第五章相交线与平行线知识点整理_中学教育-中学学案.pdf

学习必备 精品知识点 相交线与平行线知识点整理 5.1 相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 边的关系 大小关系 对顶角 1 与 2 1 的两边与 2 的两边互为反向延长线 对顶角相等 即 1=2 邻补角 3 与 4 3 与 4 有一条边公共，另一边互为反向延长线。邻补角互补 3+4=180 注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果 与 是对顶角，那么一定有；反之如果，那么 与 不一定是对顶角；如果 与 互为邻补角，则一定有 180；反之如果 180，则 与 不一定是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。2、垂线 定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：AB CD，垂足为 O 垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。记得时候应该结合图形进行记忆。如图，PO AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到 直线 AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。5.2 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作ab，读作：a 平行于b。2、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重P A B O 1 2 3 4 A B C D O 学习必备 精品知识点 合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线b a,被直线l所截 1 与 5 在截线l的同侧，同在被截直线b a,的上方，叫做同位角（位置相同）5 与 3 在截线l的两旁（交错），在被截直线b a,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）5 与 4 在截线l的同侧，在被截直线b a,之间（内），叫做同旁内角。三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6、两直线平行的判定方法 判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：解：3 2 AB CD（同位角相等，两直线平行）1 2 AB CD（内错角相等，两直线平行）4 2 180 AB CD（同旁内角互补，两直线平行）注意：注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等或互补，然后写平行。典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：不相交的两条直线必定平行线。在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答：错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。正确 不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：2 B，AB DE（同位角相等，两直线平行。）a b c a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F 1 2 3 4 A B E D F C 1 2 3 关系的角它们的概念及性质如下表图形边的关系大小关系的两边与的两边互为反向延长线对顶角对顶角相等即与邻补角与有一条边公共另一边互为反向延长线邻补角互补与注意点对顶角是成对出现的对顶角是具有特殊位置关系的两 是邻补角两直线相交形成的四个角中每一个角的邻补角有两个而对顶角只有一个垂线定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时就说这两条直线互相垂直其中的一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足符号语 一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短简称垂线段最短垂线的画法直线垂足直角记号一靠用三角尺一条直角边靠在已知直线上二移移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上三画沿着这条直角边画直线不要画成给人的印象是线学习必备 精品知识点 1 D，AC DF（内错角相等，两直线平行。）3 F 180，AC DF（同旁内角互补，两直线平行。）5.3 平行线的性质 1、平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补。2、命题：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果，那么”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述。3、平行线的性质与判定 平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补。其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。典型例题：已知 1 B，求证：2 C 证明：1 B（已知）DE BC（同位角相等，两直线平行）2 C（两直线平行，同位角相等）注意：在了 DE BC，不需要再写一次了，得到了 DE BC，这可以把它当作条件来用了。典型例题：如图，AB DF，DE BC，1 65，求 2、3 的度数 A B C D E F 1 2 3 4 A D E B C 1 2 几何符号语言：解：AB CD 1 2（两直线平行，内错角相等）AB CD 3 2（两直线平行，同位角相等）AB CD 4 2 180（两直线平行，同旁内角互补）关系的角它们的概念及性质如下表图形边的关系大小关系的两边与的两边互为反向延长线对顶角对顶角相等即与邻补角与有一条边公共另一边互为反向延长线邻补角互补与注意点对顶角是成对出现的对顶角是具有特殊位置关系的两 是邻补角两直线相交形成的四个角中每一个角的邻补角有两个而对顶角只有一个垂线定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时就说这两条直线互相垂直其中的一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足符号语 一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短简称垂线段最短垂线的画法直线垂足直角记号一靠用三角尺一条直角边靠在已知直线上二移移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上三画沿着这条直角边画直线不要画成给人的印象是线学习必备 精品知识点 解答：DE BC（已知）2 1 65（两直线平行，内错角相等）AB DF（已知）AB DF（已知）3 2 180（两直线平行，同旁内角互补）3 180 2 180 65 115 5.4 平移 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。典型例题：如图，ABC 经过平移之后成为 DEF，那么：点 A 的对应点是点；点 B 的对应点是点。点的对应点是点 F；线段 AB 的对应线段是线段；线段 BC 的对应线段是线段；A 的对应角是。的对应角是 F。解答：D；E；C；DE；EF；D；ACB。思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。A D F B E C 1 2 3 A D B E C F 关系的角它们的概念及性质如下表图形边的关系大小关系的两边与的两边互为反向延长线对顶角对顶角相等即与邻补角与有一条边公共另一边互为反向延长线邻补角互补与注意点对顶角是成对出现的对顶角是具有特殊位置关系的两 是邻补角两直线相交形成的四个角中每一个角的邻补角有两个而对顶角只有一个垂线定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时就说这两条直线互相垂直其中的一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足符号语 一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短简称垂线段最短垂线的画法直线垂足直角记号一靠用三角尺一条直角边靠在已知直线上二移移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上三画沿着这条直角边画直线不要画成给人的印象是线