任意角的三角函数-弧度制-同角三角函数的基本关系_中学教育-高考.pdf
学习必备 欢迎下载 三角函数的概念 关键词:角的定义 三角函数的定义 弧度制 同角三角函数的关系 对“角”的认识:1.角的概念 角可以看成是由一条射线(起始边)旋转到一个新的位置(终边)所形成的图形。注:我们一般约定以原点和 x 的正半轴组成的射线为起始边。我们规定:(1)逆时针旋转得到的角是正角。(2)顺时针旋转得到的角角负角。(3)一条射线没有作任何旋转,就把它叫做零角。做一做:与 300 终边相同的角有_ 个,请写出四个与 300 终边相同的角(要求两个正角,两个负角)_,_,_,_。理解角的概念应注意:(1)注意分清正角和负角;(2)角具有无界性;意思是说任意角的范围是),((3)角具有周期性:终边相同的角不一定相等;终边相同的角相差 3600 的整数倍。2.终边相同的角的表示:启问:与 300终边相同的角如何用一个式子表示?解答:把与 300终边相同的所有角看成一个集合,这个集合可表示为:Zkk,3603000 于是我们有:与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合,这个集合可表示为:Zkk,3600 例如:与角1825的终边相同,且绝对值最小的角的度数是,合弧度。3.弧度制(1)定义:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做 1 弧度。1弧度记作 1 rad;1 弧度(1rad)57.3.(2)弧度制与角度制之间的转化,记住核心关系:0180 弧度制相比角度制的优点在于:公式的表达更简洁;可以省略单位不写,与实数集建立了一一对应关系,可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。常用角的互化:弧长公式:|lR,扇形面积公式:211|22SlRR 例如:已知扇形 AOB的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。例:(1)已知扇形的周长为 20cm,面积为 9 cm2,求扇形圆心角的弧度数;(2)若扇形的圆心角为 750,半径为 15cm,求扇形的面积;角度 00 300 450 弧度 3 2 32 43 65 2 起始边 终边 学习必备 欢迎下载 (3)若扇形的周长为 60cm,那么当它的圆心角为多少时,扇形的面积最大?角与角的位置关系的判断(1)终边相同的角 (2)对称关系的角(3)满足一些常见关系式的两角 例如:若是第二象限角,则2是第_象限角 :一、三)(1)终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kk Z.(2)终边与终边关于x轴对称2()kk Z.(3)终边与终边关于y轴对称2()kk Z.(4)终边与终边关于原点对称2()kk Z.(5)终边在x轴上的角可表示为:,kkZ;终边在y轴上的角可表示为:,2kkZ;终边在坐标轴上的角可表示为:,2kkZ.例如:的终边与6的终边关于直线xy 对称,则_。(答:Zkk,32)三角函数的定义:高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。但既有联系,又有区别。定义:设是任意一个角,P(,)x y是的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220rxy,那么sin,cosyxrr,tan,0yxx,cotxy(0)y,secrx0 x,csc0ryy。三角函数值只与终边的位置有关,而与终边上点 P的位置无关。例如:(1)已知角的终边经过点 P(5,12),则cossin的值为。(2)设是第三、四象限角,mm432sin,则m的取值范围是_(3)若0|cos|cossin|sin|,试判断)tan(cos)cot(sin的符号 7.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:22sincos1,1tansec,1cotcsc(2)商数关系:sincostan,cotcossin 做一做:(1)已知 31sin,求 tan,cos 的值;同角三角函数的基本关系式的主要作用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一学习必备 欢迎下载(2)已知 21cos,且 在第三象限,求 tan,sin 的值;(3)已知 2tan,且 在第二象限,求 cos,sin 的值。8.特殊角的三角函数值:30 45 60 sin 21 22 cos tan 课堂练习:(1)若220 x,则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是_ (2)已知53sinmm,)2(524cosmm,则tan_ (3)已知11tantan,则cossincos3sin_;2cossinsin2_ (4)已知a200sin,则160tan等于 A、21aa B、21 aa C、aa21 D、aa21 课堂练习:1.设分别是第二、三、四象限角,则点)cos,(sinP分别在第_、_、_象限.2.已知1,2(,cossinmmmxx且,求xx cossin 3若角的终边在直线 yx 上,则coscos1sin1sin22 .4使 tanxxsin1有意义的 x 的集合为 .5已知是第二象限的角,且 cos2 45,则2 是第 象限的角.任意角的三角函数练习题 规律:同角的正弦和余弦成平方关系;若与互余,则一个角的余弦等于另一个角的正弦,一个角的正弦等于另一个角的余弦;念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一学习必备 欢迎下载 一、选择题1.设角属于第二象限,且2cos2cos,则2角属于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.给出下列各函数值:)1000sin(0;)2200cos(0;)10tan(;917tancos107sin.其中符号为负的有()A.B.C.D.3.021 2 0s in等于()A.23 B.23 C.23 D.214.已知4sin5,并且是第二象限的角,那么tan的值等于()A.43 B.34 C.43 D.345若(54,32),则 12sincos 等于 A.cossin B.sincos C.sincos D.cossin 6若 tan13,则 cos2sincos的值是 A.65 B.45 C.45 D.65 三、解答题 1.已知1tantan,是关于x的方程2230 xkxk 的两个实根,且273,求sincos的值.2.设 cosmnmn(mn0),求的其他三角函数值.念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一学习必备 欢迎下载 3证明(1)12sin coscos2 sin2 1tan1tan (2)tan2sin2tan2sin2 任意角的三角函数练习题参考答案 一、选择题 1.C 22,(),(),2422kkkZkkkZ 当2,()kn nZ时,2在第一象限;当21,()knnZ时,2在第三象限;念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一学习必备 欢迎下载 而coscoscos0222,2在第三象限;2.C 00sin(1000)sin800;000cos(2200)cos(40)cos 400 tan(10)tan(310)0;77sincossin7171010,sin0,tan01717109tantan99 3.B 2003sin 120sin1202 4.A 43sin4sin,cos,tan55cos3 5.A 6.D 二、填空题 1.四、三、二 当是第二象限角时,sin0,cos0;当是第三象限角时,sin0,cos0;当是第四象限角时,sin0,cos0;2.1 71 7s i n0,c o s01 81 8M PO M 30 4x|xR 且 x2k,kZ 5三 三、解答题 1.解:21tan31,2tankk ,而273,则1tan2,tank 得tan1,则2sincos2,cossin2.2.解:mn0,cosmnmn 0 是第一象限角或第四象限角.当是第一象限角时:sin222)()(1cos1nmnmmnnmnmnmnm2)()()(222 tanmnnm2cossin 当是第四象限角时:sinmnnm 2cos12 tanmnnm2cossin 3.(1)证明:左)sin)(cossin(coscossin2cossin22 念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一学习必备 欢迎下载)sin)(cossin(cos)cos(sin2sincossincoscossincoscossincos (cos 0,分子、分母可同除以 cos)1tan1tan 右,证毕.还可用其他证法.(2)证明:左22cossinsin22222coscossinsin 222cos)cos1(sin222cossinsintan2sin2右,证毕.4.解:由sincos,xxm得212sincos,xxm即21sincos,2mxx(1)233313sincos(sincos)(1sincos)(1)22mmmxxxxxxm(2)24244222121sincos12sincos12()22mmmxxxx 念角可以看成是由一条射线起始边旋转到一个新的位置终边所形成的图形注我们一般约定以原点和的正半轴组成的射线为起始边我们规定逆时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角角负角一条射线没有作任何旋转就把它叫做零注意分清正角和负角角具有无界性意思是说任意角的范围是角具有周期性终边相同的角不一定相等终边相同的角相差的整数倍终边相同的角的表示问与终边相同的角如何用一个式子表示解答把与终边相同的所有角看成一个集合这个对值最小的角的度数是合弧度弧度制定义长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做弧度弧度记作弧度弧度制与角度制之间的转化记住核心关系弧度制相比角度制的优点在于公式的表达更简洁可以省略单位不写与实数集建立了一一