2017年江苏省连云港市中考数学试题及答案.pdf

第 1 页（共 2 7 页）2 0 1 7 年江 苏省 连云 港市 中考 数学 试卷一、选择 题：本大 题共 8 小题，每小 题 3 分，共 2 4 分，在每 小题 给出的 四个 选项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 正 确 选 项 前 的 字 母 代 号 填 涂 在 答 题 卡相应 位置 上1（3 分）2 的绝对值是（）A 2 B 2 C D 2（3 分）计算 a a2的结果是（）A a B a2C 2 a2D a33（3 分）小广、小娇分别统计了自己近 5 次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（）A 方差 B 平均数 C 众数 D 中位数4（3 分）如图，已知A B C D E F，A B：D E=1：2，则下列等式一定成立的是（）A=B=C=D=5（3 分）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（）A 三个视图的面积一样大 B 主视图的面积最小C 左视图的面积最小 D 俯视图的面积最小6（3 分）关于 的叙述正确的是（）第 2 页（共 2 7 页）A 在数轴上不存在表示 的点 B=+C=2 D 与 最接近的整数是 37（3 分）已知抛物线 y=a x2（a 0）过 A（2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A y10 y2B y20 y1C y1y20 D y2y108（3 分）如 图 所 示，一 动 点 从 半 径 为 2 的 O 上 的 A0点 出 发，沿 着 射 线 A0O方向运动到O 上的点 A1处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 6 0 的方向运动到 O 上的点 A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线 A2O 方向运动到O 上的点 A3处，再向右沿着与射线 A3O 夹角为 6 0 的方向运动到 O 上的点 A4处；按此规律运动到点 A2 0 1 7处，则点 A2 0 1 7与点 A0间的距离是（）A 4 B 2 C 2 D 0二、填空 题：本 大题 共 8 小题，每 小题 3 分，共 2 4 分，不需 要写出 解答 过程，请把 答案 直接填 写在 答题卡 相应位 置上 9（3 分）分式 有意义的 x 的取值范围为 1 0（3 分）计算（a 2）（a+2）=1 1（3 分）截 至 今 年 4 月 底，连 云 港 市 中 哈 物 流 合 作 基 地 累计 完 成 货 物 进、出场量 6 8 0 0 0 0 0 吨，数据 6 8 0 0 0 0 0 用科学记数法可表示为 1 2（3 分）已 知 关 于 x 的 方 程 x2 2 x+m=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，则 m 的 值是 1 3（3 分）如图，在 A B C D 中，A E B C 于点 E，A F C D 于点 F 若E A F=5 6，则B=第 3 页（共 2 7 页）1 4（3 分）如图，线段 A B 与O 相切于点 B，线段 A O 与O 相交于点 C，A B=1 2，A C=8，则O 的半径长为 1 5（3 分）设函数 y=与 y=2 x 6 的图象的交点坐标为（a，b），则+的值是 1 6（3 分）如图，已 知等边 三角 形 O A B 与反 比例 函数 y=（k 0，x 0）的 图象交于 A、B 两点，将O A B 沿直线 O B 翻折，得到O C B，点 A 的对应点为点 C，线段 C B 交 x 轴于点 D，则 的值为（已知 s i n 1 5=）三、解答 题：本大 题共 1 1 小题，共 1 0 2 分，请在 答题 卡指定 区域 内作答，解答时应 写出 必要的 文字 说明、证明过 程或 演算步 骤1 7（6 分）计算：（1）+（3.1 4）01 8（6 分）化简：1 9（6 分）解不等式组：2 0（8 分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛 已知每幅参赛作品成绩记为 x第 4 页（共 2 7 页）分（6 0 x 1 0 0）校 方从 6 0 0 幅参 赛作品 中随 机抽取 了部分 参赛作 品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表分数段 频数 频率6 0 x 7 0 1 8 0.3 67 0 x 8 0 1 7 c8 0 x 9 0 a 0.2 49 0 x 1 0 0 b 0.0 6合计 1根据以上信息解答下列问题：（1）统计表中 c 的值为；样本成绩的中位数落在分数段 中；（2）补全频数分布直方图；（3）若 8 0 分以上（含 8 0 分）的 作品将被 组织展评，试估计全 校被展评 作品数量是多少？2 1（1 0 分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按 A，B，C 三类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收垃圾 甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率2 2（1 0 分）如图，已知等腰三角形 A B C 中，A B=A C，点 D、E 分别在边 A B、A C上，且 A D=A E，连接 B E、C D，交于点 F（1）判断A B E 与A C D 的数量关系，并说明理由；第 5 页（共 2 7 页）（2）求证：过点 A、F 的直线垂直平分线段 B C 2 3（1 0 分）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，过点 A（2，0）的直线交 y 轴正半轴于点 B，将直线 A B 绕着点 O 顺时针旋转 9 0 后，分别与 x 轴、y 轴交于 点D、C（1）若 O B=4，求直线 A B 的函数关系式；（2）连接 B D，若A B D 的面积是 5，求点 B 的运动路径长2 4（1 0 分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接 销 售，且 当天 都 能 销 售 完，直 接 销 售是 4 0 元/斤，加 工 销 售是 1 3 0 元/斤（不计损耗）已知基地雇佣 2 0 名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘 7 0 斤或加工 3 5 斤 设安排 x 名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓（1）若基地一天的总销售收入为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值2 5（1 0 分）如图，湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C 已知 A B=1 4 0 0 米，A C=1 0 0 0米，B 点位于 A 点的南偏西 6 0.7 方向，C 点位于 A 点的南偏东 6 6.1 方向（1）求A B C 的面积；（2）景区规划在线段 B C 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 A D 试求 A、D 间的距离（结果精确到 0.1 米）（参考 数据：s i n 5 3.2 0.8 0，c o s 5 3.2 0.6 0，s i n 6 0.7 0.8 7，c o s 6 0.7 0.4 9，第 6 页（共 2 7 页）s i n 6 6.1 0.9 1，c o s 6 6.1 0.4 1，1.4 1 4）2 6（1 2 分）如图，已知二次函数 y=a x2+b x+3（a 0）的图象经过点 A（3，0），B（4，1），且与 y 轴交于点 C，连接 A B、A C、B C（1）求此二次函数的关系式；（2）判断 A B C 的形状；若 A B C 的外接 圆记为 M，请直 接写出圆 心 M 的坐标；（3）若 将 抛 物 线 沿 射 线 B A 方 向 平 移，平 移 后 点 A、B、C 的 对 应 点 分 别 记 为 点A1、B1、C1，A1B1C1的外接圆记为M1，是否存在某个位置，使M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由2 7（1 4 分）问题呈现：如图 1，点 E、F、G、H 分别在矩形 A B C D 的边 A B、B C、C D、D A 上，A E=D G，求证：2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D（S 表示面积）实验探究：某 数 学 实 验 小 组 发 现：若 图 1 中 A H B F，点 G 在 C D 上 移 动 时，上 述 结 论 会 发生变化，分别过点 E、G 作 B C 边的平行线，再分别过点 F、H 作 A B 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1、B1、C1、D1，得到矩形 A1B1C1D1如图 2，当 A H B F 时，若将点 G 向点 C 靠近（D G A E），经过探索，发现：2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D+S 第 7 页（共 2 7 页）如图 3，当 A H B F 时，若将点 G 向点 D 靠近（D G A E），请探索 S四边形 E F G H、S矩形 A B C D与 S 之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如 图 4，点 E、F、G、H 分 别 是 面 积 为 2 5 的 正 方 形 A B C D 各 边 上 的 点，已知 A H B F，A E D G，S四边形 E F G H=1 1，H F=，求 E G 的长（2）如图 5，在矩形 A B C D 中，A B=3，A D=5，点 E、H 分别在边 A B、A D 上，B E=1，D H=2，点 F、G 分别是边 B C、C D 上的动点，且 F G=，连接 E F、H G，请直接写出四边形 E F G H 面积的最大值第 8 页（共 2 7 页）2 0 1 7 年 江 苏 省 连 云 港 市 中 考 数 学 试 卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选择 题：本大 题共 8 小题，每小 题 3 分，共 2 4 分，在每 小题 给出的 四个 选项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 正 确 选 项 前 的 字 母 代 号 填 涂 在 答 题 卡相应 位置 上1（3 分）2 的绝对值是（）A 2 B 2 C D【解答】解：2 的绝对值是 2 故选：B 2（3 分）计算 a a2的结果是（）A a B a2C 2 a2D a3【解答】解：a a2=a3，故选：D 3（3 分）小广、小娇分别统计了自己近 5 次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（）A 方差 B 平均数 C 众数 D 中位数【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差故选：A 4（3 分）如图，已知A B C D E F，A B：D E=1：2，则下列等式一定成立的是（）A=B=第 9 页（共 2 7 页）C=D=【解答】解：A B C D E F，=，A 不一定成立；=1，B 不成立；=，C 不成立；=，D 成立，故选：D 5（3 分）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（）A 三个视图的面积一样大 B 主视图的面积最小C 左视图的面积最小 D 俯视图的面积最小【解答】解：主视图有 5 个小正方形，左视图有 3 个小正方形，俯视图有 4 个小正方形，因此左视图的面积最小故选：C 6（3 分）关于 的叙述正确的是（）A 在数轴上不存在表示 的点 B=+C=2 D 与 最接近的整数是 3【解答】解：A、在数轴上存在表示 的点，故选项错误；B、+，故选项错误；C、=2，故选项错误；D、与 最接近的整数是 3，故选项正确第 1 0 页（共 2 7 页）故选：D 7（3 分）已知抛物线 y=a x2（a 0）过 A（2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A y10 y2B y20 y1C y1y20 D y2y10【解答】解：抛物线 y=a x2（a 0），A（2，y1）关于 y 轴对称点的坐标为（2，y1）又a 0，0 1 2，y2y1故选：C 8（3 分）如 图 所 示，一 动 点 从 半 径 为 2 的 O 上 的 A0点 出 发，沿 着 射 线 A0O方向运动到O 上的点 A1处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 6 0 的方向运动到 O 上的点 A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线 A2O 方向运动到O 上的点 A3处，再向右沿着与射线 A3O 夹角为 6 0 的方向运动到 O 上的点 A4处；按此规律运动到点 A2 0 1 7处，则点 A2 0 1 7与点 A0间的距离是（）A 4 B 2 C 2 D 0【解答】解：如图，O 的半径=2，由题意得，A0A1=4，A0A2=2，A0A3=2，A0A4=2，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，2 0 1 7 6=3 3 6 1，按此规律运动到点 A2 0 1 7处，A2 0 1 7与 A1重合，A0A2 0 1 7=2 R=4 故选 A 第 1 1 页（共 2 7 页）二、填空 题：本 大题 共 8 小题，每 小题 3 分，共 2 4 分，不需 要写出 解答 过程，请把 答案 直接填 写在 答题卡 相应位 置上 9（3 分）分式 有意义的 x 的取值范围为 x 1【解答】解：当分母 x 1 0，即 x 1 时，分式 有意义故答案是：x 1 1 0（3 分）计算（a 2）（a+2）=a24【解答】解：（a 2）（a+2）=a2 4，故答案为：a24 1 1（3 分）截 至 今 年 4 月 底，连 云 港 市 中 哈 物 流 合 作 基 地 累计 完 成 货 物 进、出场量 6 8 0 0 0 0 0 吨，数据 6 8 0 0 0 0 0 用科学记数法可表示为 6.8 1 06【解答】解：将 6 8 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为：6.8 1 06故答案为：6.8 1 061 2（3 分）已 知 关 于 x 的 方 程 x2 2 x+m=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，则 m 的 值 是1【解答】解：关于 x 的方程 x22 x+m=0 有两个相等的实数根，=（2）24 m=4 4 m=0，解得：m=1 故答案为：1 第 1 2 页（共 2 7 页）1 3（3 分）如图，在 A B C D 中，A E B C 于点 E，A F C D 于点 F 若E A F=5 6，则B=5 6【解答】解：A E B C，A F C D，A E C=A F C=9 0，在 四 边 形 A E C F 中，C=3 6 0 E A F A E C A F C=3 6 0 5 6 9 0 9 0=1 2 4，在 A B C D 中，B=1 8 0 C=1 8 0 1 2 4=5 6 故答案为：5 6 1 4（3 分）如图，线段 A B 与O 相切于点 B，线段 A O 与O 相交于点 C，A B=1 2，A C=8，则O 的半径长为 5【解答】解：连接 O B，A B 切O 于 B，O B A B，A B O=9 0，设O 的半径长为 r，由勾股定理得：r2+1 22=（8+r）2，解得 r=5 故答案为：5 第 1 3 页（共 2 7 页）1 5（3 分）设函数 y=与 y=2 x 6 的图象的交点坐标为（a，b），则+的值是 2【解答】解：函数 y=与 y=2 x 6 的图象的交点坐标是（a，b），将 x=a，y=b 代入反比例解析式得：b=，即 a b=3，代入一次函数解析式得：b=2 a 6，即 2 a+b=6，则+=2，故答案为：2 1 6（3 分）如图，已 知等边 三角 形 O A B 与反 比例 函数 y=（k 0，x 0）的 图象交于 A、B 两点，将O A B 沿直线 O B 翻折，得到O C B，点 A 的对应点为点 C，线段 C B 交 x 轴于点 D，则 的值为（已知 s i n 1 5=）【解答】解：解法一：过 O 作 O M A B 于 M，A O B 是等边三角形，A M=B M，A O M=B O M=3 0，A、B 关于直线 O M 对称，A、B 两 点 在 反 比例 函 数 y=（k 0，x 0）的 图 象 上，且 反 比 例 函 数 关 于直第 1 4 页（共 2 7 页）线 y=x 对称，直线 O M 的解析式为：y=x，B O D=4 5 3 0=1 5，设等边三角形 A O B 的边长为 x，过 B 作 B F x 轴于 F，过 C 作 C N x 轴于 N，s i n B O D=s i n 1 5=，B F=B O C=6 0，B O D=1 5，C O N=4 5，C N O 是等腰直角三角形，C N=，B F x 轴，C N x 轴，B F C N，B D F C D N，=，故答案为：解法二：如图，过 O 作 O M A B 于 M，A O B 是等边三角形，A M=B M，A O M=B O M=3 0，A、B 关于直线 O M 对称，A、B 两 点 在 反 比例 函 数 y=（k 0，x 0）的 图 象 上，且 反 比 例 函 数 关 于直线 y=x 对称，直线 O M 的解析式为：y=x，B O D=4 5 3 0=1 5，过 B 作 B F x 轴于 F，过 C 作 C N x 轴于 N，第 1 5 页（共 2 7 页）s i n B O D=s i n 1 5=，B O C=6 0，B O D=1 5，C O N=4 5，C N O 是等腰直角三角形，C N=O N，设 C N=x，则 O C=x，O B=x，=，B F=，B F x 轴，C N x 轴，B F C N，B D F C D N，=，故答案为：三、解答 题：本大 题共 1 1 小题，共 1 0 2 分，请在 答题 卡指定 区域 内作答，解答时应 写出 必要的 文字 说明、证明过 程或 演算步 骤1 7（6 分）计算：（1）+（3.1 4）0【解答】解：原式=1 2+1=0 第 1 6 页（共 2 7 页）1 8（6 分）化简：【解答】解：原式=1 9（6 分）解不等式组：【解答】解：解不等式3 x+1 4，得：x 1，解不等式 3 x 2（x 1）6，得：x 4，不等式组的解集为1 x 4 2 0（8 分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛 已知每幅参赛作品成绩记为 x分（6 0 x 1 0 0）校 方从 6 0 0 幅参 赛作品 中随 机抽取 了部分 参赛作 品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表分数段 频数 频率6 0 x 7 0 1 8 0.3 67 0 x 8 0 1 7 c8 0 x 9 0 a 0.2 49 0 x 1 0 0 b 0.0 6合计 1根据以上信息解答下列问题：（1）统 计 表 中 c 的 值 为 0.3 4；样 本 成 绩 的 中 位 数 落 在 分 数 段 7 0 x 8 0中；（2）补全频数分布直方图；（3）若 8 0 分以上（含 8 0 分）的 作品将被 组织展评，试估计全 校被展评 作品数量是多少？第 1 7 页（共 2 7 页）【解答】解：（1）本次调查的作品总数为 1 8 0.3 6=5 0（幅），则 c=1 7 5 0=0.3 4，a=5 0 0.2 4=1 2，b=5 0 0.0 6=3，其中位数为第 2 5、2 6 个数的平均数，中位数落在 7 0 x 8 0 中，故答案为：0.3 4，7 0 x 8 0；（2）补全图形如下：（3）6 0 0（0.2 4+0.0 6）=1 8 0（幅），答：估计全校被展评作品数量是 1 8 0 幅2 1（1 0 分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按 A，B，C 三类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收垃圾 甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率第 1 8 页（共 2 7 页）【解答】解：（1）垃圾要按 A，B，C 三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率为：；（2）如图所示：，由图 可知，共 有 1 8 种可 能结果，其中乙 投放的垃 圾恰有 一袋与 甲投放的 垃圾是同类的结果有 1 2 种，所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）=；即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是：2 2（1 0 分）如图，已知等腰三角形 A B C 中，A B=A C，点 D、E 分别在边 A B、A C上，且 A D=A E，连接 B E、C D，交于点 F（1）判断A B E 与A C D 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点 A、F 的直线垂直平分线段 B C【解答】解：（1）A B E=A C D；在A B E 和A C D 中，A B E A C D，A B E=A C D；第 1 9 页（共 2 7 页）（2）连接 A F A B=A C，A B C=A C B，由（1）可知A B E=A C D，F B C=F C B，F B=F C，A B=A C，点 A、F 均在线段 B C 的垂直平分线上，即直线 A F 垂直平分线段 B C 2 3（1 0 分）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，过点 A（2，0）的直线交 y 轴正半轴于点 B，将直线 A B 绕着点 O 顺时针旋转 9 0 后，分别与 x 轴、y 轴交于 点D、C（1）若 O B=4，求直线 A B 的函数关系式；（2）连接 B D，若A B D 的面积是 5，求点 B 的运动路径长【解答】解：（1）O B=4，B（0，4）A（2，0），设直线 A B 的解析式为 y=k x+b，第 2 0 页（共 2 7 页）则，解得，直线 A B 的解析式为 y=2 x+4；（2）设 O B=m，则 A D=m+2，A B D 的面积是 5，A D O B=5，（m+2）m=5，即 m2+2 m 1 0=0，解得 m=1+或 m=1（舍去），B O D=9 0，点 B 的运动路径长为：2（1+）=2 4（1 0 分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接 销 售，且 当天 都 能 销 售 完，直 接 销 售是 4 0 元/斤，加 工 销 售是 1 3 0 元/斤（不计损耗）已知基地雇佣 2 0 名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘 7 0 斤或加工 3 5 斤 设安排 x 名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓（1）若基地一天的总销售收入为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值【解答】解：（1）根据题意得：y=7 0 x（2 0 x）3 5 4 0+（2 0 x）3 5 1 3 0=3 5 0 x+6 3 0 0 0 答：y 与 x 的函数关系式为 y=3 5 0 x+6 3 0 0 0（2）7 0 x 3 5（2 0 x），x x 为正整数，且 x 2 0，7 x 2 0 y=3 5 0 x+6 3 0 0 0 中 k=3 5 0 0，y 的值随 x 的值增大而减小，第 2 1 页（共 2 7 页）当 x=7 时，y 取最大值，最大值为3 5 0 7+6 3 0 0 0=6 0 5 5 0 答：安 排 7 名 工 人 进 行 采 摘，1 3 名 工 人 进 行 加 工，才 能 使 一 天 的 收 入 最 大，最大收入为 6 0 5 5 0 元2 5（1 0 分）如图，湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C 已知 A B=1 4 0 0 米，A C=1 0 0 0米，B 点位于 A 点的南偏西 6 0.7 方向，C 点位于 A 点的南偏东 6 6.1 方向（1）求A B C 的面积；（2）景区规划在线段 B C 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 A D 试求 A、D 间的距离（结果精确到 0.1 米）（参考 数据：s i n 5 3.2 0.8 0，c o s 5 3.2 0.6 0，s i n 6 0.7 0.8 7，c o s 6 0.7 0.4 9，s i n 6 6.1 0.9 1，c o s 6 6.1 0.4 1，1.4 1 4）【解答】解：（1）作 C E B A 于 E 在 R t A E C 中，C A E=1 8 0 6 0.7 6 6.1=5 3.2，C E=A C s i n 5 3.2 1 0 0 0 0.8=8 0 0 米S A B C=A B C E=1 4 0 0 8 0 0=5 6 0 0 0 0 平方米（2）连接 A D，作 D F A B 于 F，则 D F C E B D=C D，D F C E，B F=E F，D F=C E=4 0 0 米，A E=A C c o s 5 3.2 6 0 0 米，B E=A B+A E=2 0 0 0 米，A F=E B A E=4 0 0 米，在 R t A D F 中，A D=4 0 0=5 6 5.6 米第 2 2 页（共 2 7 页）2 6（1 2 分）如图，已知二次函数 y=a x2+b x+3（a 0）的图象经过点 A（3，0），B（4，1），且与 y 轴交于点 C，连接 A B、A C、B C（1）求此二次函数的关系式；（2）判断 A B C 的形状；若 A B C 的外接 圆记为 M，请直 接写出圆 心 M 的坐标；（3）若 将 抛 物 线 沿 射 线 B A 方 向 平 移，平 移 后 点 A、B、C 的 对 应 点 分 别 记 为 点A1、B1、C1，A1B1C1的外接圆记为M1，是否存在某个位置，使M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把点 A（3，0），B（4，1）代入 y=a x2+b x+3 中，解得：，所以所求函数关系式为：y=x2 x+3；（2）A B C 是直角三角形，第 2 3 页（共 2 7 页）过点 B 作 B D x 轴于点 D，易知点 C 坐标为：（0，3），所以 O A=O C，所以O A C=4 5，又点 B 坐标为：（4，1），A D=B D，D A B=4 5，B A C=1 8 0 4 5 4 5=9 0，A B C 是直角三角形，圆心 M 的坐标为：（2，2）；（3）存在取 B C 的中点 M，过点 M 作 M E y 轴于点 E，M 的坐标为：（2，2），M C=，O M=2，M O A=4 5，又B A D=4 5，O M A B，要使抛物线沿射线 B A 方向平移，且使M1经过原点，则平移的长度为：2 或 2+；B A D=4 5，抛物线的顶点向左、向下均分别平移=个单位长度或=个单位长度，y=x2 x+3=（x）2，平移后抛物线的关系式为：y=（x+）2，即 y=（x）2，或 y=（x+）2，即 y=（x）2 第 2 4 页（共 2 7 页）综上所述，存在一个位置，使M1经过原点，此时抛物线的关系式为：y=（x）2 或 y=（x）2 2 7（1 4 分）问题呈现：如图 1，点 E、F、G、H 分别在矩形 A B C D 的边 A B、B C、C D、D A 上，A E=D G，求证：2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D（S 表示面积）实验探究：某 数 学 实 验 小 组 发 现：若 图 1 中 A H B F，点 G 在 C D 上 移 动 时，上 述 结 论 会 发生变化，分别过点 E、G 作 B C 边的平行线，再分别过点 F、H 作 A B 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1、B1、C1、D1，得到矩形 A1B1C1D1如图 2，当 A H B F 时，若将点 G 向点 C 靠近（D G A E），经过探索，发现：2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D+S 如图 3，当 A H B F 时，若将点 G 向点 D 靠近（D G A E），请探索 S四边形 E F G H、S矩形 A B C D与 S 之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如 图 4，点 E、F、G、H 分 别 是 面 积 为 2 5 的 正 方 形 A B C D 各 边 上 的 点，已知 A H B F，A E D G，S四边形 E F G H=1 1，H F=，求 E G 的长（2）如图 5，在矩形 A B C D 中，A B=3，A D=5，点 E、H 分别在边 A B、A D 上，B E=1，D H=2，点 F、G 分别是边 B C、C D 上的动点，且 F G=，连接 E F、H G，请直接写出四边形 E F G H 面积的最大值第 2 5 页（共 2 7 页）【解答】问题呈现：证明：如图 1 中，四边形 A B C D 是矩形，A B C D，A=9 0，A E=D G，四边形 A E G D 是矩形，S H G E=S矩形 A E G D，同理 S E G F=S矩形 B E G C，S四边形 E F G H=S H G E+S E F G=S矩形 A B C D实验探究：结论：2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D 理由：=，=，=，=，第 2 6 页（共 2 7 页）S四边形 E F G H=+，2 S四边形 E F G H=2+2+2+2 2，2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D 迁移应用：解：（1）如图 4 中，2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D=2 5 2 1 1=3=A1B1 A1D1，正方形的面积为 2 5，边长为 5，A1D12=H F252=2 9 2 5=4，A1D1=2，A1B1=，E G2=A1B12+52=，E G=（2）2 S四边形 E F G H=S矩形 A B C D+四边形 A1B1C1D1面积最大时，四边形 E F G H 的面积最大 如 图 5 1 中，当 G 与 C 重 合 时，四 边 形 A1B1C1D1面 积 最 大 时，四 边 形 E F G H的面积最大此时矩形 A1B1C1D1面积=1（2）=第 2 7 页（共 2 7 页）如 图 5 2 中，当 G 与 D 重 合 时，四 边 形 A1B1C1D1面 积 最 大 时，四 边 形 E F G H的面积最大此时矩形 A1B1C1D1面积=2 1=2，2 2，矩形 E F G H 的面积最大值=