一元一次方程典型应用题汇编(精选题型含答案)_中学教育-中考.pdf

精品资料 欢迎下载 一元一次方程的应用 1、列方程解应用题的基本步骤和方法：步骤 要求 注意事项 审题 读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系 审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来 设元 设未知数 把各个量用含未知数的代数式表示出来 设未知数一般是问什么，就直接设什么为 x，即直接设元 直接设元有困难时，可以间接设元 列方程 根据等量关系列出方程 避免列出恒等式 解方程 解这个方程，求出未知数的值 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量 检验 把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验 列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来 方程的解要符合实际问题 作答 写出答案，作出结论 这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求 注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题 2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；精品资料 欢迎下载（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题 模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为 a、b，（其中 a、b 均为整数，19a，09b）则这个两位数可以表示为10ab 一个三位数的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，（其中均为整数，且19a，09b，09c）则这个三位数表示为：10010abc（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为 2k，奇数可表示为21k（其中 k表示整数）（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为 a，则这三个相邻的整数可表示为1,1aa a 【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了 96 分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了 36，而正确答案的个位数字是十位数字的 2 倍正确答案是多少?【解析】此题中数据 96与列方程无关与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量 设正确答案的十位数字为x，则个位数字为2x，依题意，得(102)(102)36xxxx，解之得4x 于是28x 所以正确答案应为 48【答案】48 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是 2，如果把 2 移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的 2 倍少 6，求这个年份【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为 x，则这个四位数字可以表示为2 1000 x，根据题意可列方程：1022 2 10006xx，解得499x 【答案】2499年 【例3】有一个四位数，它的个位数字是 8，如果将个位数字 8 调到千位上，则这个数就增加 117，求这个四位数【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x，则这个四位数可以表示为108x，则调换后的新数可以表示为8000 x，根据题意可列方程1088000117xx ，解得875x，所以这个四位数为 8758【答案】8758 【例4】五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔 1小时看到的路边里程碑上数的信息你能确定小明在 7:00 时看到的里程碑上的数是多少吗？【解析】设小明在 7:00 时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是7x，根据题意可列方程：100710 710 71007xxxxxxxx ，解得1x，所以76x 【答案】小明在 7:00时看到的两位数是 16 时间 里程碑上数的特征 7:00 是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是 7 8:00 十位数字和个位数字与 7:00 时所看到的正好颠倒了 9:00 比 7:00 时看到的两位数中间多一个 0 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 模块二：日历问题（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差 1，竖列相邻两数相差 7（2）、日历中一个竖列上相邻 3 个数的和的最小值时 24，最大值时 72，且这个和一定是 3 的倍数（3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31 天，四、六、九、十一这四个月每月都是 30 天，二月平年 28 天，闰年 29 天，所以，日历表中日期的取值是有范围的 【例5】下表是 2011 年 12 月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出 4 个数，（1）若框出的 4 个数的和为 74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪 4 天？（2）框出的 4 个数的和可能是 26 吗？为什么？【解析】（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出 4 个数得其他 3 天可分别表示为1x，6x，7x 根据题意可列方程：16774xxxx，解得15x；所以它分别是：15，16，21，22；（2）设第一个数为x，则41426x，3x，本月 3 号是周六，由平行四边形框框出 4 个数，得出结论：无法构成平行四边形【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形 【例6】如图，框内的四个数字的和为 28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为 68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为 49？若能，请找出这样的位置；若不能，请意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 说明理由 【解析】（1）设四个数字是 a，1a，7a，8a，根据题意可列方程：17868aaaa ，解得13a 则平移后的四个数是 13、14、20、21（2）设四个数字是 x，1x，7x，8x，则41649x，334x 不合题意，舍去【答案】平移后的四个数是 13、14、20、21，这样的长方形的位置只有 1 个；不存在能使四个数字的和为49的长方形 【例7】把 2012 个正整数 1，2，3，4，2012 按如图方式排列成一个表（1）用如图方式框住表中任意 4 个数，记左上角的一个数为 x，则另三个数用含 x 的式子表示出来，从小到大依次是_（2）由（1）中能否框住这样的 4 个数，它们的和会等于 244 吗？若能，则求出 x 的值；若不能，则说明理由 【解析】（1）记左上角的一个数为x，另三个数用含x的式子表示为：8x，16x，24x （2）不能假设能够框住这样的 4 个数，则：81624244xxxx，解得49x 49是第七行最后一个数，不可以用如图方式框住【答案】（1）8x，16x，24x；（2）不能 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 模块三：和差倍分问题 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几（1）当较大量是较小量的几倍多几时，=较大量 较小量倍数+多余量；（2）当较大量是较小量的几倍少几时，=较大量 较小量倍数-所少量【例8】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的23；第二天耕了剩下部分的13，还剩下 42 公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有 x 公顷，第一天耕了这片地的23，则耕地23x公顷，第二天耕了剩下部分的13，则第二天耕地1211339xx（公顷），根据题意可列方程：214239xxx，解得189x 【答案】189 【例9】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有 100 只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满 100 只”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有x只，根据题意可列方程：112110024xxx，解得36x.【答案】36 【例10】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为x小时，粗蜡烛长l米，则细蜡烛长2l米，那么细蜡烛每小时点燃2l米，粗蜡烛没小时点燃2l米，根据题意可列方程：222lll xlx ，解得23x 【答案】停电时间为23小时 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载【例11】2006 年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010 年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金 3.6 亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约 2.98 亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的 1.5 倍、18 倍】，且2010 年此项资金比 2009 年增加 1.69 亿元（1）2009 年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？（2）2010 年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按 2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计 2011 年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1）3.611.691.91（亿元）（2）设市级投入 x 亿元，则县级投入23x亿元，省级投入118x亿元，由题意得：212.983.6318xx，解得0.36x 所以20.243x（亿元），10.0218x（亿元）（3）1.693.616.81.91（亿元）【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入 0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元 模块四：行程问题 一、行程问题 路程=速度 时间 相遇路程=速度和 相遇时间 追及路程=速度差 追及时间 二、流水行船问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度水流速度 水流速度=12（顺流速度逆流速度）三、火车过桥问题 火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速过桥时间=车长+桥长 【例12】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米出发后，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇，求花圃的周长 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载【解析】设甲、乙相遇时间为 t 分钟，则甲、丙相遇时间为 3t 分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程383634036t 【答案】8892米 【例13】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟，若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，根据题意可列方程：151530()18()6060 xx，解得1x，此人打算在火车开车前 10分钟到达，骑摩托车的速度应为1530(1)602710160（千米/时）【答案】27 【例14】甲、乙两车同时从 A，B 两地出发，相向而行，在 A，B 两地之间不断往返行驶 甲车到达 B 地后，在 B 地停留了 2 个小时，然后返回 A地；乙车到达 A地后，马上返回 B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离 B 地 288 千米已知甲车的速度是每小时 60 千米，乙车的速度是每小时40 千米请问：A，B 两地相距多少千米？【解析】设 A、B 两地相距 x 千米，根据题意可列方程：228828824060 xx，解得420 x 【答案】420千米 【例15】某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，再以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用了 55 分钟回来时，他以每小时 8 千米的速度通过平路后，再以每小时 4 千米的速度上坡，从 B 地到 A 地共用112小时，问 A、B 两地相距多少千米？【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程：5531293438602tttt ，意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 解得14t，所以 A、B 两地相距55129960tt （千米）【答案】9 千米 【例16】一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样 10 天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用 15 天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设 a 是第一次第一天走的路程，b 是第二天起每天多走的路程，x 是所求的天数 则根据题意可列方程：1523456789aaababababababababab （）（）（）（）（）（）（）（）（），解得9ab 又159ax ab，解得7.5x 【答案】7.5天 【例17】一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需 3 小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为a，原来的水速为b，则2()3(2)abab，解得4ab，故所求时间为2()1(2)abab（小时）.【答案】1 【例18】一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥 1500 米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关），即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为11.54.53（千米时）【答案】水流速度为4.5千米/时 【例19】一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时，由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时，一天，小船从早晨 6 点由A 港出发顺流行至 B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1 小时后找到救生圈 问：（1）若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【解析】（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，则6()8()abab，解得7ab，故小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港所需时间为6()48abb（小时）；（2）设小船行驶x小时后，救生圈掉入水中，则(61)()1(6)()xbabx ab ，将7ab代入上式，得到5x，故救生圈是上午 11点掉入水中的【答案】48；5 模块五：工程问题 工作总量=工作时间 工作效率 各部分工作量之和=1 【例20】有甲、乙、丙三个水管，独开甲管 5 小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2 小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3 小时注满一池水现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2 小时水池注满问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为15，甲、乙两管的注水效率之和为12，甲、丙两管的注水效率之和为13，设三管齐开了 x 小时，根据题意可列方程：1112215235xx，解得419x 【答案】419小时 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载【例21】检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天前7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2 天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？【解析】设乙中途离开了 x 天，根据题意可列方程1111772114181812x ，解得3x 【答案】乙中途离开了 3 天 【例22】某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳 16套，乙每天修桌凳比甲多 8 套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用 20 天，学校每天付甲组 80元修理费，付乙组 120 元修理费（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天 10 元生活补助费，现有三种修理方案：由甲单独修理；由乙单独修理；甲、乙合作同时修理你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】（1）设该中学库存 x 套桌凳，根据题意可列方程：201624xx，解得960 x （2）方案所需费用：9608010540016（元）；方案所需费用：96012010520024（元）；方案所需费用：960801201050401624（元）综上，方案最省钱【答案】（1）960套；（2）方案最省钱 模块六：商品销售问题 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：=1+标价 进价利润率 利润=售价进价 =100%利润利润率进价 利润=进价 利润率 实际售价=标价 打折率 【例23】某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了 8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为x，原进价为a，根据题意可列方程：(1)(16.4%)(18%)axax，解得17%x 【答案】17%【例24】某商品月末的进货价为比月初的进货价降了 8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高 10%，问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为 a 元，月初利润率为 x，则月初的销售价为 1ax元，月末进货价为18%a元，销售价为 18%110%ax元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：118%110%axax，解得0.15x 【答案】15%【例25】某公司生产一种饮料是由 A，B 两种原料液按一定比例配制而成，其中 A 原料液的成本价为 15 元/千克，B 原料液的成本价为 10 元/千克，按现行价格销售每千克获得 70%的利润率由于市场竞争，物价上涨，A 原料液上涨 20%，B 原料液上涨 10%，配制后的总成本增加了 12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的 25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液 A 的成本价为 15元/千克，原料液 B 的成本价为 10元/千克，涨价后，原 A 价格上涨 20%，变为 18元；B 上涨 10%，变为 11元，总成本上涨 12%，设每 100千克成品中，二原料比例 A 占 x 千克，B 占（100-x）千克，则涨价前每 100千克成本为1510 100 xx，涨价后每 100千克成本为1811 100 xx，意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 根据题意可列方程：1 81 1 1 0 01 51 0 1 0 011 2%xxxx，解得1007x，所以6001007x 即二者的比例是：:1:6A B，则涨价前每千克的成本为156075777（元），销售价为127.57元，利润为 7.5元 原料涨价后，每千克成本变为 12元，成本的 25%为 3 元，保证利润为 7.5元，则利润率为：7.512350%【答案】50%模块七：方案决策问题 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案 【例26】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的 10%方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的 10%作为管理费用（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：=100%投资收益投资收益率实际投资额）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人获得的收益将相差 5 万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？【解析】（1）设商铺标价为 x 万元，则 按方案一购买，则获投资收益120%110%50.7xxx ，投资收益率为0.7100%70%xx 意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 按方案二购买，则获投资收益120%0.8510%1 10%30.62xxx ，投资收益率为0.62100%72.9%0.85xx 所以投资者选择方案二获得的投资收益率高（2）由题意得，0.70.625xx，解得62.5x，所以甲投资了 62.5万元，乙投资了 53.125万元【答案】略 【例27】有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过 9 人一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有 3 人通过道口，此时，自己前面还有 36 个人等待通过，通过道口后，还需 7 分钟到达学校（1）若绕道而行，要 15 分钟到达学校。从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有 3 人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？【解析】（1）王老师通过道口去学校，需要36719153，故从节省时间角度考虑，他应选择绕道去学校；（2）设维持秩序时间为 x 分，则维持秩序这段时间内过道口的有 3x 人，维持好秩序后过道口的有363x人，根据题意可列方程：36363639xx，解得3x 【答案】（1）从节省时间角度考虑，王老师应选择绕道去学校；（2）维持秩序的时间是 3 分钟 【例28】老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观 老师乘一辆摩托车，速度为25千米小时 这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米小时 学生步行的速度为5千米小时 请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时【解析】设学生为甲、乙二人乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆 设老师带甲乘摩托车行驶了x千米，则用时20 x小时，比乙多行了 3205204xx千米这时老意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了 3255440 xx 小时乙遇到老师时，已经步行了 3520408xxx 千米，离博物馆还有 3338x千米要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有3338xx，解得24x 即甲先乘摩托车 24 千米，用时 1.2小时，再步行 9 千米，用时 1.8小时，共计 3 小时 因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3 个小时【答案】略 模块八：配套问题“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解 【例29】某车间有 28 名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个，一个螺栓要配两个螺母第一天安排 14 名工人生产螺栓，14 名工人生产螺母，问第二天应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使两天总的生产效率最高？【解 析】设 第 二 天 应 分 配 x 人 生 产 螺 栓，28x人 生 产 螺 母，根 据 题 意 可 列 方 程：2 121418 1428xx，解得10 x 【答案】10人生产螺栓，18人生产螺母 【例30】某车间有 62 个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件 12 个或乙种零件 23 个 已知每 3 个甲种零件和 2 个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零意找出能够表审题是分析解题的过程解答过程中不用示应用题全部含义的相等关系体现出来设未知数设未知数一般是问什么就直接设什么设元把各个量用含未知数的代数式表为即直接设元示出来直接设元有困难时可以间接设元列方需要利用其他算式得到所求的量列一元一次方程解应用题检验的步骤在把方程的解代入方程检验或根据解答过程中不用写出来实际问题进行检验方程的解要符合实际问题作答写出答案作出结论这一步在列方程解应用题中必不可是一数过多简化审题和列方程的步骤把难度转移到解方程的步骤上解方程的步骤不用写出直接写结果即可设未知数时要标明单位在列方程时如果题中数据的单位不统一必须把单位换算成统一单位尤其是行程问题里需要注意这个问题设未精品资料 欢迎下载 件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？【解析】设生产甲种零件的有 x 人，则生产乙种零件的有62x人，根据题意可列方程：23 621232xx，解得46x 【答案】应分配 46人生产甲种零件，16人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套 模块九：积分问题 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分 【例31】足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得 0 分一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场，现已比赛了 8 场，输了一场，得 17 分（1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满 14 场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满 14 场比赛，得分不低于 29 分，就可以达到预期目标 请你分析一下，在后面的 6 场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标【解析】（1）设前 8 场比赛中，这个球队胜x场，则平81x 场，38117,5xxx ；（2）17148335 （分）；（3）由题意知：以后的 6 场比赛中，只要得分不低于 12 分即可胜不少于 4 场，一定能达到目标而胜 3 场，平 3 场正好达到预期目标在以后的比赛中这个队至少要胜 3 场【答案】略 【例32】八年级三班同学参加学校趣味数学竞赛，试题共有 50 道评分标准是：答对一道给 3 分，不答给1 分，答错