《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第五章习题_高等教育-统计学.pdf

习题五 1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P10 X18.【解】设iX表每次掷的点数，则41iiX X 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 7()1 2 3 4 5 6,6 6 6 6 6 6 21 1 1 1 1 1 9 1()1 2 3 4 5 6,6 6 6 6 6 6 6iiE XE X 从而 22 291 7 35()()().6 2 12i i iD X E X E X 又 X1,X2,X3,X4独立同分布.从而4 41 17()()()4 14,2i ii iE X E X E X 4 41 135 35()()()4.12 3i ii iD X D X D X 所以 235/310 18|14|4 1 0.271,4P X P X 2.假设一条生产线生产的产品合格率是 0.8.要使一批产品的合格率达到在 76%与 84%之间的概率不小于 90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,0,iiX若第 个产品是合格品其他情形.而至少要生产 n 件，则 i=1,2,n,且 X1，X2，Xn独立同分布，p=P Xi=1=0.8.现要求 n,使得 1 0.76 0.84 0.9.niiXPn 即 10.80.76 0.8 0.84 0.8 0.90.8 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2niiX nn n n nPn n n 由中心极限定理得 0.84 0.8 0.76 0.80.9,0.16 0.16n n n nn n 整理得 0.95,10n 查表1.64,10n n268.96,故取 n=269.3.某车间有同型号机床 200 部，每部机床开动的概率为 0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能 15 个单位.问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m，而 m要满足 200 部机床中同时开动的机床数目不超过 m 的概率为 95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令 X 表同时开动机床数目，则 XB（200，0.7）,()140,()42,E X D X 1400.95 0().42mP X m P X m 查表知 1401.64,42m,m=151.所以供电能 151 15=2265（单位）.4.一加法器同时收到 20 个噪声电压 Vk（k=1，2，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记 V=201 kkV，求 P V 105 的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,20 由中心极限定理知，随机变量 20120 520 5(0,1).100 10020 2012 12kkVVZ N 近似的 于是20 5 105 20 5 1051010020201212VP V P 1000.387 1(0.387)0.348,102012VP 即有 P V1050.348 5.有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）从而 30 100 0.2 30 1 30 1100 0.2 0.8P X P X 1(2.5)1 0.9938 0.0062.6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,1,2,100.0,.iiX i 第 人治愈其他 令1001.iiX X(1)XB(100,0.8)，100175 100 0.8 75 1 75 1100 0.8 0.2iiP X P X 1(1.25)(1.25)0.8944.(2)XB(100,0.7)，100175 100 0.7 75 1 75 1100 0.7 0.3iiP X P X 51()1(1.09)0.1379.21 7.用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中有20 件废品的概率.【解】令 1000 件中废品数 X，则 p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 1 20 50 1 30 206.895 6.89547.5 47.5P X 61 304.5 10.6.895 6.895 8.设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，T30服从参数=0.1单位：（小时）-1 的指数产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率.【解】1 1()10,0.1iE T 21()1 0 0,iD T()10 30 300,E T()3 0 0 0.DT 故 350 300 5 350 1 1 1(0.913)0.1814.3000 30P T 9.上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）.【解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而1 306 8 0.95,niiP T 即306 8 100.05.10nn 故 10 2448 244.80.95,1.64,272.10n nnn n 所以需 272a 元.10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2）求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】（1）以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而400iiX X,由中心极限定理得 400400 1.1400 1.1(0,1).400 0.19 4 19iiXXN 近似地 于是450 400 1.1 450 1 450 14 19P X P X 1(1.147)0.1357.(2)以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得 产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种340 400 0.8 340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y 11.设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P X5000.由中心极限定理有 5000 10000 0.515 5000(3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X 12.设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1)设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 P m Sn10000.95，事件 900 1000 0.9.1000 0.9 0.1 90nnS mm S 由中心极限定理知：1000 0.9 1 1 0.95.1000 0.9 0.1n nmP m S P S m 从而 9000.05,90m 故 9001.65,90m 所以 m=900-15.65=884.35884 人(2)设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求 P0 Sn M0.95.900 0.95.90nMP S M 查表知90090M=1.65,M=900+15.65=915.65916 人.13.在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.006）.产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种(1)公司没有利润当且仅当“1000 X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为 1 120 10000 0.006 12010000 0.006 0.994 10000 0.006 0.994P X 21(60/59.64)230.18111 60 1 1e59.64 59.64 2 59.640.0517 e 0(2)因为“公司利润 60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为 60 10000 0.006 0 10000 0.0060 6010000 0.006 0.994 10000 0.006 0.994P X 60(0)0.5.59.64 14.设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P|X-Y|6 的估计.（2001 研考）【解】令 Z=X-Y，有()0,()()()()2()()3.XPE Z D Z D X Y D X D Y D X D Y 所以 2()3 1|()|6|6.6 36 12D X YP Z E Z P X Y 15.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出 X 的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值.（1988 研考）【解】（1）X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2)，故 X 的概率分布是 100100 C 0.2 0.8,1,2,100.k k kP X k k(2)被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率即为事件 14X30 的概率.由中心极限定理，得 30 100 0.2 14 100 0.214 30100 0.2 0.8 100 0.2 0.8P X(2.5)(1.5)0.994 9.33 0.927.16.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种【解】设 Xi（i=1,2,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：()5 0,iE X()5,iD X()5 0,nE T n()5.nD T n 依中心极限定理，当 n 较大时，50(0,1)5nT nNn近似地,故箱数 n 取决于条件 50 5000 50 50005 5nnT n nP T Pn n 1000 100.977(2).nn 因此可从1000 102nn解出 n98.0199,即最多可装 98 箱.产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与之间的概率不小于问这批产品至少要生产多少件解令若第个产品是合格品其他情形而至少要生产件则且独立同分布现要求使得即由中心极限定理得整理得查表故取某车间有同型号机 能才可以的概率保证不致因供电不足而影响生产解要确定最低的供应的电能量应先确定此车间同时开动的机床数目最大值而要满足部机床中同时开动的机床数目不超过的概率为于是我们只要供应单位电能就可满足要求令表同时开动 匀分布记求的近似值解易知由中心极限定理知随机变量近似的于是即有有一批建筑房屋用的木柱其中的长度不小于现从这批木柱中随机地取出根问其中至少有根短于的概率是多少解设根中有根短于则从而某药厂断言该厂生产的某种