释疑解难无穷级数.docx
释疑解难无穷级数问题1试判断下列命题是否正确？oo（1）若lim=0,则必定收敛。71=100800设WX w 是正项级数，un。匕,（几=1,2,.）,。为大于零的常数，则24，=1n=l72=100z匕?同敛散。=1答：均不正确。（1） lim/=0是级数收敛的必要条件, nfgoo不能判断的收敛，但它的逆否命题成n=8即若lim/wO,则发散。一872 = 1即若lim/wO,则发散。一872 = 1立，可以用lim/ W0来判断£耳的发散,一8n=（2）反例，考虑%n问题2下列运算是否正确？00800若均收敛，且对一切自然数有（勿，证明：£c也收敛。n=n=n=00OC00证明：= 1,2,）且24，均收敛，由比较判别法知收敛。 =17i=ln=答：不正确。因为证明中使用了比较判别法，而比较判别法只适用于正项级数，题目中并未指出级数 是正项级数，正确方法如下：证明：由条件为 （勿5 = 1,2,-）可得bH-af1cn-afl0 ,故£电一%）与n=00888Z（q4）均为正项级数。 2册与工4 收敛，从而z（。）收敛，由正项级数的比 =1n=n=n=008oo较判别法,Z（CQ）也收敛,而 C=（g4） + %,所以 %=（%一。） + %也 w=1n=1收敛。88a b%问题3设、，、均为正项级数，满足亨，（ =1,2,3,）,且级数=1n="in=8收敛，证明E为收敛。下面证明过程正确吗? n=8ha h证明：收敛，. lim< 1,又二=iibafl bnco由比值判别法知，收敛。二i答：不正确。00h因为比值判别法的逆命题不成立,因为比值判别法的逆命题不成立,即根据正项级数£么收敛，不能推出lim 存在，7->8 人Tunhh并且小于1的结论。（例如，£-7收敛，但lim3 = l）,同时由lim一比存在，也不能 F72一>8 hh=1 unun推出lim巴旦存在的结论。 一>8 Z7正确证明如下：由也皖L,推出5hL<5l<<,于是a<b, = 12an bn%+1 bn4b800又 收敛，根据正项级数的比较判别法知Z%收敛。n=n=8问题4幕级数Z4 （x-%）的收敛域具有什么特点？ 71=0答：1.基级数的收敛域不是空集，至少0为收敛点。2 .累级数的收敛域是以与为中心的对称开区间加收敛的端点，区间端点为 x0-r,x0 + r,收敛域可能是闭区间，开区间或半开区间，也可能是实数域R （收敛半径 r = +oo ）或孤立点玉） o3 .由阿贝尔定理，有若累级数在x = c处收敛，则在工一/<c即（尤0。,天）+。）内必 绝对收敛，而若在x = Q处发散，则在%,入。+可之外必发散。问题5设函数/（%）在4点的某一邻域内具有任意阶导数，试问/（x）是否总能在与 点展开为泰勒级数?答：首先必须明确两个概念:oo 1/(X)在Xo点的泰勒级数是指基级数ZF)(/)(x 不)” ； /7=0 几,(1) /(x)在4点能展开为泰勒级数是指存在与的某个邻域。(4)，oo 1总有小 即所展开成的级数必须收敛于/(x) o以上是二个不同的概念，事实上只要/(x)在/点有任意阶导数，就可以写出泰勒级数, 但根据收敛定理知，/(x)在(%)内收敛于/(x)的充分必要条件是：在。(公)内，/(X)的泰勒公式的余项R(x)f 0( -8),若没有limR=0的条件，/(x)在4点就不一 一8定能展开为泰勒级数。1例如 /(x)= <例如 /(x)= <e '，当xwO时 在 = ()点各阶导数都存在，且等于零，事实上+ 1+8 2ad+ 1+8 2ad0,当x = 0时/0):lim /-/ " iim£ X>()XXf ()2 -ry 2°)尸(0) = limx->0r(x)T'(O)2一=limxf 01X10=limx->01X4i2产= Zlim- = 0X+00 d由归纳法(略)，得/)(0) = 0 5 = 3,法)由于)(0) = 0( = 1,2,),因此/(x)在x = 0点的泰勒级数为£°x，其和函数 -0加为S(x) = O,X £ (8, +8)。说明/(X)在/=0点的泰勒级数在邻域。(0)内不收敛于/(X),因此，/(X)在玉)=。点不能展开为累级数。问题6怎样用间接法将函数展开为幕级数?8答：将,f(x)展开为X的基级数指累级数的形式为Z%炉，因此，展开时常借助于马 72=0克劳林级数£亡黑n=0 而将/(%)展开为(X-%)的幕级数所指的基级数形式为0000 户2>(工一4)，故而常常借助于泰勒级数； "(X-/) o =072=0" ,间接展开法是通过变形将函数化为适当的形式，利用已知的展开式来完成的。1. /(X)是有理分式，可利用展开式展开：-1 + X + JC + 1-X00+ xn + =£ (-1,1)二0例1将展开为X的嘉级数。1 JC解：可利用变量变换，令/ =/，得= - = 1 +，+/+ + / + = 1 + X2 + X4 + x2n + 1-x21-t8x2xe(-l,l)=()或一1-x21l-(x2oooo、= £(/)"=之”/£(-14)I ；?=()«=()也可将/(%) = 占分解为=1 + (X)+ (%)2 + (x)+8=1 - X + Y + + (T)X+ = Z(T)x” (-1,1)二000e (-I'l) °n=0188/w=- Z%"+Z(1)"£2 n=o=o例2将f(x) =分别展开为x的幕级数和X-的幕级数。x+ 2x 3解：将/(x)化为部分分式之和:，3 二 (%T(x + 3)( 1 1 )1411 x 3 + x)(1)展开为X的累级数(1)展开为X的累级数Z7=04z(-irD /?=()=£臂-%"”(-3,3) n=0 0i 昌(一n* 小)=一立 1 + TF x 心(fl)(2)展开为x 1的嘉级数先将/(x)化为如下形式：/二-£41 )+3 + xJ1H4 + (1)得一l<x<3)得一l<x<3)=£击(1)" =()Z2-(1)"1)=0 4，xe(-3,5)100ET)- 77=0f(x)= _；E 击+(1)”, xw(-L3)。对于/(X)= F (/ +X+ 为质因式，在实数范围内不能再分解因式)，一般应x + px + q用直接展开法或待定系数法，但对一些特殊情况，也可用间接法展开，例如11 _ V288n=0n=03/z+l Ji=£(73+1/7=0例3将/(x) =二展开为x的事级数。 (J"解：由于X£(1,1)时，有dt_1_ _ °(r-l)2一百dt_1_ _ °(r-l)2一百001 = X + X? HF XH H= Xnn=0再求导，利用幕级数逐项求导性质，得00n=00n=1 9不=1 + 2x+3x + fix'，(%1)-另解如下方法更为简单：00工"="n=2.f(x)是无理函数，通常转化为(l + x)°,再求其展开式例如 /(x)=7，=X(l +22) A Vl + x2工JR (I m 1m(m-l) 2 m(m-l) (m-n + 1) ,1、利用(1 + x) =l + nvc + -+ +-x +( -1<x<1 )v 727t!展开为X的幕级数。3. 7(x)是超越函数，除了注意函数变形为已知展开式的形式外，应特别注意，如果/(x)的导数(%)、积分/力的展开式为已知，则通过逐项积分和求导的方法把求/(x)的展开式转化为求/'(X)或/«)力的展开式。例如历(1 + 切=占，(armn%)'=占，自:历(1 +九)与arctanx的展开都可通过对其导函数一匚1 I历(1 + 切=占，(armn%)'=占，自:历(1 +九)与arctanx的展开都可通过对其导函数一匚1 I11 + x2ff和一的展开再逐项 1-X积分或逐项求导来完成。例.将下列函数展开为X的基级数:(1)/(x) = ax (0)(2) g(x) = xarctanx解:而 ax所以在上面展开式中，以X/四代X便得r(xlnaYa = 1 + xlna + +2!+3加) +n一,山 2(历a) =1 + Ina x H, Hx + (加a)2!nxe(o,+oo)xnxnX2(1 ) 因为"=1 + X H(-HF , X £ ( 00 +oo2! n 'f18(2)(arctanx) = = 2L(-l)/?x2/z, xe(-l9l)1 + X 72=0积分 arctan x = £-二出=£(-1)”产力=£瞿”, 1 + %=o"n=o 2n +1xe1,1当工=±1时,00z/?=0(-1)2n + l(±1)为收敛的交错级数。8 /_in8 /_i n-XG -1,1XG -1,1. g(x) = x arctan x = xY-x2n+i = V(一) ±2 + l 62-1问题7任何函数都能展开为傅里叶级数吗？函数/(x) = 2x/£0,1)能展开为傅里 叶级数吗？答：根据收敛定理，如果/(x)是周期函数且满足收敛条件，当然可以展开为(fo,oo)上 的傅里叶级数；如果/(x)不是周期函数，只要在-/,/上满足收敛条件，也可以通过周期 延拓展开，从而得到-/,/上傅里叶级数；如果/(x)在0,/满足收敛条件，则可以通过奇 (偶)延拓展开，从而得至40,/上的正弦级数、余弦级数。例如,f(x) = e1 /(x) = 2x等 都不能展开为(to,8)上傅里叶级数，但它们可以展开为-/,/上傅里叶级数。函数/(x) = 2x,x£1,1可以展开为傅里叶级数，这是因为可以将这个函数进行周期延拓，使延拓后的函数b(x)成为周期函数：F(x) = 2(x-2k),xe2k l, 2 + 1,左=0,±1,±2,然后将尸展开为傅里叶级数，注意在上，f(x) = F(x),因此b(x)的傅里叶级数在-1,1上就是/(x)的傅里叶级数。另外，这两个函数也可以展开成0,1上的正弦级 数、余弦级数。
