一元三次方程的解法_中学教育-中考.pdf
精品资料 欢迎下载 一元三次方程023dcxbxax的解法 先把方程023dcxbxax化为03qpxx的形式：令abyx3，则原式变成 0)3()3()3(23dabycabybabya 0)3()932()273(222332223dabycababyybabaybabyya 03932273232223223dabccyabyabbyabyabbyay 0)3272()3(2323abcabdyabcay 0)3272()3(233223abcabadyabacy 如此一来二次项就不見了，化成03qpyy，其中223abacp，2333272abcabadq。-对方程03qpyy直接利用卡尔丹诺公式：3323321)3()2(2)3()2(2pqqpqqy 33223322)3()2(2)3()2(2pqqpqqy 33233223)3()2(2)3()2(2pqqpqqy 其中i 31。32)3()2(pq是根的判别式：0 时，有一个实根两个虚根；0 时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；0 时，有三不等实根。精品资料 欢迎下载 附：方程03qpyy（2）求根公式的推导过程：不妨设p、q均不为零，令vuy（3）代入（2）得，0)3)(33qpuvvuvu（4）选择u、v，使得0p3uv，即3puv（5）代入（4）得，qvu33（6）将（5）式两边立方得，27333pvu（7）联立（6）、（7）两式，得关于3u、3v的方程组：32733333puvpvuqvu，且 于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程02732pqtt的两根3u、3v。设27432pq，32324pqD，2qT，又记3u的一个立方根为1u，则另两个立方根为112uu，123uu，其中1、2为 1 的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若0，即0D，则3u、3v均为实数，可求得DTu3，DTu3。取31DTu，31DTv，在jivuy，3,2,1,ji组成的九个数中，有且只有下面三组满足3puv，即1u、1v；2u、3v；3u、2v，也就是满足332233211pDTvuvuvu，于是方程（2）的根为，这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即 D0 时，可求得。取，同理，可求得 方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若0，即 D0 时，因为02323qp，p0，033 p，则3u、3v均为虚数，求出3u、3v，并用三角式表示，就有，其中T，都是实数，程直接利用卡尔丹诺公式其中其中至少有两个根相等时有三不等实根是根的判别式时有一个实根两个虚根时有三个实根且精品资料欢迎下载附方程求根公式的推导过程不妨设均不为零令代入得选择使得即代入得联立两式得关于的方立方虚根以下分三种情形讨论若即则均为实数可求得取则另两个立方根为其中为的两组成的九个数中有且只有下面三组满足在即也就是满足于是方程的根为这时方程有一个实根两个共轭虚根其表达式就是前面给出的卡丹公式的形式数求出并用三角式表示就有其中都是实数若即时因为精品资料欢迎下载且同理其中取则显然当且仅当取这三组时才满足于是方程得三个实根为具体表示出来就为其中当时方程有三个实根综上所述实系数一元三次方程的求根公式如下精品资料 欢迎下载 同理，其中，且 取，则 显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，具体表示出来就为：其中 当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，程直接利用卡尔丹诺公式其中其中至少有两个根相等时有三不等实根是根的判别式时有一个实根两个虚根时有三个实根且精品资料欢迎下载附方程求根公式的推导过程不妨设均不为零令代入得选择使得即代入得联立两式得关于的方立方虚根以下分三种情形讨论若即则均为实数可求得取则另两个立方根为其中为的两组成的九个数中有且只有下面三组满足在即也就是满足于是方程的根为这时方程有一个实根两个共轭虚根其表达式就是前面给出的卡丹公式的形式数求出并用三角式表示就有其中都是实数若即时因为精品资料欢迎下载且同理其中取则显然当且仅当取这三组时才满足于是方程得三个实根为具体表示出来就为其中当时方程有三个实根综上所述实系数一元三次方程的求根公式如下精品资料 欢迎下载，3）当时，方程有三个实根，程直接利用卡尔丹诺公式其中其中至少有两个根相等时有三不等实根是根的判别式时有一个实根两个虚根时有三个实根且精品资料欢迎下载附方程求根公式的推导过程不妨设均不为零令代入得选择使得即代入得联立两式得关于的方立方虚根以下分三种情形讨论若即则均为实数可求得取则另两个立方根为其中为的两组成的九个数中有且只有下面三组满足在即也就是满足于是方程的根为这时方程有一个实根两个共轭虚根其表达式就是前面给出的卡丹公式的形式数求出并用三角式表示就有其中都是实数若即时因为精品资料欢迎下载且同理其中取则显然当且仅当取这三组时才满足于是方程得三个实根为具体表示出来就为其中当时方程有三个实根综上所述实系数一元三次方程的求根公式如下
