2021年山东省烟台市中考数学真题及答案.pdf

2021 年山东省烟台市中考数学真题及答案一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3636 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A,B,C,A,B,C,D D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的1若x的相反数是 3，则x的值是（A）A3BC3D32下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）ABCD3下列计算正确的是（C）Aa2a3a6Ba2+a3a5C（a2）3a6Da2a3a4一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（C）ABCD52021 年 5 月 15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步已知火星与地球的近距离约为 5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为（B）A0.55108B5.5107C55106D5.51036一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中的度数为（C）A45B60C75D857如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（1，0），BCD120，则点D的坐标为（D）A（2，2）B（，2）C（3，）D（2，）8如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为m；按键的结果为n；按键的结果为k下列判断正确的是（C）AmnBnkCmkDmnk9已知关于x的一元二次方程x2mnx+m+n0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（A）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定10连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（B）ABCD11如图，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C 下列结论：ac0；当x0 时，y随x的增大而增大；3a+c0；a+bam2+bm其中正确的个数有（B）A1 个B2 个C3 个D4 个12由 12 个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，AOBBOCLOM30若OA16，则OG的长为（A）ABCD二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分）13若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x214九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB1 米，AC1.6 米，AE0.4 米，那么CD为3米15幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方将数字 19 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15，则a的值为216数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 40 米，当无人机与旗杆的水平距离是 45 米时，观测旗杆顶部的俯角为 30，则旗杆的高度约为14米（结果精确到 1 米，参考数据：1.41，1.73）17如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，O是ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则 sinACB的值是18 综合实践活动课上，小亮将一张面积为 24cm2，其中一边BC为 8cm的锐角三角形纸片（如图 1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图 2），则矩形的周长为22cm三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 个小题，满分个小题，满分 6666 分分19（6 分）先化简，再求值：，从2x2 中选出合适的x的整数值代入求值【解答】解：，2x2 且（x+1）（x1）0，2x0，x的整数值为1，0，1，2 且x1，2，x0，当x0 时，原式120（8 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派 15 名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：甲班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98乙班 15 名学员测试成绩（满分 100 分）统计如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分数段整理两班测试成绩班级70.575.575.580.580.585.585.590.590.595.595.5100.5甲12a512乙033621表中a4；（2）补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图；（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x87，y86（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班；（5）本次测试两班的最高分都是 98 分，其中甲班 2 人，乙班 1 人现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率【解答】解：（1）由题意得：a4，故答案为：4；（2）补全甲班 15 名学员测试成绩的频数分布直方图如下：（3）甲班 15 名学员测试成绩中，87 分出现的次数最多，x87，由题意得：乙班 15 名学员测试成绩的中位数为 86，故答案为：87，86；（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；故答案为：乙；（5）把甲班 2 人记为A、B，乙班 1 人记为C，画树状图如图：共有 6 种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有 4种，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为21（8 分）如图，正比例函数yx与反比例函数y（x0）的图象交于点A，过点A作ABy轴于点B，OB4，点C在线段AB上，且ACOC（1）求k的值及线段BC的长；（2）点P为B点上方y轴上一点，当POC与PAC的面积相等时，请求出点P的坐标【解答】解：（1）点A在正比例函数yx上，ABy轴，OB4，点B的坐标为（0，4），点A的纵坐标是 4，代入yx，得x8，A（8，4），点A在反比例函数y（x0）的图象上，k4832，点C在线段AB上，且ACOC设点C（c，4），OC，ACABBC8c，8c，解得：c3，点C（3，4），BC3，k32，BC3；（2）如图，设点P（0，p），点P为B点上方y轴上一点，OPp，BPp4，A（8，4），C（3，4），AC835，BC3，POC与PAC的面积相等，3p5（p4），解得：p10，P（0，10）22（9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解答】（1）解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x40）元，日销售量为20+（1402x）件，依题意，得：（x40）（1402x）（6040）20，整理，得：x2110 x+30000，解得：x150，x260（舍去）答：售价应定为 50 元；（2）该商品需要打a折销售，由题意，得，62.550，解得：a8，答：该商品至少需打 8 折销售23（10 分）如图，已知 RtABC中，C90（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BAC的角平分线AD，交BC于点D；作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M（2）在（1）的条件下，求证：BC是O的切线；（3）若AM4BM，AC10，求O的半径【解答】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为BAC的平分线；分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；如图，O与AB交于点M；（2）证明：EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上，OAOD，OADODA，AD是BAC的平分线，OADCAD，ODACAD，ODAC，ACBC，ODBC，故BC是O的切线（3）根据题意可知OMOAODAM，AM4BM，OM2BM，BO3BM，AB5BM，由（2）可知 RtBOD与 RtBAC有公共角B，RtBODRtBAC，即，解得DO6，故O的半径为 624（11 分）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图 1 所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是DE2AM，位置关系是DEAM；【探究证明】（2）将图 1 中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转 45，点G恰好落在边AB上，如图 2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由【解答】解：（1）四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，ADAB，AFAE，DAEBAF90，DAEBAF（SAS），DEBF，ADEABF，ABF+AFB90，ADE+AFB90，在 RtBAF中，M是BF的中点，AMFMBMBF，DE2AMAMFM，AFBMAF，又ADE+AFB90，ADE+MAF90，AND180（ADE+MAF）90，即ANDN；故答案为DE2AM，DEAM（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AMMH，连接FH，M是BF的中点，BMFM，又AMBHMF，AMBHMF（SAS），ABHF，ABMHFM，ABHF，HFGAGF，四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，DABAFG90，AEAF，ADABFH，EAGAGF，EADEAG+DABAFG+AGFAFG+HFGAFH，EADAFH（SAS），DEAH，又AMMH，DEAM+MH2AM，EADAFH，ADEFHA，AMBHMF，FHABAM，ADEBAM，又BAM+DAMDAB90，ADE+DAM90，AND180（ADE+DAM）90，即ANDN故线段DE与AM之间的数量关系是DE2AM线段DE与AM之间的位置关系是DEAM25（14 分）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E直线ymx+n经过B，C两点（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 RtPEQ，且满足 tanEQPtanOCA若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA2，OC2OA4，故点C的坐标为（0，4），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为yx+x+4；将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线BC的表达式为yx+4；（2）点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，理由：由函数的对称性知，AFBF，则AF+FCBF+FCBC为最小，当x1 时，yx+43，故点F（1，3），由点B、C的坐标知，OBOC4，则BCBO4，即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为 4；（3）存在，理由：设点P的坐标为（m，m2+m+4）、点Q的坐标为（t，t+4），当点Q在点P的左侧时，如图 2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，由题意得：PEQ90，PEN+QEM90，EQM+QEM90，PENEQM，QMEENP90，QMEENP，tanEQPtanOCA，则PNm2+m+4，ME1t，ENm1，QMt+4，解得m（舍去负值），当m时，m2+m+4，故点P的坐标为（，）当点Q在点P的右侧时，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，则MQt1，MEt4，NEm2+m+4、PNm1，同理可得：QMEENP，tanPQE2，即，解得m（舍去负值），故m，故点P的坐标为（，），故点P的坐标为（，）或（，）