《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版)_中学教育-中考.pdf

1.3函数的单调性与奇偶性教学设计【教学目标】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3.理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.【导入新课】1.通过对函数x y 2、x y 3、xy1及2x y 的观察提出有关函数单调性的问题.2阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：以 y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数 y=f(x)的图象，并且它的图象关于 y 轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.以 y 轴为折痕将纸对折，然后以 x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数 y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（x，f(x)）也在函数图象上，即x y-5 x y-5 5 函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.新授课阶段 一、函数的单调性 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数；减函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是 减函数.例 1 如图是定义在闭区间-5，5上的函数)(x f y 的图象，根据图象说出)(x f y 的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y 是增函数还是减函数.解：函数)(x f y 的单调区间有 5,3,3,1,1,2,2,5，其中)(x f y 在区间 2,5，3,1上是减函数，在区间 5,3,1,2 上是增函数.注意：1.单调区间的书写 2各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例 2 证明函数2 3)(x x f在 R 上是增函数.证明：设2 1,x x是 R 上的任意两个实数，且2 1x x，则02 1 x x x，0 3)(3)2 3()2 3()()(2 1 2 1 2 1 x x x x x x f x f y.所以，2 3)(x x f在 R 上是增函数.例 3 证明函数xx f1)(在),0(上是减函数.证明：设2 1,x x是),0(上的任意两个实数，且2 1x x，则02 1 x x x 2 11 22 12 11 1)()(x xx xx xx f x f y.由),0(,2 1 x x，得02 1 x x，且01 2 x x x.会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内于是 0 y.所以，xx f1)(在),0(上是减函数.利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值；（2）计算x、y；（3）对比符号；（4）结论.二、奇函数、偶函数的概念：1偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数.2奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数.注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（二）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例 4（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与 y 轴相交；函数()f x为奇函数的充要条件是(0)0 f；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（x R）.A 1 B 2 C 3 D 4【提示】不对，如函数21()f xx是偶函数，但其图象与y轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0 x（a，a），答案为 A.（2）已知函数2()3 f x ax bx a b 是偶函数，且其定义域为1,2 a a，则（）会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内A 31 a，b 0 B 1 a，b 0 C 1 a，b 0 D3 a，b 0【提 示】由2()3 f x ax bx a b 为偶函 数，得 b 0.又定义 域为1,2 a a，(1)2 0 a a，31 a故答案为 A.例 5 判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xf x xx；(2)2 2()1 1 f x x x；（3）22lg(1)()|2|2xf xx；（4）22(0)()(0)x x xf xx x x.解：（1）由101xx，得定义域为 1,1)，关于原点不对称，()f x为非奇非偶函数.(2)2221 01 11 0 xx xx，()0 f x()f x 既是奇函数又是偶函数.（3）由221 0|2|2 0 xx 得定义域为(1,0)(0,1)，22lg(1)()(2)2xf xx 22l g(1)xx，2 22 2lg1()lg(1)()()x xf xx x()f x，()f x为偶函数.（4）当0 x 时，0 x，则2 2()()()()f x x x x x f x，当0 x 时，0 x，则2 2()()()()f x x x x x f x，综 上 所 述，对 任 意 的(,)x，都有()()f x f x，()f x为奇函数.例 6 若 奇 函 数()f x是 定 义 在（1，1）上 的 增 函 数，试 解 关 于a的 不 等 式：2(2)(4)0 f a f a.解：由已知得2(2)(4)f a f a，因 f(x)是奇函数，故 2 2(4)(4)f a f a，于是2(2)(4)f a f a.又()f x是定义在（1，1）上的增函数，从而 223 2 2 41 2 1 1 3 3 21 4 15 3 3 5a a aa a aaa a 或，即 不 等 式 的 解 集 是(3,2).会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内例 7 已知定义在 R 上的函数()f x对任意实数x、y，恒有()()()f x f y f x y，且当0 x 时，()0 f x，又2(1)3f.（1）求证：()f x为奇函数；（2）求证：()f x在 R 上是减函数；（3）求()f x在 3，6上的最大值与最小值.（1）证明：令0 x y，可得(0)(0)(0 0)(0)f f f f，从而，f(0)=0.令y x，可得()()()(0)0 f x f x f x x f，即()()f x f x，故()f x为奇函数.（2）证 明：设1 2,x x R，且1 2x x，则1 20 x x，于 是1 2()0 f x x 从 而1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2()()()()()()()()0 f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x.所以，()f x为减函数.（3）解：由（2）知，所 求 函 数 的 最 大 值 为(3)f，最 小 值 为(6)f.(3)(3)(2)(1)2(1)(1)3(1)2.f f f f f f f，(6)(6)(3)(3)4 f f f f.于是，()f x在-3，6上的最大值为 2，最小值为-4.课堂小结 1.单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.2.求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.3.判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.作业 见同步练习部分 拓展提升 会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内1.下列四个函数：1xyx;2y x x；2(1)y x;21xyx，其中在(-,0)上为减函数的是（）（A）（B）（C）、（D）、2.函数)(x f在),(b a和),(d c都是增函数，若),(),(2 1d c x b a x，且2 1x x 那么（）A)()(2 1x f x f B)()(2 1x f x f C)()(2 1x f x f D 无法确定 3.已知函数)(x f是定义在)2,2(上的减函数，若(1)(2 1)f m f m，实数m的取值范围为()A.m0 B.30m2 C.-1m3 D.1 32 2m 4下列命题中，真命题是（）A函数1yx 是奇函数，且在定义域内为减函数 B函数3 0(1)y x x 是奇函数，且在定义域内为增函数 C函数2y x 是偶函数，且在（3，0）上为减函数 D函数2(0)y ax c ac 是偶函数，且在（0，2）上为增函数 5若)(x，()g x都是奇函数，()()()2 f x a x bg x 在（0，）上有最大值 5，则()f x在（，0）上有（）A最小值 5 B最大值 5 C最小值 1 D最大值 3 6()(2 1),f x a x b R 设函数 是 上的减函数则 a 的范围为()A12a B12a C12a D12a 7函数2(0,)y x bx c x)是单调函数的充要条件是()A0 b B0 b C0 b D0 b 8已知()f x在区间(,)上是减函数，,a b R 且0 a b，则下列表达正确的是（）A()()()()f a f b f a f b B()()()()f a f b f a f b C()()()()f a f b f a f b D()()()()f a f b f a f b 会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内9画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22|1 y x x（2）2|2 3|y x x 10根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数 11.设)(x f是定义在 R 上的函数，对m、R n 恒有)()()(n f m f n m f，且当0 x时，1)(0 x f.（1）求证：1)0(f；（2）证明：R x 时恒有0)(x f；（3）求证：)(x f在 R 上是减函数；（4）若()(2)1 f x f x，求x的范围.参考答案 1.A 2.D 3.B 4.C【提示】A 中，1yx 在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0 a 时，2(0)y ax c ac 在（0，2）上为减函数，答案为 C.5.C【提示】)(x、()g x为奇函数，)()(2)(x bg x a x f 为奇函数.又()f x有最大值 5，2 在（0，）上有最大值 3.()f x 2 在(,0)上有最小值 3，()f x在(,0)上有最小值 1答案为 C.会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内6.D【提示】2 a 10 时该函数是 R 上的减函数.7.A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.8.D【提示】0 a b 可转化为a b 和b a 在利用函数单调性可得.9.解：(1)222 1(0)2 1(0)x x xyx x x 即22(1)2(0)(1)2(0)x xyx x 如图所示，单调增区间为(,1 0,1 和，单调减区间为 1,0 1,)和.（2）当22 3 0,1 3 x x x 得，函数2 22 3(1)4 y x x x 当22 3 0,1 3 x x x x 得 或，函数2 22 3(1)4 y x x x，即22(1)4(1 3)(1)4(1 3)x xyx x x 或.如图所示，单调增区间为 1,1 3,和，单调减区间为(,1 1,3 和.(1)(2)10.证明：设 1 2 1 2,x x R x x 且，则3 3 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1()()()(),f x f x x x x x x x x x 1 2x x 因为，2 10 x x 所以，且在 1x与 2x中至少有一个不为 0，不妨设 20 x，那么2 2 2 222 1 2 1 1 23()2 4xx x x x x x 0，1 2()()f x f x 所以，故()f x在(,)上为减函数.11.解：(1)取 m=0，n=12则1 1(0)()(0)2 2f f f，因为1()02f 所以(0)1 f.(2)设0 x 则0 x，由条件可知()0 f x，又因为1(0)()()()0 f f x x f x f x，所以()0 f x.R x 时，恒有0)(x f.会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内（3）设1 2x x 则1 2 1 2 1 1()()()()f x f x f x f x x x=1 2 1 1()()()f x f x x f x=1 2 1()1()f x f x x.因 为1 2x x 所 以2 10 x x 所 以2 1()1 f x x 即2 11()0 f x x，又 因 为1()0 f x，所 以1 2 1()1()0 f x f x x，所 以1 2()()0 f x f x，即该函数在 R 上是减函数.(4)因为()(2)1 f x f x，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f，所以22 0 x x，所以 2 0 x x x 的范围为 或.会运用函数图象理解和研究函数的性质理解函数单调性的概念及证明方法判别方法理解函数的最大小值及其几何意义理解奇函数偶函数的概念及图象的特征能熟练判别函数的奇偶性导入新课通过对函数及的观察提出有关函数单调性 象限任画一可作为函数图象的图形然后按如下操作并回答相应问题以轴为痕将纸对并在纸的背面即第二象限画出第一象限内图形的痕迹然后将纸展开观察坐标系中的图形问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体则这个图形可 可以作为某个函数的图象并且它的图象关于轴对称若点在函数图象上则相应的点也在函数图象上即函数图象上横坐标互为相反数的点它们的纵坐标一定相等以轴为痕将纸对然后以轴为痕将纸对在纸的背面即第三象限画出第一象限内