古希腊三个著名问题之一的三等分角.docx
古希腊三个闻名问题之一的三等分角，现在美国就连很多没学过数学的人也都知道.美 国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到很多"角的三等分者"的来信; 并且，在报纸上常见到：某人已经最终地"解决了"这个不行捉摸的问题.这个问题的确 是三个闻名的问题中最简洁理解的一个，由于二等分角是那么简洁，这就自然会使人们想 到三等分角为什么不同样的简洁呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简洁的事；或许古希腊人在求解类似的任意 等分角的问题时,提出了三等分角问题；或许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的, 在那里，要三等分一个60。角.在讨论三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem) 问题.任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑 过B点的一条线，它交CA于E ,交DA之延长线于F,且使得EF=2(BA).令G为EF之 中点，则EG=GF=GA=BA,从中得到：zABG=zAGB=zGAF+zGFA=2zGFA=2zGBC ,并且BEF三等分/ABC .因此,这个问题被归结为在DA的延长绩口 AC之间，作一 给定长度2(BA)的线段EF ,使得EF斜向B点.假如与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E' F' =2(BA),然后调 整直尺的位置，使得它过B点，并且，E在AC上，F'在DA的延长线上；则/ABC被 三等分.对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则（the insertion principle） 的一种应用.这一原则的其它应用，参看问题讨论4.6.为了解三等分角归结成的斜向问题，有很多高次平面曲线已被发觉.这些高次平面曲 线中最古老的一个是尼科梅德斯（约公元前240年）发觉的蚌线.设c为一条直线，而。为 c夕可一点，P为c上任何一点，在P0的延长线上截PQ等于给定的固定长度k .于是， 当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点0和常数k的蚌线（conchoid）（实际上，只是 该蚌线的一支）.设计个画蚌线的工具并不难，用这样一个工具，就可以很简洁地三等分 角.这样，令/AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于0A ,截0A于D ,截0B于 L（如图32所示）.然后，对极点0和常数2（0L），作MN的蚌线.在L点作0A的平行线, 交蚌线于C .则0C三等分/AOB .借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法.对于这种 方法的最早证明是帕普斯（Pappus ,约公元300年）.采用二次曲线三等分角的两种方法在 问题讨论4.8中可以找到.有一些超越（非代数的）曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等 分.在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯（Hippias，约公元前425年）创造的割圆曲线 （quadratrix）和阿基米得螺线（spiral of Archimeds）.这两种曲线也能解圆的求积问题.关 于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题讨论4.10 .多年来，为了解三等分角问题，已经设计出很多机械装置、联动机械和复合圆规. 参看R . C . Yates . The Trisection Prolem .其中有一个好玩的工具叫做战斧，不知道是 谁创造的，但是在1835年的一本书中叙述了这种工具.要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开头，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU ,如图33所示.用 战斧三等分/ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与 BC相切于D .于是证明：WSB TSB iTDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角.可 以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上.在这种条件下，我们可以 说用直角和圆规三等分一个角（用两个战斧，则可以五等分一个角）.欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法,能作出相 当好的近似的三等分. 一个卓越的例子是闻名的蚀刻师、画家A .丢勒（Albrecht Durer） 于1525年给出的作图方法.取给定的/AOB为一个圆的圆心角（参看图34）,设C为弦AB 的靠近B点的三等分点.在C点作AB的垂线交圆于D .以B为圆心，以BD为半径，作 弧交AB于E .设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧 交圆于G .那么，0G就是/AOB的近似的三等分线.我们能够证明：三等分中的误差随 着/AOB的增大而增大；但是，对于60。的角大约只差1 ，对于90。角大约只差18 .只要放弃尺规作图的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基 米得（前287 前212 ）发觉只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下： 在直尺边缘上添加一点P ,命尺端为0。设所要三等分的角是/ACB ,以C为圆心，0P 为半径作半圆交角边于A, B ;使。点在CA延在线移动，P点在圆周上移动，当尺通过 B 时，连 OPBe 由于 OP = PC = CB f 所以/COB = zAC B / 3。
