2018湖南考研数学三真题及答案.pdf
20182018 湖南考研数学三真题及答案湖南考研数学三真题及答案一、选择题1.下列函数中,在0 x 处不可导的是().sinA f xxx.sinB f xxx.C f xcos x.cosD f xx答案:D解析:方法一:000sin0limlimlimsin0,xxxxxxf xfxxxxA可导 000sin0limlimlimsin0,xxxxxxfxfxxxxB可导 20001cos102limlimlim0,xxxxxf xfxxCx可导 0001cos102limlimlimxxxxxffxxxDx不存在,不可导应选 D.方法二:因为,(1)0fcosx fx 0001cos102limlimlimxxxxxf xfxxx不存在 f x在0 x 处不可导,选 D对 :Af xxsinx在0 x 处可导对 32:Bf xxxx在0 x 处可导对():xxCfcos在0 x 处可导.2.设函数 f x在0,1上二阶可导,且 100,f x dx 则 10,02Afxf当时 10,02Bfxf当时 10,02Cfxf当时 10,02Dfxf当时答案 D【解析】将函数 f x在12处展开可得 2221110001111,222221111111,22222222ff xffxxff x dxffxxdxffxdx故当()0fx 时,1011.0.22fx dxff从而有选 D。3.设2222222211,1cos1xxxMdx Ndx Kx dxxe,则A.MNKB.MKNC.KMND.KNM答案:C解析:2222222221211,11xxMdxdxdxxx221xxNdxe,因为1xex所以11xxe221cos,1cos1.Kx dxx即11 1cosxxxe 所以由定积分的比较性质KMN,应选 C.4.设某产品的成本函数 C Q可导,其中Q为产量,若产量为0Q时平均成本最小,则()A00C QB00C QC QC.000C QQ C QD.000Q C QC Q答案D【解 析】平 均 成 本 2,C QdC QCQ QC QC QQdQQ,由 于 C Q在0QQ处取最小值,可知000.Q C Q故选(D).5.下列矩阵中,与矩阵110011001相似的为111.011001A101.011001B111.010001C101.010001D答案:A解析:令110010001P则1110010001P1110111110010011010001001001120110110011010011001001001P AP选项为A6.设,A B为n阶矩阵,记r X为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则.Ar AABr A.Br ABAr A .,C r ABmax r Ar B.TTD r ABr A B答案:A解析:易知选项C错对于选项B举反例:取1 1001 112AB1则001 100,331 133BAA BA7.设随机变量X的概率密度 f x满足11fxfx，且 200.6f x dx，则0_P X(A)0.2；(B)0.3；(C)0.4；(D)0.6解由11fxfx知，概率密度 f x关于1x对称，故02P XP X，且00221P XPXP X，由于 20020.6PXf x dx，所以200.4P X，即00.2P X，故选项 A 正确8.设12,nXXX为取自于总体2,XN 的简单随机样本，令niiXnX11，2111()1niiSXXn，2211()niiSXXn，则下列选项正确的是_(A)n Xt nS；(B)1n Xt nS；(C)*n Xt nS；(D)*1n Xt nS解由于0,1XNn，)1()()1(221222nXXSnnii，且Xn与22(1)nS相互独立，由t分布的定义，得(1)n XXtnSSn，故选项 B 正确二、填空题9.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为_。答案43yx【解析】函数 f x的定义域为232240,2,2,yxyyxxx。令=0y,解得x=1,而 10,y故点(1,1)为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率 14,y故切线方程为43yx。10.2arcsin 1_.xxee222222222222arcsin 11,1=arcsin 1arcsin 1111arcsin 1tansin 111arcsin 11xxxxxxxeeeCtt dttttdttttttdtttCteeeC答案【解析】令t=e 则原式11.差分方程25xxyy的通解_.【答案】125xxyc2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111=22=5,2525,2,-2=5,=-52xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyyycyccccyc 【解析】由于，故原差分方程可化为即。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c为任意常数。12.函数 x满足 20,xxxxxxxx 且 02,则 1_.答案 12.e【解析】2,=2xxxxxxxxx 由可知可微 且。这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为 2;xxce再由 02,可得2c。故 22,12xxee。13.设A为3阶 矩 阵,123,为 线 性 无 关 的 向 量 组,若112322332322,AAA，,可得123123200,111121A 。由于123,线性无关,故200111121A=B，从而有相同的特征值。因2200111223,121EB故A的实特征值为 2。14.设随机事件,A B C相互独立，且1()()()2P AP BP C，则()_P AC AB解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得 ()()()()()()()()()1 112 2.111 13222 2P AC ABP AC ABP ABP ACP AP BP ABP AP CP AP BP AP B三、解答题15.已知实数,a b,满足1lim2,xxaxb ex求a,b。答案1,1ab【解析】011,lim2,ttabt etxt令=可得0000111limlimlimlimttttttttabt eaeaebebttt其中可知0011lim2,lim,1ttttaeaebatt而要使得存在 必须有。01,lim=1=2,1.,1,1ttaebbtab此时 有故综上。16.设平面区域D由曲线23 1yx与直线3yx及y轴围成。计算二重积分2Dx dy。答案32.32【解析】2223 1222220303 13xxIdxx dyxxx dx2222322002222022244003 13,3 1,sin,3333sincossin 2288432xxdxx dxxxdxxtttdttdt其中对于令可化为而23420211333224163216320 x dxx，综上I=。17.将长为 2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.【解 析】设 分 成 的 三 段 分 别 为,x y z则 有2xyz 及x,y,z0，圆 的 面 积 为222222123222113113=,=+41636416361132,+41636SxSySzxyzxyzxyz，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S，则问题转化为在条件x,y,z0下,求函数的最小值。令222113+2,41636xyzxyzL=2=02 3234 39=088 3,34 393=0181834 39=203+12+9 3,34 39LxxxLyyyLzzxLxyz则有解得唯一条件极值点为，在该点的函数值即为最小值 最小值为18.已知201cos211,.1nnnnxa xxax 求答案222112222,0,1,2,;nnannn 22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。【解析】1-21+x将cos2x与展成幂级数可得 222001200212cos21,2!2!11111,1111nnnnnnnnnnnnnxxxxxnnxnxxxx 则222112222,0,1,2,;nnannn 22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。19.设数列nX满足:110,11,2,.nnxxnxx een证明nX收敛,并求lim.nnx证明:证明0nx,易证再证nX单减,由101,0,0nnnxxxnnneeeeexxx拉格朗日中值定理 1,limnnnnxxxxx单减有下界 由此得存在设lim,1AAnnxAAee则0A20.设实二次型2221231232313,fx xxxxxxxxax其中a是参数.(1)求123,0f x x x的解;(2)求123,f x x x的规范形.解析:(1)123,0f x x x而123231300,0 xxxxxxax由11110201101110002Aaa得当2a 时,3,r A 只有零解1230.xxx当2a 时,2,r A 方程有无穷多解,通解为12321,1xxxkkx为任意常数.(2)由(1)知,当2a 时A可逆,令112322333yxxxyxxyx,即YAX,则规范形为222123,fyyy当2a 时,2,r A 令112322333yxxxyxxyx,则222221212122132,22fyyyyyyy令112223312232zyyzyzy,则得规范形为2212.fz z21.已知a是常数,且矩阵1213027aAa可经初等变换化为矩阵12011111aB(1)求a;(2)求满足APB的可逆矩阵P.解析:(1)A经过初等列变换化为B 121212130010127033000r Ar BaaaAaaaa 22121212011011011111013002r Ar BaaaBaa 由得a=2.(2)令1123123,PXXXBb b b1123123123,=1 2 3122122122122130011012111272111036333122122106344012111012111000000000000iiAPA XXXAXAXAXb b bAXbiA B，111111112222222233336363b=2121,106464b=2121,10646b=2110kAXXkkkkkAXXkkkkAXXk 的通解为为任意常数的通解为为任意常数的通解为3333421,kkkk为任意常数1231123123123123112332123636464=212121(,)636464=212121=kkkPkkkk k kkkkkkkPkkkkkkkk，其中为任意常数，当23kk时,1P可逆,取可逆矩阵123123123123636464=212121(,)kkkPkkkkkkkkk，为任意常数，使得AP=B.22.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为1112PXPX，Y服从参数为的泊松分布 P 令ZX Y，求（1）,C ov X Z；（2）Z的概率分布解（1）由题意，知 1111022EX，2221111122EX，则 221DXEXEX，且 E Y于是，由协方差计算公式，得 222,.C ov X ZC ov X X YEX YEXEX YEXE YEXE YE YDX（2）随机变量ZX Y的取值为0,1,2,，则0001,01,0101011,20!20!P ZPXYPXYPXP YPXP Yeee 1,11,2!kP ZkPXYkPXP Ykek同理，1,11,2!kP ZkPXYkPXP Ykek 其中，1,2,k23.总体X的概率密度为1,2xf xe，（x ）其中0,为未知参数，12,nXXX为取自于总体X的简单随机样本记的最大似然估计量为，求（1）；（2）,ED解（1）构造似然函数 111,11,22niiiniixxnnniLf xee方程两边取自然对数，得 1l nl n 2niixLn，求上述方程的驻点，得 12l n0niixdLnd，即最大似然估计量为1niiXn（2）由期望的公式，得0,12122xxEXxf xdxxedxxedx，同理，222220220,1212212,xxxEXEXxf xdxxedxxedxxedx由方差的公式，得222DXEXEX，则 1niiXEEEXn，211niiXDDDXnnn
