苏教版七年级上册数学知识点整理1_小学教育-小学考试.pdf
学习必备 欢迎下载 有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8 也是偶数，-1,-3,-5 也是奇数。2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0 不能忽视）正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负有理数、0 统称为非正有理数 数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 学习必备 欢迎下载 a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a0 时，-a0（正数的相反数是负数）当 a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0）6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a；如果 a0，那么|a|=-a；如果 a=0，那么|a|=0。可归纳为：a0，|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0，|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0|a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简 当 a0 时，|a|=a；当 a0 时，|a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。有理数的加减法 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：当 b0 时，a+ba 当 b0 时，a+bn).在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0 不能做除数,所以法则中 a0.任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1,即)0(10 aa,如1100,(-2.50=1),则 00无意义.任何不等于 0 的数的-p次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 的次幂的倒数,即ppaa1(a0,p 是正整数),而 0-1,0-3都是无意义的;当 a0 时,a-p的值一定是正的;当 a0 时,a-p的值可能是正也可能是负的 运算要注意运算顺序.从面积到乘法公式 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式的一般方法：1.提公共因式法 2.运用公式法 3.十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2.整式的乘法（1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。3平方差公式:22)(bababa 4完全平方公式:2222)(bababa 5：因式分解方法：1、提公因式法 2、平方差公式、完全平方公式 数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 二元一次方程式 一、知识概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a 0,b 0)。2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。图形的全等 一知识概念 1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).数据在我们身边 一知识框架 二知识概念 全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。总体：要考察的全体对象称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。全面调查 抽样调查 收集数据 描述数据 整理数据 分析数据 得出结论 数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 样本：被抽取的所有个体组成一个样本。样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。频率：频数与数据总数的比为频率。组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。感受概率 一：知识框架：不可能事件 确定事件 必然事件 事件 不确定事件 随机事件 二：知识点 1：概率 一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率 2：注意 必然事件的概率是 1；不可能事件的概率是 0；随机事件的概率大于 0 小于 1 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形的性质：1、全等三角形的对应边相等 2、全等三角形的对应角相等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点 数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 轴对称图形 把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴 垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 轴对称性质：第一章 成轴对称的两个图形全等 第二章 如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 第三章 成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称 第四章 成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上 线段的对称性：1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴 2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等 3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 角的对称性：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴 2、角平分线上的点到角的两边距离相等 3、到角的两边距离相等的点在角平分线上 等腰三角形的性质：1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴 2、等边对等角 3、三线合一 等腰三角形判定：1、两边相等的三角形是等边三角形 2、等边对等角 直角三角形斜边上中线等于斜边一半 等边三角形判定及性质：1、三条边相等的三角形是等边三角形 2、等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴 3、等边三角形每个角都等于 60 A B C D H E F G BACEDOP数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载(补充)等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形性质：1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴 2、等腰梯形在同一底上的两个角相等 3、等腰梯形对角线相等 等腰梯形判定：1.、两腰相等的梯形是等腰梯形 2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a b c 勾股定理逆定理：如果一个三角形三边 a、b、c 满足 a b c,那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a b=c的三个正整数 a、b、c 称为勾股数 实数 平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也称二次方根 如果 x=a，那么 x 叫做 a 的平方根 平方根的性质：1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数 2、0 只有一个平方根，是 0 3、负数没有平方根 算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a 的算术平方根 0 的算术平方根是 0 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方 立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也称三次方根 如果 x a，那么 a 是 x 的立方根 立方根的性质：1、正数的立方根是正数 2、负数的立方根是负数 3、0 的立方根是 0 数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方 实数包括：1.有理数：有限小数或无限循环小数 2.无理数：无限不循环小数 实数分为：正实数 0 负实数 平面直角坐标系 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，水平方向的数轴称为 x 轴或横轴，竖直方向的数轴称为 y 轴或纵轴，它们统称坐标轴，公共原点 O称为坐标原点 第二象限 y 第一象限（，）（，）x 第三象限 O 第四象限（，）（，）x 轴上点的纵坐标为 0；y 轴上点的横坐标为 0 一次函数 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可取代数值的量叫变量 函数：如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且相对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是应变量 一次函数：如果两个变量 x 与 y 之间的函数关系可以表示为 y=kx+b（k、b 为常数且 k0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数，当 b=0 时，y 叫做 x 的正比例函数 一次函数 y=kx+b（k0）的性质：1、当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，经过一、三象限 2、当 k0 时，y 随 x 的增大而减小，经过二、四象限 3、当 b0 时，直线与 y 轴交与正半轴 4、当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴 5、当 b=0 时，直线经过坐标原点 一次函数与二元一次方程的关系：一般地，一次函数 y=kxb 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-yb=0 的解；一二元一次方程 kx-yb=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kxb 的图象上 利用图象法解二元一次方程组的解：一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 是相应的二元一次方程组的解 分式 1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变 2 分式的运算 （1）分式的乘除 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。(2)分式的加减 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3 整数指数幂的加减乘除法 4 分式方程及其解法 反比例函数 1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k 不为 0)性质：两支的增减性相同；2 反比例函数在实际问题中的应用 四边形 1 平行四边形 性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（2）菱形 性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质 判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可学习必备 欢迎下载 四边相等的四边形是菱形。（3）正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。数正整数负整数正分数负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数理解只有能化成分数的数才是有理数是无限不循环小数不能写成分数形式不是有理数有限小数和无限循环小数都可化成分数都是有理数注意引入负数以后奇数数负分数总结正整数统称为非负整数也叫自然数负整数统称为非正整数正有理数统称为非负有理数负有理数统称为非正有理数有理数按正负来分负整数负分数不能忽视正有理数正整数正分数负有理数数轴数轴的概念规定了原点正方不可同一数轴上的单位长度要统一数轴的三要素都是根据实际需要规定的数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示正有理数可用原点右的点表示负有理数可用原点左的点表示用原点表示所有的有理数都可
