=&。(2)设 平 面 APM的 一 个 法 向 量 为 1 1 1=(x,y,z),由 于 标=(-V2,0,1),则 f m AP=-V2x+z=0一 V2(m AM=x+y=0令*二 应，得(V2,1,2)o设 平 面 PMB的 一 个 法 向 量 为 n二(x y z 贝 i j(n CB=y2xl=0(n PB=V2xc+y t 一 z=0令 产 1,得 n=(0,1,1).所 以 cos(m,n)/空,所 以 二 面 角 A-PM-B的 正 弦 值 为 等.|m|n|V7XV2 14 1419.(12 分)记 S”为 数 列 an 的 前 n 项 和，b”为 数 列 SJ的 前 n 项 和，已 知 告+白 二 2.Sn%(3)证 明：数 列 bj是 等 差 数 列;(4)求 aj的 通 项 公 式.参 考 答 案 19.(1)由 已 知 名+d=2,则=Sn(n22)Sn n%+10 竽+*=2o2bnT+2=2bn-W(n22),E=|故 b,)是 以 I为 首 项，5为 公 差 的 等 差 数 列。(2)由(1)知 b0=|+(n-1)券-，则！*+：=20 S尸 哼 乙 乙 乙 3九 7T十 乙 7 1 I*xn=l 时，ai=Si=|n 2 2 时,_Q _Q _ n+2 _ n+l _ n b n-l 7n+1 nn(n+l)故 an=3-,n=12 1、G-,n 2n(n+l)20.(12 分)设 函 数 f(x)=ln(a-x),已 知 x=0是 函 数 y=xf(x)的 极 值 点。(3)求 a；(4)设 函 数 g(x)=*,证 明：g(x)1.xf(x)参 考 答 案 20.(1)xf(x)=x f(x)+xf/(x)当 x=0 时,xf(x)=f(0)=lna=0,所 以 a=l(2)由 f(x)=ln(bx),得 xVl当 OVxVl 时，f(x)=ln(1-x)VO,xf(x)0,xf(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0令 l-x=t(t0 且 t#l),x=l-t,即 证 l-t+lnt-(l-t)lnt0令 f(t)=l-t+lnt-(1-t)Int,则 f(t)=-l-1-(-1)lnt+=-l+|+lnt-=lnt所 以 f(t)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+8)上 单 调 递 增，故(1)=0,得 证。21.(12 分)己 知 抛 物 线 C：x2=2py(p0)的 焦 点 为 F,且 F 与 圆 M：x2+(y+4)?=1上 点 的 距 离 的 最 小 值 为 4.(1)求 p；(2)若 点 P 在 M 上，PA,PB是 C 的 两 条 切 线，A,B是 切 点，求 APAB的 最 大 值.(二)选 考 题：共 10分，请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。参 考 答 案 21.解：(1)焦 点 F(0，)到 乂 2+(丫+4)2=1的 最 短 距 离 为 5+3=4,所 以 p=2.(2)抛 物 线 y=(x2,设 A(xi,yj,B(x2,y2),P(x0,y0)则IPA=y=2xi（x-Xi）+Yi=-X1X-X=-%IX-%B：y=1 2久-y2 且 x,=-yo-8yo-1 5.（1y0=-xxx0-yn i ilp4,1PB 都 过 点 P（x 0,y。），则 1 故（4B：yo-y，即=5X0%、yo=5X2X0-丫 2，yo-联 立 一 号 xx y,得 X?2x（）x+4y（）=0,A=4X Q-16y0.I x2=4y所 以|AB|=以 24X o16yo力 4+x1 4y，dPAB=所 J君+4S&P 4B=5ABi d p B=|xo-4y0|-J x,-4y()=；(x/-4y0)2=i(-y02-12y0-315)2.而 y G-5,-3.故 当 y0=-5时,SAP.达 到 最 大，最 大 值 为 20遥.22.选 修 4 一 4：坐 标 系 与 参 数 方 程(1 0分)在 直 角 坐 标 系 xOy中，O C的 圆 心 为 C(2,1),半 径 为 1.(1)写 出 O C的 一 个 参 数 方 程；的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程；(2)过 点 F(4,1)作 O C的 两 条 切 线，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 这 两 条 直 线 的 极 坐 标 方 程.23.选 修 4 5：不 等 式 选 讲(10分)已 知 函 数 f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当 a=l时，求 不 等 式 f(x)2 6 的 解 集;(2)若 f(x)2 a,求 a 的 取 值 范 围.参 考 答 案 22.因 为 0 c 的 圆 心 为(2,1),半 径 为 L 故 0 C 的 参 数 方 程 为 二;鬻(6为 参 数).(2)设 切 线 y=k(x-4)+l,即 kx-y-4k+l=0.故 1 2/c-1 4/c+l|_ BP|2k|=Vl+P,4k2=l+k2,解 得 k=土 苧.故 直 线 方 程 为(x-4)+l,y=-y(x-4)+1故 两 条 切 线 的 极 坐 标 方 程 为 psine=?cos。-1V3+1或 psin8=*o s。+iV3+l.323.解：(l)a=1 时，f(x)=|x-l|+|x+3|,即 求|xT|+|x-3|2 6 的 解 集.当 x l时，2x十 226,得 x2 2;当-3-a,而 由 绝 对 值 的 几 何 意 义，即 求 x 到 a 和-3距 离 的 最 小 值.当 x 在 a 和-3之 间 时 最 小,此 时 a)最 小 值 为 怙+3|,BP|a+3|-a.A2-3 时,2a+30,得 a-|；a-a,此 时 a 不 存 在.综 上，a-|.