一元二次不等式与线性规划_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教 材 面 面 观 基础知识常梳理 自主探究强记忆 1二元一次不等式表示_(直线定边界、选点定区域)一般地，若 AxByC0，则当 B0时，表示直线 AxByC0 的_；当 B0 时，表示直线 AxByC0 的_若 AxByC0，与上述情况相反 答案 平面区域 上方 下方 2线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量 x、y 满足的一组条件叫做对变量 x、y 的约束条件，如果约束条件都是_，则约束条件又称为线性约束条件；(2)目标函数、线性目标函数：欲达到_，叫做目标函数如果这个解析式是_，则目标函数又称为线性目标函数；(3)线 性 规 划：求 线 性 目 标 函 数 在_的问题，统称为线性规划问题；学习必备 欢迎下载(4)可行域：_叫做可行解，_叫做可行域；(5)最 优 解：分 别 使 目 标 函 数 取 得_的解，叫做这个问题的最优解 答案(1)关于 x、y 的一次不等式(2)最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式 关于 x、y 的一次解析式(3)线性约束条件下的最大值或最小值(4)满足线性约束条件的解(x，y)由所有可行解组成的集合(5)最大值和最小值 3求解线性规划问题的基本程序是作_，画_，解_，求_ 答案 可行域 平行线 方程组 最值 考 点 串 串 讲 考点归纳与解析 思维拓展与迁移 1二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxBy元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 C0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)(3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域，能使问题更加清楚、准确、便于理解 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；AxByC0 表示的是直线 AxByC0 及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法特别地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点 画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 点集的交集，即它们的平面区域的公共部分 在直线 l：AxByC0 外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)若 P、Q 在直线 l 的同一侧，则 Ax1By1C 与 Ax2By2C 同号；若 P、Q 在直线 l 异侧，则 Ax1By1C 与 Ax2By2C 异号这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”2线性规划(1)线性规划的有关概念 约束条件：由 x、y 的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是 x，y 的约束条件 线性约束条件：关于 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是 x，y 的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式 线性目标函数：目标函数为 x、y 的一次解析式 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解(2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线 l.平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置 求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值(3)关于线性规划的几点说明：最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多 对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到(4)求目标函数 zaxby 的最值，要把z 与直线 yabxzb的截距联系起来去理解(5)线性规划的图解法及其应用 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 图解法的步骤：求可行解即可行域 将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)作出目标函数的等值线 目标函数 zaxby(a、bR 且 a、b为常数)，当 z 是一个指定的常数时，就表示一条直线位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值 z，因此称之为等值线当 z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数 z 的变化状态 求出最终结果 在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解 3线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务 给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载(2)线性规划中的常见问题：物资调运问题；产品安排问题；合理下料问题；配方问题(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：模型建立；模型求解；模型应用(4)关于线性规划的实际应用的几点说明：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范 因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，则求不出可能是最优点的坐标.典 例 对 对 碰 反思例题有法宝 变式迁移有技巧 题型一二元一次不等式组表示的平面区域 例 1 在ABC 中，A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)，写出ABC 区域所表示的二元一次不等式组 分析 首先写出ABC 三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 解析 解法一：如图，由两点式得 AB、BC、CA 的直线方程并化简为：AB：x2y10，BC：xy20，AC：2xy50.原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为 x2y10，xy20，2xy50.解法二：由 AB 的方程及三角形区域在AB 上方，根据“同号在上”原则，得不等式 x2y10.由BC 的方程及三角形区域在BC 下方，元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 根据“异号在下”原则，得不等式 xy20.同理得 2xy50，从而得不等式组 点评 判断二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断.变式迁移 1 画出不等式组 x2y10，x2y10，1|x2|3表示的平面区域 解析 不等式 x2y10 表示直线 x2y10 右下方的点的集合；不等式x2y10表示直线x2y10 上及其右上方的点的集合；不等式 1|x2|3，可化为1x1或 3x5，它表示夹在两平行线 x1和 x1 之间或在两平行线 x3 和 x5 之间的带状区域，但不包括直线 x1 和 x3上的点 所以，原不等式组表示的区域如图所元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 示 题型二线性目标函数的最值问题 例 2 已知 x，y 满足 3x8y150，5x3y60，2x5y100，则 zxy 的取值范围是_ 解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，由 3x8y150，5x3y60，得 B(3，3)，由 3x8y150，2x5y100，得 A(5,0)元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 当 z 为常数时，z 表示直线 zxy在 y 轴上的截距，当点(x，y)位于 A 点时，z 取最大值，zmin505；当点(x，y)位于 B 点时，z 取最小值；zmax3(3)6.综上所述，目标函数 z 的取值范围是5,6 答案 5,6 点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后)通过的区域内的点便是最优解特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个.变式迁移 2 设 z2y2x4，式中 x、y 满足条件元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 0 x1，0y2，2yx1.求 z 的最大值和最小值 解 析 作 出 满 足 不 等 式 组 0 x1，0y2，2yx1.的可行域(如图所示)作直线 l：2y2xt，当 l 经过点 A(0,2)时，zmax222048；当 l 经过点 B(1,1)时，zmin212144.题型三平面区域的面积问题 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A(x，y)|xy1，且 x0，y0，则平面区域 B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2 B1 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 C.12 D.14 解析 令 uxy，vxy，u1，uv0，uv0，通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积 S12211.故选 B.答案 B 点评 求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加在划分时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度.元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 变式迁移 3 求不等式|x|y|2 表示的平面区域的面积 解析|x|y|2 可化为：x0，y0，xy2.或 x0，y0，xy2.或 x0，y0，xy2.或 x0，y0，xy2.其平面区域如图所示 面积 S12448.题型四利用可行域求非线性函数的最值 例4已 知x，y满 足 条 件 4x2y70，x2y20，3xy40，试求z元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 x2y22x4y的取值范围 解析 如图所示作出约束条件所表示的平面区域ABC，易求 A(2,2)、B(1，32)、C(32，12)，因为x2y22x4y x12 y225，又因为方程Z(x1)2(y2)2表示的曲线为以点 D(1，2)为圆心，半径为 Z的圆，所以观察图，知当圆过 A 点时，Z取得最大值 5.过 D 作 DEBC 于 E，易知 kDE12，从而知直线DE 的方程为x2y30，元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 由 x2y30，4x2y70，x2，y12，即点 E 的坐标为(2，12)，显然 E 在线段 BC 的延长线上，从而知当圆过点 C 时，Z取得最小值5 22，故 zx2y22x4y的取值范围为302，2 5 点评 利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的.变式迁移 4 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 已知 x，y 满足条件 2xy503xy50 x2y50且 z(x1)2(y1)2 在什么时候 z 取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？解析 作出可行域如图 解方程组 2xy503xy50得 A(2,1)解方程组 3xy50 x2y50得 B(3,4)z(x1)2(y1)2的几何意义为可行域内的点(x，y)与点(1，1)的距离的平方，显然当圆过 A 点时半径最小，最小值为13，圆过 B 点时半径最大，最大值为 41.题型五可行域与斜率的最值问题 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 例 5 若实数 x、y 满足 xy10，x0，y2，则yx的取值范围是()A(0,2)B(0,2 C(2，)D2，)解析 不等式组 xy10，x0，y2，表示的平面区域为如图所示的ABC 及其内部(不包括边 AC)，yx表示点(x，y)与原点 O连线的斜率，当点(x，y)在 B 处时，yx有最小值212.当点(x，y)由 B 在区域内向左移动时yx越来越大，故yx的取值范围是2，)元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 答案 D 变式迁移 5 已知 x、y 满足 x0，yx，4x3y12，则y2x1的取值范围是_ 答案 2,2 解析 作出可行域如图所示，设点M(x，y)在可行域内，定点P 的坐标为(1,2)，则目标函数y2x1的值为直线 PM 的斜率，因为 PO、PA 的斜率分别为2、2，由图可得y2x1的取值范围是2,2 题型六线性规划的实际应用 例 6 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于 15 吨，已知生产甲产品 1元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 吨，需煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳力 3 个；生产乙产品 1 吨，需煤 4 吨，电力 5 千瓦，劳力 10 个；甲产品每 1 吨利润 7 万元，乙产品每 1 吨利润 12 万元；但每天用煤不超过300 吨，电力不超过 200 千瓦，劳力只有 300个问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？分析 将已知数据列成表，如下表所示.产品/消耗量/资源 甲产品 乙产品 资源限额 煤(t)9 4 300 电力(kW h)4 5 200 劳力(个)3 10 300 利润(万元)7 12 解析 设每天生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt，利润总额为 z 万元，那么 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 9x4y300，4x5y200，3x10y300，x15，y15.作出以上不等式表示的可行域，如图 目标函数为 z7x12y.作出在一组平行直线7x12yt中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最远的直线此直线经过直线 4x5y200 和直线 3x10y300 的交点 A(20,24)即生产甲、乙两种产品分别为 20t,24t时，利润总额最大zmax7201224428(万元).元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 变式迁移 6 某工厂家具车间生产 A、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1h 和 2h，漆工油一张 A、B 型桌子分别需要 3h 和 1h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8h和 9h，而工厂造一张 A、B 型桌子分别获得利润 200 元和 300 元，试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获得最大利润？解析 设每天生产 A 型桌子 x 张，B 型桌子 y 张，则 x2y8，3xy9，x0，y0，目标函数为：z2x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，把直线 l：2x3y0 向右上方平移到l的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z2x3y 取最大元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 值 解方程组 x2y8，3xy9，得 M 的坐标为(2,3)每天应生产 A 型桌子 2 张，B 型桌子3 张才能获得最大利润.题型七线性规划中的整数解问题 例 7 某运输公司有 7 辆载重量为 6 吨的A 型卡车与 4 辆载重量为 10 吨的 B 型卡车，有 9 名驾驶员，在建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运 360 吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：A 型卡车为 8 次而 B 型卡车为 6 次 每辆卡车每天往返的成本费用情况是：A 型卡车 160 元，B型卡车 252 元，试问：A 型卡车与 B 型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低 分析 本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力解题时一定注意最优解是整数解 解析 设每天出动的 A 型卡车数为 x，则 0 x7，每天出动的 B 型卡车数为 y，元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 则 0y4，因为每天出车的驾驶员最多 9 名，则 xy9，每 天 要 完 成 搬 运 任 务，则 48x 60y360，每天公司所花成本费用为 z160 x252y.本 题 即 求 满 足 不 等 式 组 0 x7，0y4，xy9，48x60y360.且使 z160 x252y 取得最小值的非负整数 x 与 y 的值 不等式组表示的平面区域，即可行域如元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 图所示，其可行域为四边形 ABCD 区域(含边界线段)，它的顶点是 A(52，4)，B(7，25)，C(7,2)，D(5,4)结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有 P1(3,4)、P2(4,3)、P3(4,4)、P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1)，C(7,2)共10 个点 作直线 l：160 x252y0.将 l 向上方作平行移动，可发现它与上述的 10 个点中最先接触到的点是 P4(5,2)，所以在点 P4(5,2)处，得到的 z 的值最小 zmin160525221304.答：当公司每天出动 A 型卡车 5 辆，B型卡车 2 辆时，工司的成本费用最低.变式迁移 7 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载 已知 x，y 满足 x2y82xy8xN*，yN*目标函数为 z3xy，求得 x4，y0 时，zmax12.但题中要求 x、yN*，请调整一下最优解与目标函数的最大值 解析 0 N*，x4，y0 不在可行域内，不是最优解 在可行域内z12时仅有x4，y0，z 最大取不到 12，x、yN*，z3xyN*，考虑 z3xy11 时取最大，而此时可行域内有 x3，y2 使 z11，最优解为 x3，y2，zmax11.题型八线性规划与其它知识的综合 例 8 设不等式组 x0，y0，ynx3n，所表示的平面区域为 Dn，设 Dn内的整点个数为 an(nN*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件叫做对变量的约束条件如果约束条件都是则约束条件数线性规划求线性目标函数在的问题统称为线性规划问题学习必备欢迎下载可行域叫做可行解叫做可行域最优解分别使目标函数取得的解叫做这个问题的最优解答案关于的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量的解析式关于的一线性规划问题的基本程序是作画解求答案可行域平行线方程组最值考点串串讲考点归纳与解析思维拓展与迁移二元一次不等式表示平面区域一般地二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域我们把直学习必备 欢迎下载(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前 n 项和为 Sn，且 TnSn3 2n1，若对于一切正整数 n，总有 Tnm，求实数 m 的取值范围 解析(1)由 x0，nx3ny0，得 0 x3，x1 或 x2.Dn内的整点在直线 x1 或 x2 上 记直线ynx3n 为l，l与直线x1、x2 的交点的纵坐标分别为 y1、y2，则 y1n3n2n，y22n3nn，an3n(nN*)(2)Sn 3(1 2 3 n)3n n12，Tnn n12n，Tn1Tn n1n22n1n n12n 元一次不等式表示直线定边界选点定区域一般地若则当时表示直线的当时表示直线的若与上述情况相反答案平面区域上方下方线性规划约束条件线性约束条件变量满足的一组条件