《勾股定理》典型练习题1_中学教育-中考.pdf

优秀学习资料 欢迎下载 勾股定理典型例题分析 一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2+b2=c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数 满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13)(6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是 两点之间线段最短。二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆 优秀学习资料 欢迎下载 2.如图，以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，则 它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3 B.S1+S2=S3 C.S2+S3 S1 D.S2-S3=S1 4、四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。5、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正 放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是 S S1 2、S S S S S S3 4 1 2 3 4、，则=_。考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm，则斜边长为 2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是 S3S2S1优秀学习资料 欢迎下载 3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和 12，求斜边上的高 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（）A 2 倍 B 4 倍 C 6 倍 D 8 倍 5、在 Rt ABC 中，C=90 若 a=5，b=12，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若 c=61，b=60，则 a=_；若 a b=3 4，c=10 则 Rt ABC 的面积是=_。6、如果直角三角形的两直角边长分别为 1 n2，2n（n1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2 1 D、1 n2 7、在 Rt ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.2 2 2a b c B.2 2 2a c b C.2 2 2c b a D.以上都有可能 8、已知 Rt ABC 中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则 Rt ABC 的面积是（）A、242cm B、36 2cm C、482cm D、602cm 9、已知 x、y 为正数，且 x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图 1 所示，等腰 中，是底边上的高，若，求 AD的长；ABC 的面积 优秀学习资料 欢迎下载 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6 B.2，3，4 C.11，12，13 D.8，15，17 2、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）A、2 3 4 B、3 4 6 C、5 12 13 D、4 6 7 3、下面的三角形中：ABC 中，C=A B；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17 其中是直角三角形的个数有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4、若三角形的三边之比为2 1:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 5、已知 a，b，c 为 ABC 三边，且满足(a2 b2)(a2+b2 c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A 钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7、若 ABC 的三边长 a,b,c 满足2 2 2a b c 200 12a 16b 20c，试判断 ABC的形状。8、ABC的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。优秀学习资料 欢迎下载 例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为 1：3：2，则其最小角为。考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 米 A B C 优秀学习资料 欢迎下载 3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如 果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的池塘 A处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为.60 120 140 B 60 A C 第 5 题图 7 86CADB优秀学习资料 欢迎下载 6、如图：有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米 7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在 A处登陆后，往东走 8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走 3km，再折向北方走到 5km处往东一拐，仅 1km 就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题 1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将 ABC 折叠，使点 B 与点 A重合，折痕为 DE，则 CD等于（）A.425 B.322 C.47 D.35 2、如图所示，已知 ABC 中，C=90，AB的垂直平分线交 BC 于 M，交 AB 于 N，若 AC=4，MB=2MC，求 AB的长 8 米 2 米 8 米 第 6 题图 图 18-15 15328BA优秀学习资料 欢迎下载 3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 CF 和 EC。4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC边上存在一点 E，沿直线 AE把 ABC折叠，使点 D恰好在 BC边上，设此点为 F，若 ABF的面积为 30，求折叠的 AED 的面积 DCBAFE 5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D与点 B 重合，那么折叠后 DE的长是多少？6、如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC 沿 AC对折至 AEC 位置，CE与 AD交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=3，BC=4，求 AF的长 7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE折叠，顶点 D正好落在 BC边上 F 点处，已知 CE=3cm，A B C E F D 优秀学习资料 欢迎下载 AB=8cm，则图中阴影部分面积为 _ 8、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=3，BC=7，重合部分 EBD 的面积为 _ 9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A与 CD边上的点 M重合，折痕交 AD于 E，交 BC于F，边 AB折叠后与 BC边交于点 G。如果 M为 CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。10、如图 2-5，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A点重合，则折叠后痕迹 EF的长为（）A 3.74 B 3.75 C 3.76 D 3.77 2-5 11、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角优秀学习资料 欢迎下载 三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD边上（不与 A、D重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若 不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边 BC的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DE DF，若 BE=12，CF=5 求线段 EF的长。13、如图，公路 MN 和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30，点 A处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 优秀学习资料 欢迎下载 最大的正方形的边长为 5，则正方形 A，B，C，D的面积的和为 2、已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 考点九、图形问题 1、如图 1，求该四边形的面积 2、如图 2，已知，在 ABC 中，A=45，AC=2，AB=3+1，则边 BC的长为 3、某公司的大门如图所示,其中四边形是长 方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这 辆 卡ABCDE FG 431213BCDA优秀学习资料 欢迎下载 车能否通过公司的大门?并说明你的理由.4、将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h，则 h 的取值范围。5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D为两村庄，DA 垂直 AB于 A，CB垂直 AB于 B，已知 AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E站的距离相等，则 E 站建在距 A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形 如图是一块地，已知 AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算 优秀学习资料 欢迎下载 1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 的表面上，求从顶点 A到顶点 C的最短距离 2、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A点爬到 B 点，则最少要爬行 cm 3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 考点十二、航海问题 1、一轮船以 16 海里/时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从AB优秀学习资料 欢迎下载 A港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _海里 2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M处，在点 A处测得某岛 C 在北偏 东 60 的方向上。该货船航行 30 分钟 到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里 的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km的 B 处有一台风中心，沿 BC方向以 15km/h 的速度向 D移动，已知城市 A到BC的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题 DBCA东北3060B ACMD优秀学习资料 欢迎下载 1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（）A 0 B 1 C 2 D 3 2、如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为 1，则 ABC 是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 3、如图，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是()A 25 B.12.5 C.9 D.8.5 BCA ABCDCBA（图 1）（图 2）（图 3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为 3、8、5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可）甲 乙