2021年中考数学压轴题精选含答案.pdf

2021 年中考数学压轴题精选含答案1如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P（1）当 BP时，MBPDCP；（2）当P 与正方形 ABCD 的边相切时，求 BP 的长；（3）设P 的半径为 x，请直接写出正方形 ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的 x 的取值范围2如图，已知抛物线2yaxbx2 a0与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且D 2,3，B4,0（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C，求BMC面积的最大值；（3）在（2）中BMC面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由3已知抛物线217222yxmxm=-+-的顶点为点C（1）求证：不论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x，求m的值和C点坐标；（3）如图，直线1yx与（2）中的抛物线并于A B、两点，并与它的对称轴交于点D，直线xk交直线AB于点M，交抛物线于点N求当k为何值时，以CDMN、为顶点的四边形为平行四边形4如图，在四边形 ABCD 中，B=90，AD/BC，AD=16，BC=21，CD=13（1）求直线 AD 和 BC 之间的距离；（2）动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1 个单位长度的速度运动，点 P、Q 同时出发，当点 Q 运动到点 D时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒试求当 t 为何值时，以 P、Q、D、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的 t 值，若不存在，请说明理由5如图，在菱形ABCD中，ABa=，60ABC，过点A作AEBC，垂足为E，AFCD，垂足为F（1）连接EF，用等式表示线段EF与EC的数量关系，并说明理由；（2）连接BF，过点A作AKBF，垂足为K，求BK的长(用含a的代数式表示)；（3）延长线段CB到G，延长线段DC到H，且BGCH，连接AG，GH，AH判断AGH的形状，并说明理由；若12,(33)2ADHaS，求sinGAB的值6问题提出（1）如图，在ABC中，4 2,6,135ABACBAC，求ABC的面积问题探究（2）如图，半圆O的直径10AB，C是半圆AB的中点，点D在BC上，且2CDBD，点P是AB上的动点，试求PCPD的最小值问题解决（3）如图，扇形AOB的半径为20,45AOB在AB选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，求PEEFFP的长度的最小值7如图，在ABC中，14AB，45B，4tan3A，点D为AB中点动点P从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P关于点D对称点为点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN设点P的运动时间为t秒（1）当t _秒时，点N落在AC边上（2）设正方形PQMN与ABC重叠部分面积为S，当点N在ABC内部时，求S关于t的函数关系式（3）当正方形PQMN的对角线所在直线将ABC的分为面积相等的两部分时，直接写出t的值8对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W1和图形 W2给出如下定义：在图形 W1上存在两点 A，B（点 A，B 可以重合），在图形 W2上存在两点 M，N，（点 M 于点 N 可以重合）使得 AM=2BN，则称图形 W1和图形 W2满足限距关系(1)如图 1，点 C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点 P 在线段 DE 上运动(点 P 可以与点 D，E重合)，连接 OP，CP线段 OP 的最小值为_，最大值为_；线段 CP 的取值范直范围是_；在点 O，点 C 中，点_与线段 DE 满足限距关系；(2)如图 2，O 的半径为 1，直线3yxb(b0)与 x 轴、y 轴分别交于点 F，G若线段FG 与O 满足限距关系，求 b 的取值范围；(3)O 的半径为 r(r0)，点 H，K 是O 上的两个点，分别以 H，K 为圆心，1 为半径作圆得到H 和K，若对于任意点 H，K，H 和K 都满足限距关系，直接写出 r 的取值范围9如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A，(5,0)B，抛物线22(0)yaxax a交x轴正半轴于点C，连结AO，AB（1）求点C的坐标；（2）求直线AB的表达式；（3）设抛物线22(0)yaxax a分别交边BA，BA延长线于点D，E若2AEAO，求抛物线表达式；若CDB与BOA相似，则a的值为（直接写出答案）10如图，射线 AM 上有一点 B，AB6点 C 是射线 AM 上异于 B 的一点，过 C 作CDAM，且 CD43AC过 D 点作 DEAD，交射线 AM 于 E.在射线 CD 取点 F，使得 CFCB，连接 AF 并延长，交 DE 于点 G设 AC3x（1）当 C 在 B 点右侧时，求 AD、DF 的长(用关于 x 的代数式表示)（2）当 x 为何值时，AFD 是等腰三角形（3）若将DFG 沿 FG 翻折，恰使点 D 对应点D落在射线 AM 上，连接FD，GD此时 x 的值为（直接写出答案）11已知：如图，四边形ABCD，ABDC，CBAB，16ABcm，6BCcm，8CDcm，动点Q从点D开始沿DA边匀速运动，运动速度为1/cm s，动点P从点A开始沿AB边匀速运动，运动速度为2/cm s点P和点Q同时出发，O为四边形ABCD的对角线的交点，连接 PO并延长交CD于M，连接QM设运动的时间为 t s，08t（1）当t为何值时，PQBD？（2）设五边形QPBCM的面积为2S cm，求S与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQM的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在MP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由12如图 1，平面直角坐标系 xoy 中，A(4，3)，反比例函数(0)kykx的图象分别交矩形 ABOC 的两边 AC，BC 于 E，F（E，F 不与 A 重合），沿着 EF 将矩形 ABOC 折叠使 A，D 重合（1）如图 2，当点 D 恰好在矩形 ABOC 的对角线 BC 上时，求 CE 的长；若折叠后点 D 落在矩形 ABOC 内（不包括边界），求线段 CE 长度的取值范围（2）若折叠后，ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点 D 的坐标13如图 1，已知点 B（0，9），点 C 为 x 轴上一动点，连接 BC，ODC 和EBC 都是等边三角形（1）求证：DEBO；（2）如图 2，当点 D 恰好落在 BC 上时求点 E 的坐标；在 x 轴上是否存在点 P，使PEC 为等腰三角形？若存在，写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；如图 3，点 M 是线段 BC 上的动点（点 B，点 C 除外），过点 M 作 MGBE 于点 G，MHCE 于点 H，当点 M 运动时，MHMG 的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MHMG 的值；若会变化，简要说明理由14在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点 P、M、N、Q，（1）如图所示当CNG42，求HMC 的度数（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。请直接写出PQF、A、ACE 之间的关系15已知抛物线 y=x22x+3 交 x 轴于点 A、C（点 A 在点 C 左侧），交 y 轴于点 B（1）求 A，B，C 三点坐标；（2）如图 1，点 D 为 AC 中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE=2DE，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求点 M 坐标；（3）如图 2，将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15后交 y 轴于点 G，连接 CG，点 P 为ACG 内一点，连接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在它们的左侧作等边APR 和等边AGQ，求 PA+PC+PG 的最小值，并求当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标（直接写出结果即可）16已知：AB 为O 的直径，点 C 为弧 AB 的中点，点 D 为O 上一点，连接 CD，交 AB于点 M，AE 为DAM 的平分线，交 CD 于点 E（1）如图 1，连接 BE，若ACD=22，求MBE 的度数；（2）如图 2，连接 DO 并延长，交O 于点 F，连接 AF，交 CD 于点 N求证：DM2+CN2=CM2；如图 3，当 AD=1，AB=10时，请直接写出线段 ME 的长17如图，平面直角坐标系中，抛物线228yaxaxa与x轴交于 B、C 两点（点 B 在点 C 右侧），与y轴交于点A，连接AB，2 5AB（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在第二象限的抛物线上，连接 PB 交y轴于 D，取 PB 的中点 E，过点 E 作EHx轴于点 H，连接 DH，设点 P 的横坐标为t.ODH的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，作PFy轴于 F，连接 CP、CD，CPCD，点S为PF上一点，连接BS交y轴于点T，连接 BF 并延长交抛物线于点R.SBCFBO45，在射线 CS 上取点 Q.连接 QF，QFRF，求直线TQ的解析式18定义：将函数 l 的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新的函数 l的图象，我们称函数 l是函数关于点 P 的相关函数例如：当 m1 时，函数 y（x+1）2+5 关于点 P（1，0）的相关函数为 y（x3）25（1）当 m0 时一次函数 yx1 关于点 P 的相关函数为；点（12，98）在二次函数 yax2ax+1（a0）关于点 P 的相关函数的图象上，求a 的值（2）函数 y（x1）2+2 关于点 P 的相关函数 y（x+3）22，则 m；（3）当 m1xm+2 时，函数 yx2mx12m2关于点 P（m，0）的相关函数的最大值为 6，求 m 的值19如图，在ABCD 中，对角线 ACBC，BAC30，BC23，在 AB 边的下方作射线 AG，使得BAG30，E 为线段 DC 上一个动点，在射线 AG 上取一点 P，连接 BP，使得EBP60，连接 EP 交 AC 于点 F，在点 E 的运动过程中，当BPE60时，则 AF_20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt ABC的直角顶点0,12C，斜边AB在x轴上，且点A的坐标为9,0，点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线212yaxbx过D，C，E三点（1）当/DEAB时，求抛物线的解析式；平行于对称轴的直线xm与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F为顶点的三角形与GHE相似，求点m的值（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰EDG，且G点落在x轴上.若在x轴上满足条件的G点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标21如图 1，D 是等边ABC 外一点，且 ADAC，连接 BD，CAD 的角平分交 BD 于 E（1）求证：ABDD；（2）求AEB 的度数；（3）ABC 的中线 AF 交 BD 于 G（如图 2），若 BGDE，求AFDE的值22在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 为反比例函数4x0 xy 的图像上两点，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标均为 1，将4x0 xy 的图像绕原点 O 顺时针旋转 90，A 点的对应点为 A，B 点的对应点为 B（1）点 A的坐标是，点 B的坐标是；（2）在 x 轴上取一点 P，使得 PA+PB 的值最小，直接写出点 P 的坐标 此时在反比例函数4x0 xy 的图像上是否存在一点 Q，使ABQ 的面积与PAB 的面积相等，若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AB，动点 M 从 A 点出发沿线段 AB以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B运动；动点 N 同时从 B点出发沿线段 BA以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A运动当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为 t 秒，试探究：是否存在使MNB为等腰直角三角形的 t 值若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由23（操作发现）如图 1，ABC为等腰直角三角形，90ACB，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于45），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D在三角板另一直角边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使45DCE，连接AF，EF（1）请求出EAF的度数？（2）DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）如图 2，ABC为等边三角形，先将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使30DCE，连接AF，EF.（3）直接写出EAF_度；（4）若1AE，2BD，求线段DE的长度.24如图，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB=2，AC=4对角线 AC、BD 相交于点 O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转（0180），分别交直线 BC、AD 于点 E、F（1）当=_时，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从 A、B、C、D、E、F 中任意 4 个点为顶点构造四边形，当=_时，构造的四边形是菱形；若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长25如图，抛物线214yxbxc与 x 轴交于点 A（-2，0），交 y 轴于点 B（0，52）直线32ykx过点 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D(1)求抛物线214yxbxc与直线32ykx的解析式；(2)点 P 是抛物线上 A、D 间的一个动点，过 P 点作 PMCE 交线段 AD 于 M 点.过 D 点作 DEy 轴于点 E，问是否存在 P 点使得四边形 PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由;作 PNAD 于点 N，设PMN 的周长为 m，点 P 的横坐标为 x，求 m 关于 x 的函数关系式，并求出 m 的最大值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题一、中考数学压轴题1B解析：（1）83；（2）3 或4 3；（3）565x【解析】【分析】（1）设 BP=a，则 PC=8-a，由MBPDCP 知MBBPDCCP，代入计算可得；（2）分别求出P 与边 CD 相切时和P 与边 AD 相切时 BP 的长即可得；（3）当 PM=5 时，P 经过点 M，点 C；当P 经过点 M、点 D 时，由PC2+DC2=BM2+PB2，可求得 BP=7，继而知227465PM 据此可得答案【详解】（1）设 BP=a，则 PC=8-a，AB=8，M 是 AB 中点，AM=BM=4，MBPDCP，MBBPDCCP，即488aa，解得83a，故答案为：83（2）如图 1，当P 与边 CD 相切时，设 PC=PM=x，在 RtPBM 中，PM2=BM2+PB2，x2=42+（8-x）2，x=5，PC=5，BP=BC-PC=8-5=3如图 2，当P 与边 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，22844 3PB综上所述，BP 的长为 3 或4 3（3）如图 1，当 PM=5 时，P 经过点 M，点 C；如图 3，当P 经过点 M、点 D 时，PC2+DC2=BM2+PB2，42+BP2=（8-BP）2+82，BP=7，227465PM 综上，565x【点睛】本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题2B解析：（1）213yxx222；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为2,4或2,1【解析】【分析】1根据题意将D 2,3、B4,0的坐标代入抛物线表达式，即可求解；2由题意设点 M 的坐标为213x,xx222，则点1K x,x22，BMC1SMK OB2，即可求解；3由题意和如图所示可知，1tanQHN2，在Rt QNH中，QHm6，222QNOQ(2)mm4，21QNm4sinQHNQHm65，进行分析计算即可求解【详解】解：1将D 2,3、B4,0的坐标代入抛物线表达式得：422316420abab，解得：1232ab，则抛物线的解析式为：213yxx222；2过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 K，将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ykxb得：04 2kbb ，解得：122kb ，则直线 BC 的表达式为：1yx22，设点 M 的坐标为213x,xx222，则点1K x,x22，22BMC1113SMK OB2x2xx2x4x2222，a10 ，BMCS有最大值，当bx22a 时，BMCS最大值为 4，点 M 的坐标为2,3；3如图所示，存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，切点为 N，过点 M 作直线平行于 y 轴，交直线 AC 于点 H，点 M 坐标为2,3，设：点 Q 坐标为2,m，点 A、C 的坐标为1,0、0,2，OA1tanOCAOC2，QH/y轴，QHNOCA，1tanQHN2，则1sinQHN5，将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式：ymxn得：02mnn，则直线 AC 的表达式为：y2x2，则点H2,6，在Rt QNH中，QHm6，222QNOQ(2)mm4，21QNm4sinQHNQHm65，解得：m4或1，即点 Q 的坐标为2,4或2,1【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是 3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强3（1）详见解析；（2）3m，点C坐标为(3,2)；（3）5k 或417k=+或417k=-时，可使得CDMN、为顶点的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）从2172022xmxm-+-=的判别式出发，判别式总大于等于 3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32bxa=-=-来求m的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MNkkkCD=-+=需要分类讨论：当四边形CDMN是平行四边形，2151(3)422MNkkk=-+=，通过解该方程可以求得k的值；当四边形CDNM是平行四边形，2153(1)422NMkkk=-+-=，通过解该方程可以求得k的值【详解】解：（1）2217()4(2)(2)322mmmD=-=-+，不论m为何实数，总有2(2)0m，2(2)30m D=-+，无论m为何实数，关于x的一元二次方程2172022xmxm-+-=总有两个不相等的实数根，无论m为何实数，抛物线217222yxmxm=-+-与x轴总有两个不同的交点（2）抛物线的对称轴为直线3x，3122m-=，即3m，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222yxxx=-+=-，顶点C坐标为(3,2)；（3）/,CDMN CDMNQ、为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN（直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22DM k kN kkk-+，(3,2)C-Q，4CD，2151(3)422MNkkkCD=-+=，当四边形CDMN是平行四边形，2151(3)422MNkkk=-+=，整理得，28150kk，解得13k（不合题意，舍去），25k；当四边形CDNM是平行四边形，2153(1)422NMkkk=-+-=，整理得2810kk-=，解得，12417417kk=+=-，综上，5k 或417k=+或417k=-时，可使得CDMN、为顶点的四边形是平行四边形【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4A解析：（1）12；（2）5s 或373s；（3）163s 或685s 或72s【解析】【分析】（1）AD 与 BC 之间的距离即 AB 的长，如下图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 于点 E，在RtDEC 中可求得 DE 的长，即 AB 的长，即 AD 与 BC 间的距离；（2）四边形 QDCP 为平行四边形，只需 QD=CP 即可；（3）存在 3 大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点 P 存在 2 种情况，一种为点 P 还未到达点 C，另一种为点 P 从点 C 处返回【详解】（1）如下图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 于点 EB=90，ADBCABBC，ABADAB 的长即为 AD 与 BC 之间的距离AD=16，BC=21，EC=5DC=13在 RtDEC 中，DE=12同理，DE 的长也是 AD 与 BC 之间的距离AD 与 BC 之间的距离为 12（2）ADBC只需 QD=PC，则四边形 QDCP 是平行四边形QD=16t，PC=212t 或 PC=2t2116t=212t 或 16t=2t21解得：t=5s 或 t=373s（3）情况一：QP=PD图形如下，过点 P 作 AD 的垂线，交 AD 于点 FPQ=PD，PFQD，QF=FDAFBP，ABFP，B=90四边形 ABPF 是矩形，AF=BP由题意得：AQ=t，则 QD=16t，QF=82t，AF=8+2tBP=2t 或 BP=21(2t21)=422tAF=BP8+2t2t 或 8+2t422t解得：t=163或 t=685情况二：PD=QD，图形如下，过点 P 作 AD 的垂线，交 AD 于点 F同理 QD=16t，PF=AB=12BP=2t 或 21(2t21)=422t则 FD=ADAF=ADBP=162t 或 FD=16(422t)=2t26在 RtPFD 中，22212162PDt或22212226PDtPD=QD，22PDQD22216t12162t或22216t12226t解得：2 个方程都无解情况三：QP=QD，图形如下，过点 P 作 AD 的垂线，交 AD 于点 F同理：QD=16t，FP=12BP=2t 或 BP=422tQF=AFAQ=BPAQ=2tt=t 或 QF=422tt=423t在 RtQFP 中，22212PQt或22212423PQtPQ=QD，22PQQD22216t12t或22216t12423t第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解综上得：t=163或685或72【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点 Q 运动的轨迹，得出 BP 的长度5E解析：（1）3EFEC，见解析；（2）2 77BKa；（3）AGH是等边三角形，见解析；1(62)4【解析】【分析】（1）连接 EF，AC，由菱形的性质，可证Rt AEBRt AFD，然后得到AEF为等边三角形，由解直角三角形得到3AEEC，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出 AF 的长度，然后得到 BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到ABBKFBBA，即可求出答案；（3）由等边三角形的性质，先证明ABGACHVV，然后得到AGAH，然后得到60BAHGABGAH，即可得到答案；由三角形的面积公式得到31DH，然后得到AHF为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案【详解】解：（1）3EFEC；理由：四边形ABCD是菱形，60ABC，,60,/ABADBCABCADCADBC，120BAD，AEBC，垂足为E，AFCD，垂足为F，90AEBAFD Rt AEBRt AFD，,30AEAFBAEDAF，60EAF，AEF为等边三角形，EFAE.连接AC，1602BACBAD30EAC在Rt AEC中，tanECEACAE3AEEC，3EFEC（2）如图：四边形ABCD是菱形，60,ABCABa，ACD是等边三角形，/,60ABCD ADCDaADC.AFCD，垂足为F，1,902CFDFaBAFAFD 在Rt ADF中，sinAFADFAD，23AFa在Rt ABF中，22BFABAF，72BFaAKBF，垂足为K，90AKBFAB ABKFBA Rt AKBRt FAB，ABBKFBBA，2 77BKa，（3）如图：AGH是等边三角形.理由：连接AC.,60ABBCABC，ABC为等边三角形，,60ABACABCACB，120ABG./ABCD，60BCHABC，120ACHABGACH，又BGCH，ABGACH，,AGAHGABHAC.60BAHHACBAC，60BAHGABGAH，AGH为等边三角形；ADC为等边三角形，2,1ADDCACCFDF，3AF.1(33)2ADHS，113(33)22DH，31DH31CHDHCD，3HFDHDF，AFHF，AHF为等腰直角三角形，45AHF.过点C作CMAH，垂足为M.在Rt CMH中，sinCMCHMCHQ，1(62)2CM，在Rt AMC中，sinCMMACAC，1sin(62)4MAC.又GABHAC，1sinsin(62)4GABHAC；【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题6B解析：（1）12；（2）5 3；（3）20 2【解析】【分析】（1）如图 1 中，过点B作BDCA，交CA延长线于点D，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D关于AB的对称点Q，交AB于点H，连接CQ，交AB于点P，连接PD、OD、OC，过点Q作QMCO，交CO延长线于点M，确定点 P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出 CQ 的长度即为答案.（3）解图 3 所示，在AB上这一点作点P关于OA的对称点S，作点P关于OB的对称点N，连接SN，交OA于点E，交OB于点F，连接OSONOPEPFP、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为 SN 的长.【详解】（1）如解图 1 所示，过点B作BDCA，交CA延长线于点D，135BAC，18018013545BADBAC，BDCA，交CA延长线于点D，BAD为等腰直角三角形，且90BDA，BDAD，在BAD中，,90BDADBDA，222BDADAB，即222BDAB，4 2AB，2222(4 2)32BDAB，解得：4BD，6AC，11641222ABCSAC BD（2）如解图 2 所示，作点D关于AB的对称点Q，交AB于点H，连接CQ，交AB于点P，连接PD、OD、OC，过点Q作QMCO，交CO延长线于点M，DQ关于AB的对称点Q，CQ交AB于点P，PDPQ，PCPDPCPQCQ，点P为AB上的动点，PCPDCQ，当点P处于解图 2 中的位置，PCPD取最小值，且最小值为CQ的长度，点C为半圆AB的中点，90COB，90BODCODCOB，11903033BODCOB，10AB，1110522ODAB，在RtODH中，由作图知，90OHD，且30HODBOD，155,222DHODQHDH，222255 3522OHODDH，由作图知，四边形OMQH为矩形，55 3,22OMQHMQOH，515522CMOMOC，2222155 35 322CQCMMQ，PCPD的最小值为5 3（3）如解图 3 所示，在AB上这一点作点P关于OA的对称点S，作点P关于OB的对称点N，连接SN，交OA于点E，交OB于点F，连接OSONOPEPFP、，点P关于OA的对称点S，点P关于OB的对称点N，连接SN，交OA于点E，交OB于点F，PESE，FPFN，SOAPOA，,NOBPOB OSOPON，PEEFFPSEEFFNSN，SOANOBPOAPOB，E为OA上的点，F为OB上的点PEEFFPSN，当点EF、处于解图 3 的位置时，PEEFFP的长度取最小值，最小值为SN的长度，45POAPOBAOB，45SOANOB，454590SONSOAAOBNOB 扇形AOB的半径为20，20OSONOP，在Rt SON中，90SON，20,90OSONSONPEEFFP的长度的最小值为20 2【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.7A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235ttSttt ；（3）t的值为4 77或7 27【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A，可得出 PN 与 AP 的关系，从而求出 t 的值；（2）如下图，存在 2 种情况，一种是点 M 在ABC 内，另一种是点 M 在ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在 2 种情况，一种是 PM 所在的直线将ABC 的面积平分，另一种是 QN所在的直线将ABC 的面积平分【详解】（1）如图 1，点 N 在 AC 上图 1由题意可知：PD=DQ=t，AP=7tPN=PQ=2t4tan3A 43NPAP，即2473tt解得：t=145（2）如图 2，图 2四边形PQMN是正方形，90BQM，45B，BQMQ，即72tt 解得73t，故当0t73时，22(2)4Stt；如图 3，图 390BQF，45B，7BQFQt，45BFQMFE，则37MFMQQFt，90M，37MEMFt，则2221149(2)(37)21222Stttt 71435t；综上，2274,0314971421,2235ttSttt （3）如下图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 于点 G图 44tan3A 设 CG=4x，则 AG=3xB=45CBG 是等腰直角三角形GB=GC=4xAB=143x+4x=14，解得：x=2114 8562ABCS1282ABCS情况一：PM 所在的直线平分ABC 的面积，如下图，PM 与 BC 交于点 E图 5则28PBES四边形 PQMN 是正方形，EPB=45B=45PBE 是等腰直角三角形1282PBESPEPBPE=PB=2 14PB=4 7PB=ABPA=14(7t)=7+t7+t=4 7t=4 77情况二：如下图，QN 所在线段平分ABC 的面积，QF 交 AC 于点 F，过点 F 作 AB 的垂线，交 AB 于点 H图 6同理，28AFQS四边形 PQMN 是正方形，EQH=45FHQ 是等腰直角三角形4tan3A 设 FH=4y，则 AH=3y，HQ=FH=4y，AQ=7y174282AFQSyy，解得：y=2AQ=ABQB=14(7t)=7+t7+t=72解得：t=727综上得：t的值为4 77或7 27【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解8C解析：（1）32，3，32CP，O；（2）13b；（3）0r3【解析】【分析】（1）根据垂线段最短以及已知条件，确定 OP，CP 的最大值，最小值即可解决问题根据限距关系的定义判断即可（2）直线3yxb与 x 轴、y 轴分别交于点 F，G（0，b），分三种情形：线段 FG在O 内部，线段 FG 与O 有交点，线段 FG 与O 没有交点，分别构建不等式求解即可（3）如图 3 中，不妨设K，H 的圆心在 x 轴上位于 y 轴的两侧，根据H 和K 都满足限距关系，构建不等式求解即可【详解】（1）如图 1 中，D（-1，0），E(0，3)，OD=1，3OE，3OEtanEDOOD，EDO=60，当 OPDE 时，3602OPOD sin，此时 OP 的值最小，当点 P 与 E 重合时，OP 的值最大，最大值为3，当 CPDE 时，CP 的值最小，最小值603CD cos，当点 P 与 D 或 E 重合时，PC 的值最大，最大值为 2，故答案为：32，3，32CP.根据限距关系的定义可知，线段 DE 上存在两点 M，N，满足 OM=2ON，故点 O 与线段 DE 满足限距关系故答案为 O（2）直线3yxb与 x 轴、y 轴分别交于点 F，G（0，b），当 0b1 时，线段 FG 在O 内部，与O 无公共点，此时O 上的点到线段 FG 的最小距离为 1-b，最大距离为 1+b，线段 FG 与O 满足限距关系，1+b2（1-b），解得13b，b 的取值范围为131b 当 1b2 时，线段 FG 与O 有公共点，线段 FG 与O 满足限距关系，当 b2 时，线段 FG 在O 的外部，与O 没有公共点，此时O 上的点到线段 FG 的最小距离为121b，最大距离为 b+1，线段 FG 与O 满足限距关系，11212bb，而11212bb 总成立，b2 时，线段 FG 与O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b（3）如图 3 中，不妨设K，H 的圆心在 x 轴上位于 y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为 2r-2，最大值为 2r+2，H 和K 都满足限距关系，2r+22（2r-2），解得 r3，故 r 的取值范围为 0r3【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型9C解析：（1）点C的坐标为(2,0)；（2）1522yx；（3）2481515yxx；1013【解析】【分析】（1）求得对称轴，由对称性可知 C 点坐标；（2）利用待定系数法求解可得；（3）由 AE=3AO 的关系，建立 K 型模型相似，求得点 E 坐标代入解析式可得；若CDB 与BOA 相似，则OAB=CDB=90，由相似关系可得点 D 坐标，代入解析式y=ax2-2ax 可得 a 值【详解】解：（1）把0y 代入22yaxax，得220axax，解得：0 x，或2x 点C在x轴正半轴上，点C的坐标为(2,0)（2）设直线表达式为ykxb，把点(1,2)A，(5,0)B分别代入ykxb，得250kbkb，解得1252kb，直线AB的表达式为：1522yx（3）作AHx轴于点H，EFAH于点F（如图），222125OA，2222420AB=+=，22525OB，222OAABOB90EAOOAB 由EFAAHO，得2EFFAEAAHHOAO，4EF，2FA，点E坐标为()3,4把(3,4)E 代入22yaxax，得964aa，解得：415a 2481515yxx若CDB 与BOA 相似，如图，作 DGBC，CDBDBCAOABBO，OAB=CDB=90，3552 5CDBD，3 55CD，6 55BD，523BC，3 56 565535DG，156225x，解得：135x，点 D 的坐标为：（135，65），把点 D 代入22yaxax，即16913622555aa解得：1013a；故答案为：1013【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与 K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题10A解析：（1）5ADx，6DFx；（2）ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是4817，4831，12；（3）4 或43【解析】【分析】（1）由已知条件可得：CD=4x，根据勾股定理得：AD=5x，由 AB=6 且 C 在 B 点右侧，可以依次表示 BC、CF、DF 的长；（2）分两种情况：当