第十二届全国“华罗庚金杯”决赛试题-初二组_中学教育-竞赛题.pdf

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组）（时间：10：0011：30）一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1、已知4 b a，0 42 c ab，则c b a 的值为。2、已知0)2(12 ab a，则)2007)(2007(1)1)(1(1 1 b a b a ab的值为。3、在平面直角坐标系中，点 P 1)1(m m m，（m为实数）不可能在第 象限。4、有一只手表每小时比准确时间慢 3 分钟，若在清晨 4：30 与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是 10：50，准确时间应该是。5、如图，P 是平行四边形 BCD 内一点，且 S PB 5，S PD 2，则阴影部分的面积为。6、若 10 个数据的平均数是22，平方和是 10，则方差是。7、若直线1103 457 323 y x与直线897 543 177 y x的交点坐标是（a，b），则2 22004b a 的值是。8、某校组织师生春游，如果单独租用 45 座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用 60 座客车，可以少租一辆，且余 30 个座位。则该校去参加春游的人数为；若已知 45座客车的租金为每辆 250 元，60 座客车租金为每辆 300 元，这次春游同时租用这两种客车，其中 60 座客车比 45 座客车多租 1 辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 元。二、解答题（每题 10 分，共 40 分，要求写出解题过程）9、已知f ex dx cx bx ax x 2 3 4 5 5)1(，求下列各式的值：（1）f e d c b a（2）e d c b（3）e c a 10、如图所示，在 BC中，C 7，BC 4，D 为 B 的中点，E 为 C 边上一点，且 ED 9021 C，求 CE的长。CBADPADBCE 11、已知n是正整数，且1 2 n与1 3 n都是完全平方数。是否存在n，使得3 5 n是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由。12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上 3 成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上 2 成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的 33 倍。问这家原来的电话号码是多少？参考答案 一、填空（每题 10 分，共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0 20092008 二 11：10 3 21 2008 270，1400 注：第 8 题，每空 5 分。1-8 题参考答案提示：1、解：因为0 42 c ab，即0)4(2 c ab，所以4 ab，0 c。平面直角坐标系中点为实数不可能在第象限有一只手表每小时比准确时间慢分钟若在清晨与准确时间对准则当天上午手表指示的时间是准确时间应该是如图是平行四边形内一点且则阴影部分的面积为若个数据的平均数是平方和是则 客车可以少租一且余个座位则该校去参加春游的人数为若已知座客车的租金为每元座客车租金为每元这次春游同时租用这两种客车其中座客车比座客车多租所以租金比单独一种客车要节省按这种方案需要租金元二解答题每题分共分 数是否存在使得如果存在请求出所有的值如果不存在请说明理由某市电话号码原为六位数第一次升位是在首位数和第二位数之间加上成为一个七位是质数与数第二次升位是在首位数前加上成为一个八位数某人发现他家中的电话号码0)4(4 16 4)()(2 2 ab b a b a，所以c b a=0。2、解：由非负性可得：1 a，2 b，原式=200920082009120081413131212112009 200814 313 212 11 3、解：（1）当0)1(m m时，有 0 10mm或 0 10mm，所以0 m或1 m，因此1 1 m或2 1 m，即 P 1)1(m m m，经过第一、四象限。（2）当0)1(m m时，有 0 10mm或 0 10mm，所以0 1 m，因此1 1 2 m，即 P 1)1(m m m，经过第四象限。综合得，P 1)1(m m m，不经过第二象限。4、解：11：10。设标准时间经过了x小时，则60)6510 5.4(3 x x，解得 x6 小时40 分。5、因为 S PB S PCD21SBCD S CD 所以 S CD S PCD S PB 则 S PC S CD S PCD S PD S PB S PD 5 2 3 6、解：22)(10110 2 1 x x x x，102102221 x x x，212110 2 5222 10 101 10)(2)(101 2 2 2 101)()()(101210 2 12102221210210222221212102221 x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x S 平面直角坐标系中点为实数不可能在第象限有一只手表每小时比准确时间慢分钟若在清晨与准确时间对准则当天上午手表指示的时间是准确时间应该是如图是平行四边形内一点且则阴影部分的面积为若个数据的平均数是平方和是则 客车可以少租一且余个座位则该校去参加春游的人数为若已知座客车的租金为每元座客车租金为每元这次春游同时租用这两种客车其中座客车比座客车多租所以租金比单独一种客车要节省按这种方案需要租金元二解答题每题分共分 数是否存在使得如果存在请求出所有的值如果不存在请说明理由某市电话号码原为六位数第一次升位是在首位数和第二位数之间加上成为一个七位是质数与数第二次升位是在首位数前加上成为一个八位数某人发现他家中的电话号码7、解：897 543 1771103 457 323y xy x，解得12yx，所以2 a，1 b，因此2 22004b a=2008 8、解：设该校去参加春游的人数为人，则有1603045a a，解得=270 设租用 45 座客车 x 辆，则租用 60 座客车（x+1）辆，由题意 若单独租 45 座客车需要 270 45=6 辆，租金 250 6=1500 元，若单独租 60 座客车需要（270+30）60=5 辆，租金 300 5=1500 元，则有 270)1(60 451500)1(300 250 x xx x，解得112434 x x=2 即租 45 座客车 2 辆，60 座客车 3 辆，此时租金为：250 2+300 3=1400（元）二、解答题（每题 10 分，共 40 分，要求写出解题过程）9、解：（1）令1 x，即可得32 f e d c b a；（2）比较两边系数，因为1 f a，所以30 e d c b；（3）再令1 x，可得0 f e d c b a，与（1）中的结论相减再除以 2，即可得16 e c a。评分参考：第（1）小题 3 分，第（2）小题 3 分，第（3）题 4 分。10、解：作 B DE 交 C 于，作 CB 的平分线交 B 于 G，交 B 于 H。（1 分）则 ED B CH21 C。（2 分）因为 ED 9021 C，所以 CH 90 CHB。（3分）又 CH BCH，CH CH。CH BCH。（5 分）C CB 4，（6 分）C C 7 4 3。（7 分）D DB，B DE E E 1.5。（9 分）CE 5.5。（10 分）评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给 2 分。11、解：不存在正整数n，使得3 5 n是质数。理由如下：（1 分）设21 2 k n，21 3 m n，其中k，m都是正整数，则 ADBCEFGH平面直角坐标系中点为实数不可能在第象限有一只手表每小时比准确时间慢分钟若在清晨与准确时间对准则当天上午手表指示的时间是准确时间应该是如图是平行四边形内一点且则阴影部分的面积为若个数据的平均数是平方和是则 客车可以少租一且余个座位则该校去参加春游的人数为若已知座客车的租金为每元座客车租金为每元这次春游同时租用这两种客车其中座客车比座客车多租所以租金比单独一种客车要节省按这种方案需要租金元二解答题每题分共分 数是否存在使得如果存在请求出所有的值如果不存在请说明理由某市电话号码原为六位数第一次升位是在首位数和第二位数之间加上成为一个七位是质数与数第二次升位是在首位数前加上成为一个八位数某人发现他家中的电话号码)2)(2(4)1 3()1 2(4 3 52 2m k m k m k n n n。（4 分）若1 2 m k，则3 5 n不是质数；（7 分）若1 2 m k，则1 2 2 3 5 m m k n，于是 2)3 5()1 3(2)1 2(1 2)1(2 2 2 n n m m m m m 0 2 n，矛盾。（9 分）综上所述，不存在正整数n，使得3 5 n是质数。（10 分）评分参考：见解答过程。12、解：设原电话号码为abcdef，则升位后为bcdef a3 2，令bcdef x，（2 分）bcdef a abcdef 3 2 33，即x a x a 1000000 20300000)100000(33，化简得a x 2300000 20300000 32 9 1(a，100000 0 x的整数），（6 分）故100000)23 203(3125 0 a x，203 23 171 a，8 a。（8分）于是59375)8 23 203(3125 x。故所求的电话号码为 859375。（10分）评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给 4 分。平面直角坐标系中点为实数不可能在第象限有一只手表每小时比准确时间慢分钟若在清晨与准确时间对准则当天上午手表指示的时间是准确时间应该是如图是平行四边形内一点且则阴影部分的面积为若个数据的平均数是平方和是则 客车可以少租一且余个座位则该校去参加春游的人数为若已知座客车的租金为每元座客车租金为每元这次春游同时租用这两种客车其中座客车比座客车多租所以租金比单独一种客车要节省按这种方案需要租金元二解答题每题分共分 数是否存在使得如果存在请求出所有的值如果不存在请说明理由某市电话号码原为六位数第一次升位是在首位数和第二位数之间加上成为一个七位是质数与数第二次升位是在首位数前加上成为一个八位数某人发现他家中的电话号码