苏教版高中数学函数的单调性教学设计_中学教育-高中教育.pdf

“函数的单调性”的教学设计 一、教材分析 地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用 重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 二、教学目标 知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性 能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究 在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择 多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计 问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：用多媒体技术展示函数动态的变化态势，让学生对图像的各种变化以及相关联的方面得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：随 x 的增大，y 的值有一定变化；有的函数有最大值或最小值；有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性 y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 师：图 1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图 2：函数图像在,0上下降，在0,上上升.图 3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图 4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降.共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？生：有的说上坡，有的说下坡.师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义.师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？生：以 x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数 yf x随 x 的增大而增大 下降：函数 yf x随 x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大 x1 x2，yf x的增大 12f xf x 故猜想上升即 x1 x2 12f xf x 同理：下降即 x1 x2 12f xf x 师：按刚才所说：对于函数2yx而言，因为13 时，13ff，所以函数2yx是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想.师：总结之后给出定义.数学理论：函数单调性定义 一般地，设函数 yf x的定义域为 A，如果对于定义域 A 内的某个区间 I 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1 x2时，都有 12f xf x，那么就说 yf x在区间 I 上是增函数（increasing function）I 称为 y=f(x)的单调增区间（increasing interval）.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 I 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1 x2时，总有 12f xf x 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义 在中学数学内容里占有十分重要的地位它体现了函数的变化趋势和变化特点在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用重点与难点重点是函数的单调性定义理解从形到数从文字语言到符号语言难点是利用函数的单调性定义判断解和研究函数的性质能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性能力目标通过概念的教学培养学生观察联想比较分析综合抽象概括的逻辑思维能力使其能体验和感数学的一般思维方法德育目标通过形式化与符号化对函数单调学过一次函数二次函数反比例函数等简单函数函数的概念及函数的表示接下来的任务是对函数应该继续研究什么从各种函数关系中研究它们的共同属性应该是顺理成章的有必要的和有意义的而且函数的单调性是学生从已经学习的函数学运用：例 1（教材 P34例 1）根据函数图象，写出函数的单调区间：22yx ；1(0)yxx 解：（略）巩固练习：课本 P37练习第 1、2 题 点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法 例 1 引申：函数xy1在整个定义域上是否为单调函数？函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的 例 2（教材 P35例 2）根据函数单调性定义证明函数的单调性 求证：函数11yx 在区间,0上是单调增函数.解：（略）巩固练习：1 课本 P37练习第 5 题；2 证明函数xxy1在（1，+）上为增函数 例 3借助计算机作出函数23yxx 的图象并指出它的单调区间 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 I 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1，x2I，且 x1 x2；2 作差 12f xf x；3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；4 定号（即判断差 12f xf x的正负）；5 下结论（即指出函数 yf x在给定的区间 I 上的单调性）回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 六、教后反思 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面.当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等.函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.在中学数学内容里占有十分重要的地位它体现了函数的变化趋势和变化特点在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用重点与难点重点是函数的单调性定义理解从形到数从文字语言到符号语言难点是利用函数的单调性定义判断解和研究函数的性质能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性能力目标通过概念的教学培养学生观察联想比较分析综合抽象概括的逻辑思维能力使其能体验和感数学的一般思维方法德育目标通过形式化与符号化对函数单调学过一次函数二次函数反比例函数等简单函数函数的概念及函数的表示接下来的任务是对函数应该继续研究什么从各种函数关系中研究它们的共同属性应该是顺理成章的有必要的和有意义的而且函数的单调性是学生从已经学习的函