【典型例题】第二章一阶微分方程的初等解法_高等教育-微积分.pdf
学习必备 欢迎下载 第二章 一阶微分方程的初等解法 例 2-1 求0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解。解 解法 1 不定积分法。令2263),(xyxyxM,3246),(yyxyxN，则 xyyNxyyM12,12，所以该方程为恰当方程。2263),(xyxyxMxU，关于x积分，得)(3223yyxxU，32246),()(6yyxyxNyyxyU，34)(yy，4)(yy，所以通解为CyyxxyxU42233),(。解法 2 公式法 利用恰当方程求解方法 3 中公式得方程通积分为 CyxxydyydxxyxyxUxy22340032234)63(),(解法 3 分组法 去括号重新分组可得 066432232ydyxdxxydyydxx 0)(3)(222243dyxdxyyxd 积分，得原方程的通解为 Cyyxx42233。评注：求解一个对称形式方程的时候，首先应当判定它是不是恰当方程，如果是，则就可以直接进行求解，否则求其积分因子将方程化为恰当方程来求解。实际应用中，往往在判断一个方程为恰当方程之后，并不需要严格按照解法 1 和解法 2 的常规方法求解，而可以采用分项组合的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这学习必备 欢迎下载 样可以简化运算量，因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式：)(xydxdyydx，)(2yxdyxdyydx，)(2xydxydxxdy，)(lnyxdxyxdyydx，)(22yxarctgdyxxdyydx，)(ln2122yxyxdyxxdyydx，)ln(212222yxdyxydyxdx，)(ln22yxyxdyxxdyydx，)(2222yxdyxydyxdx。例 2-2 求方程0)(2223ydyxdxyxx的通解。解 经判断 xyxNyyM2,2，所以该方程不是恰当方程。分组得 0)(2223dxyxydyxdxx 显然前两项具有积分因子21x，相应的全微分为)(2122yxdydyxdx，要使得)(1)(122222xyxyxx 成立。只需取22221)(yxyx，21)(xx 即可，这样就找到了一个积分因子)(1222yxx。原方程两边同乘)(1222yxx，可得 01ln22xdyxd，所以通解为 Cxyx1ln22。评注：当一个方程不是恰当方程时，寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径，分组组合法降低了寻找积分因子的难度，这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式。积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 例 2-3 求方程0)(dyxyydx的通解。解 由于1,1xNyM，所以原方程不是恰当方程。解法 1 可将原方程改写为 ydyxdyydx，左端有积分因子21),(xyx或,1),(2yyx，但考虑到右端只与变量y有关，故取 21),(yyx 为方程的积分因子，因此有 ydyyxdyydx2，两边积分可得通解 Cyyx ln，易见0y也是原方程的解。解法 2 也可将原方程改写为 yxydxdy，这是齐次方程。令uxy，即可进行求解。解法 3 将x看作未知函数，原方程可化为线性方程 11 xydydx，从而可就x进行求解。解法 4 由于yMxNyM2，只与y有关，所以存在关于y的积分因子 积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 2ln221),(yeeyxydyy，以21),(yyx乘以方程两端，得到 0112dyyxdyydxy，为恰当方程，即 02ydyyxdyydx，因而通解为 Cyyx ln，另外，易见0y也是原方程的解。评注：解法 1 体现了选取积分因子的一般原则，如果积分因子选取恰当，则解方程的难度就会降低；解法 2 运用了转化的思想，将原方程化为可分离变量的方程；解法 3 体现了在求解常微分方程时，变量x和y具有同等重要的地位，有时侯将x看成y的函数，则方程很容易就x求解；当判定NxNyM只与x 有关或者MxNyM只与y有关时，运用解法 4 可以很方便地求出积分因子，但必须注意乘以积分因子),(yx可能出现使此积分因子为零的多余特解，同时应该注意在对方程作同解变形时，会不会产生漏解的情况，如果漏掉则应当补上，例如上例当中的0y。例 2-4 证明方程0),(),(dyyxNdxyxM有形如),(yx的积分因子的充要条件是),()(1yxfyMxNxNyM，并求出这个积分因子。证 由定理 2.2，方程0),(),(dyyxNdxyxM有积分因子),(yx的充要条件是)(xNyMyMxN。令),(yx，则有 积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载),()(yxxNyMyddMxddN 即),(yx满足下列微分方程 1)(1yMxNxNyMdd，上式右端应为),(yx的函数，这就证明了),(yx为方程的积分因子的充要条件为),()(1yxfyMxNxNyM。求解一阶方程 ),(1yxfdd，得积分因子为 dyxfeyx),(),(。评注：此例对于探索积分因子极为有用。若令yxyxyxxyyx,22，则可分别获得方程 0),(),(dyyxNdxyxM 具有以下形式)(),(),(),(),(22yxfyxfyxfxyfyxf积分因子的充分必要条件分别为)(yxMNxNyM，)(xyxMyNxNyM，)()(2yxxMyNxNyMy，)(22yxyMxNxNyM，)(yxMyNxxNyM。例 2-5 求方程0)53()24(3xdyydxyxdyydxx的通解。积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 解 对第一项，可以取yx211，乘以1得 yxdydyxdx2ln224，因此可取第一项的积分因子通式为yxyx2121。同理第二项的积分因子通式为 53241yxxy。容易看出，若取 tttt221,，则两项的积分因子相等为 yxyx2121 yxyxxy253241 这就是方程的积分因子。如果不易观察到所需的 tt21,，我们可以尝试用下面方法。现设 zz 1，zz 2，我们选择,使得 yxxyyxyx5342211 成立。比较两边yx,的次数，得4511322，从而求得 12 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是yxyx2),(。将所求积分因子乘原方程两端得 053244352423dyyxdxyxydyxdxyx，即有 053352442dyxdxydyxdxy，故通解是 Cyxyx5324。积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 评注：用分组法求积分因子的关键在于方程恰当分组和寻求各组的共同积分因子。例 2-6 求下列方程的通解。1）0)73()35(223dyxyxdxyxy 2）0)()23(223dyxyxdxyxy 解 1）解法 1 设有积分因子yx，则 0)73()35(212311dyyxyxdxyxyx 为恰当方程，于是 xyxyxyyxyx)73()35(212311，2121)1(7)2(3)3(3)1(5yxyxyxyx，比较系数可得 237153，解之得 21,21，因此，积分因子为2121),(yxyx。将所求积分因子乘以分组后方程 07335232dyxydxydyxxydx 得 073352523272121252323dyyxdxyxdyyxdxyx，即有 02723232723252523dyxdxydyxdxy，容易得出原方程的通积分是 Cyxyx27232325。积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 解法 2 方程各项重新组合为 07335232dyxydxydyxxydx，对第一个括号，可以取yx211，乘以1得 35ln35yxdydyxdx，因此可取第一个括号的积分因子的通式为 35121yxyx。同理第二个括号的积分因子的通式为 73231yxxy。现设 zz 1，zz 2，我们选择,使得 3521yxyx=7331yxxy 成立。比较两边yx,的次数，得37131325，从而求得 2121 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是2121yx。接下来同解法 1，略。2）方程各项重新组合为 023223xdyydxdyyxdxxy，对第一个括号，可以取3211yx，乘以1得 yxdydyxdx3ln3，积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 因此可取第一个括号的积分因子通式为yxyx31321。同理第二个括号的积分因子通式为221xyxy。现设 zz 1，zz 2，我们选择,使得 yxxyyxyx233211 成立。比较两边yx,的次数，得131223，从而求得 11 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是2),(yxyx。将所求积分因子乘以分组后方程 023223xdyydxdyyxdxxy 得 0232232dyyxdxyxdyxydxx，即有 0112233ydxdxydyxydx 容易得出通积分是 Cyxyx23或Cyxyx223。评注：待定指数法提供了当对称形式方程的系数为多项式时求积分因子的一个一般性方法，具有一定的实用价值。如果通过比较指数法解不出和，或者和得表达式比较复杂，这时可以考虑利用分组法来求积分因子。例 2-7 解方程 0)84()2(3423dyyxyxdxxyxy。解 方程各项重新组合为 积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 08243243dyydxxdyxyydxxxdyydx，03244332yxddyydxxxyxyd，03234343yxdyxxydxyd，此时，可令xyvyxu,343，上方程化为 02duvdudv，解之得 Cvu 2ln，回代变量得原方程的通积分为Cxyyx32ln3343，另外2xy也是方程的解。评注：通过变量变换，降低了方程的求解难度，但是究竟采用怎样的变换，一般而言，没有规律可循。从此例中我们可以看到，有时可将方程变形，在这个过程中观察其特点，寻找恰当的变换。例2-8 求解方程2)(lnyxxyxy。解 设pdxdy，原方程写为 2)(lnxpxxpy （1）两边关于x求导，得到 dxdppxxppxpxxdxdpp2222lnln，化简后得到 0)(2(lnpdxdpxxpx，由此可得 xxp2ln或pdxdpx 把xxp2ln代入（1），得原方程的一个特解2)(ln41xy；积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 由方程pdxdpx，解得xCp，代入（1），得到原方程的通解2lnCxCy。评注：属于第一类能解出y(或x)的方程，引进参数pdxdy，则原方程变为),(pxfy ，两边关于x求导，得到p的关系式。注意要全面考察这个关系式，有的已经是p的直接表示式，对应方程的奇解；而有的还须求解关于p的微分方程，对应方程的通解。例2-9 求解方程 0cossincoscossincos)(222xyyxxyyy。解 这是隐式方程的求解问题。令vxuy sin,sin，则 dvduyxydxxdvdyyducoscos,)(cos,)(cos，代入原方程，得 0cossin)cos(sin)(cos2222xydvduxxdvdux 整理得方程 0)(2udvduvdvdu，即 dvduvdvduu2)(这是关于vu,的克莱洛方程，其通解为vccu2，奇解为22vu。从而可得原方程的通解和奇解分别为2sinsin,sinsin22xyxccy。评注：运用适当的变换将方程转化为可积类型或一些特殊方程，从而即可求解原方程，这就需要熟悉常见的可积方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。例 2-10 求满足下列关系式的函数)(xy。1）dttyxxyx02)(2)(积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 2）xdtttyttytxdttyxx020)()(2)()(解 1）给方程两端关于x求导得)(22)(xyxxy，则求解积分方程 dttyxxyx02)(2)(就等价于求解初值问题 0)0(22yxyy。解上面微分方程得其通解为 222dxxeCeyxx，即 212xCeyx。满足初始条件的解为21212xeyx。2）给方程两端关于x求导得 1)()(2)(02dtttyttyxyx，对上方程两端关于x再求导得 0)()(2)(2xxyxxyxy。这样，求解原积分方程 xdtttyttytxdttyxx020)()(2)()(就等价于求解初值问题 1)0(22yxyxyy。方程22xyxyy是迫努利方程，两端同除以2y，变形为 xyxyy1212，即 积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 xyxydxd12)1(解之得方程 22xyxyy得通解为 122dxxeCeyxx 2122xxdeCe 212xCe 即 1222xCey。故满足初始条件的解为 1322xey。评注：本题是一类积分方程的求解问题，通常是通过对方程关于x求导，转化为求解常微分方程的初值问题。需要熟悉变上限函数的求导公式 dxxdxfdxdttfdx)()()()(0 和含参变量积分的求导公式)()(,()()(,(),(),()()()()(xxxfxxxfdtxtxfdttxfdxdxxxx。例2-11 设函数)(tf在),0上连续，且满足方程dxdyyxfetftyxt22224224)21()(求)(tf。解 显然有1)0(f。由于 ttyxrdrrfddxdyyxf2020422)2()21(222tr d rrf20)2(2，于是 24)(tetftrdrrf20)2(2，积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通学习必备 欢迎下载 两边关于t求导数，得一阶线性微分方程 248)(ttetf)(8ttf，解之得其通解为 22428848)4(88)(ttdttdtttdteCtCtdteCdteteetf，由1)0(f，得1C，所求函数为242)14()(tettf。评注：本题是积分方程的求解问题，通常是通过对方程关于自变量t求导，转化为求解常微分方程的初值问题。积分得所以通解为解法公式法利用恰当方程求解方法中公式得方程通积分为解法分组法去括号重新分组可得积分得原方程的通解为评注求解一个对称形式方程的时候首先应当判定它是不是恰当方程如果是则就可以直接进行求解否则和解法的常规方法求解而可以采用分项组合的办法先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分这学习必备欢迎下载样可以简化运算量因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式例求方程的通解解经判断所以该方程不方程两边同乘可得所以通解为评注当一个方程不是恰当方程时寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径分组组合法降低了寻找积分因子的难度这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式学习必备欢迎下载例求方程的通
