2023高考一轮热题～导数压轴大题归类.pdf

1 0导 数 压 轴 大 题 归 类(1)【题 型 一】求 参 1:端 点 值 讨 论 型【典 例 分 析】设 函 数 f(x)=lnx-p(x-l),peR(1)当 p=l时，求 函 数 f(x)的 单 调 区 间;(2)设 函 数 g(x尸 xf(x)+p(2x?-x-1)对 任 意 xl都 有 g(x)40成 立，求 p 的 取 值 范 围。【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.端 点 赋 值 法(函 数 一 般 为 单 增 或 者 单 减，此 时 端 点，特 别 是 左 端 点 起 着 至 关 重 要 的 作 用)2.为 了 简 化 讨 论，当 端 点 值 是 闭 区 间 时 候，代 入 限 制 参 数 讨 论 范 围。注 意，开 区 间 不 一 定 是 充 分 条 件。有 时 候 端 点 值 能 限 制 讨 论 范 围，可 以 去 除 不 必 要 讨 论。如 练 习 2【变 式 演 练】1.试 卷 若 函 数“X)的 反 函 数 记 为 尸(X),已 知 函 数/(x)=e*.设 函 数 尸(x)=/T(x)-“X),试 判 断 函 数 尸(X)的 极 值 点 个 数；(2)当 xw 0,y 时，/(x卜 sinxAx,求 实 数 上 的 取 值 范 围.2.设 函 数/(x)=(x2-2ax)lnx+bx2,a,beR.(1)当 a=l,b=-l 时,设 g(无)=(x-l)21nx+无，求 证：对 任 意 的 xl,g(x)-f(x)x2+x+e-e2；(2)当=2 时，若 对 任 意 x e l,+8),不 等 式 2/(外 3/+。恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【题 型 二】求 参 2：“存 在”型【典 例 分 析】设 函 数/(力=4 m%+一%2一(0 7 1),曲 线 y=/(x)在 点(1,/)处 的 切 线 斜 率 为 0(1)求 b；(II)若 存 在 X。1,使 得/(/)涓，求 a 的 取 值 范 围。【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.当 不 能 分 离 参 数 时 候，要 移 项 分 类 讨 论。2.确 定 是 最 大 值 还 是 最 小 值。【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(x)=x3-ax2+10.(I)当 a=l时，求 曲 线 y=/(x)在 点(2,/(2)处 的 切 线 方 程；(H)在 区 间 1,2 内 至 少 存 在 一 个 实 数 X,使 得/(x)0成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.2.记 maxm,n)表 示 中 的 最 大 值，如 max3,V10=V10.已 知 函 数/(x)=max%2-1,2 In x),g(x)=maxx+lnx,-x2+(a2)x+2a2+4a.(1)设/z(x)=/(x)3(x g)(x l)2,求 函 数/i(x)在(0,1 上 零 点 的 个 数；3(2)试 探 究 是 否 存 在 实 数 a G(-2,+8),使 得 g(x)+44 对 x e(a+2,+o。)恒 成 立？若 存 在，求 a 的 取 值 范 围;若 不 存 在，说 明 理 由.【题 型 三】求 参 3：“恒 成 立”型【典 例 分 析】已 知 函 数/(x)=(2-a)lnx+：+2ax.(1)当 a=0时，求 函 数 的 极 值；(2)当 a|/(石)一 八%2)1成 立，求 实 数 t的 取 值 范 围.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.注 意 是 同 一 变 量 还 是 不 同 变 量。2.各 自 对 应 的 是 最 大 值 还 是 最 小 值。3.一 般 地，已 知 函 数 y=f(x),x w a,b,y=g(x),xec,rf(1)若 司，$卜/,总 有/a)g(x2)成 立，故 力 皿*g(%)1n(2)若 我。,可,Sx2 ec,d,有/(不)8(%)成 立，故/(x)g g(苍 L；(3)若 马 平,可,玉 2C,d,有 f()g(X2)成 立，故/(x)1ni n。时，试 讨 论 函 数/Xx)的 单 调 性；(3)若 对 任 意 m e(1,V2),存 在 x e(3,4,使 得 不 等 式/(x)a(m-m2)+2m(ln4-1)成 立，求 实 数 a的 取 值 范 围.【题 型 四】求 参 4：分 离 参 数 之“洛 必 达 法 则”【典 例 分 析】设 函 数/(x)=-二 m-(!)求/(x)的 单 调 区 间；2+cos x(H)如 果 对 任 何 x O,都 有/(x)W a i,求。的 取 值 范 围.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.若 分 离 参 数 后，所 求 最 值 恰 好 在“断 点 处”，则 可 以 通 过 洛 必 达 法 则 求 出“最 值”2.注 意“断 点”是 在 端 点 处 还 是 区 间 分 界 处。【变 式 演 练】1.设 函 数/(x)=三 一 lnx+ln(x+l).1+x 求/(x)的 单 调 区 间 和 极 值；是 否 存 在 实 数 a,使 得 关 于 x 的 不 等 式 的 解 集 为(0,+8)?若 存 在,求 a 的 取 值 范 围；若 不 存 在,试 说 明 理 由.2.已 知 函 数 f(x)=e曲 线 y=f(x)在 点(x,yo)处 的 切 线 为 y=g(x).(1)证 明：对 于 V x e R,f(x)g(x);(2)当 x N O 时，f(x)Nl+二,恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围。1+X【题 型 五】同 构 求 参 5：绝 对 值 同 构 求 参 型【典 例 分 析】已 知 函 数 于(公=(a+1)In+a?+1(J)讨 论 函 数 于(x)的 单 调 性;(I I)设 a 4|x,-x2|,求 a 的 取 值 范 围。【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.含 绝 对 值 型，大 多 数 都 是 有 单 调 性 的，所 以 可 以 通 过 讨 论 去 掉 绝 对 值。2.去 掉 绝 对 值，可 以 通 过“同 构”重 新 构 造 函 数。【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(x)=g 2-(a+l)x+nx 其 中 a 0.(I)讨 论 函 数/(x)的 单 调 性；(II)若。1,证 明：对 任 意 玉,龙 2 6(1,+8)(%/%,)，总 有 1(耳/(；2)1 1axx-a x1|22.已 知 x)=；.求/(x)的 单 调 区 间；令 g(x)=a？-2 1 n x,则 g(x)=l时 有 两 个 不 同 的 根,求 a 的 取 值 范 围;存 在%1,+8)且%彳 2，使|/(4)-/(%)|1|1呻 一 上 司 成 立，求 出 的 取 值 范 围.【题 型 六】同 构 求 参 6:X I与 X2构 造 新 函 数 型【典 例 分 析】已 知 函 数 f(x)=1x2-a x+(a-l)l n x,(1)讨 论 函 数/(x)的 单 调 性;(2)证 明：若。1。【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.含 有 xl和 x2型，大 多 数 可 以 考 虑 变 换 结 构 相 同，构 造 函 数 解 决。2.可 以 利 用 第 一 问 的 某 些 结 论 或 者 函 数 结 构 寻 找 构 造 的 函 数 特 征。【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(%)=以 2-(a+2)x+lnx.(1)当 a 0 时，若/(x)在 区 间 l,e 上 的 最 小 值 为-2,求 a 的 取 值 范 围；(2)若 对 任 意 尤,工 2 e(0,+8),X1，且/(%)+2%2x2恒 成 立(其 中 与 e R,0).【题 型 七】零 点 型【典 例 分 析】已 知 函 数/(工)=吧 In 二 JC，g(x)=x(lnx-n)x.(e/?)(I)求 y=/(x)的 最 大 值;x 2d i)若“=1,判 断 y=g(x)的 单 调 性；(in)若 y=g(x)有 两 个 零 点，求。的 取 值 范 围.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 已 知 函 数 有 零 点 求 参 数 取 值 范 围 常 用 的 方 法 和 思 路(1)移 项 讨 论 法(找 点 或 者 极 限 法)：直 接 根 据 题 设 条 件 构 建 关 于 参 数 的 不 等 式，再 通 过 解 不 等 式 确 定 参 数 范 围;(2)分 离 参 数(回 避 找 点)：先 将 参 数 分 离，转 化 成 求 函 数 值 域 问 题 加 以 解 决；(3)分 离 函 数 法：先 对 解 析 式 变 形，在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中，画 出 函 数 的 图 象，然 后 数 形 结 合 求 解.【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(x)=sin2x-|ln(l+x)|,g(x)=sin2x-x.求 证：g(x)在 区 间(0,?上 无 零 点；(2)求 证：/(x)有 且 仅 有 2 个 零 点.2.已 知 函 数/(%)=|ax3+|bx2+ex.(1)若 函 数 f(x)有 三 个 零 点%1，尤 2/3,且 与+乂 2+右=算 巧 巧=-1 2,求 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)若 尸(1)=?a,3a 2c 2b,试 问：导 函 数/(x)在 区 间(0,2)内 是 否 有 零 点，并 说 明 理 由.(3)在(2)的 条 件 下，若 导 函 数/Q)的 两 个 零 点 之 间 的 距 离 不 小 于 百，求 3的 取 值 范 围.【题 型 八】不 确 定 根 型【典 例 分 析】已 知 函 数/(%)=等.(1)求 函 数 f(x)在 1,+8)上 的 值 域；(2)若 Vx W 1,+8),lnx(lnx+4)W 2QX+4恒 成 立，求 实 数 a的 取 值 范 围.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 解 题 框 架：(1)导 函 数(主 要 是 一 阶 导 函 数)等 零 这 一 步，有 根 X。但 不 可 解。但 得 到 参 数 和 X。的 等 量 代 换 关 系。备 用(2)知 原 函 数 最 值 处 就 是 一 阶 导 函 数 的 零 点 处，可 代 入 虚 根 X。(3)利 用 X。与 参 数 互 化 得 关 系 式，先 消 掉 参 数，得 出 X。不 等 式，求 得 X。范 围。(4)再 代 入 参 数 和 X。互 化 式 中 求 得 参 数 范 围。【变 式 演 练】1.已 知 函 数 f(x)=e*+-1)2,gx)=|x2+2x-Inx(1)求 函 数/(x)的 最 小 值；(2)当 a 0 时，对 任 意 x(0,+8)时，不 等 式 a/(x)2(a+l)g，(x)-a恒 成 立，求 a的 取 值 范 围.2(-)=02.已 知 函 数 f(x)=ax，bx2+cx的 导 函 数 为 h(x),f(x)的 图 像 在 点(-2,f(-2)处 的 切 线 方 程 为 3x-y+8=0,且 3又 函 数 g(x)=KXE”与 函 数 y=ln(x+1)的 图 像 在 原 点 处 有 相 同 的 切 线.(1)求 函 数 f(x)的 解 析 式 及 k 的 值.若 f(x)Wg(x)-m+x+1对 于 任 意 xE 0,+oo恒 成 立，求 m 的 取 值 范 围【题 型 九】取 整 讨 论 型【典 例 分 析】已 知 函 数/a)=m W(X 0).X(I)判 断 函 数/(X)在(0,+8)上 的 单 调 性；(H)若/(x)J 恒 成 立，求 整 数 人 的 最 大 值.x+1【提 分 秘 籍】基 本 规 律 讨 论 出 单 调 性，要 注 意 整 数 解 中 相 邻 两 个 整 数 点 函 数 的 符 号 问 题【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(x)=e*+ax-a,g(x)=2xex.(I)讨 论 函 数 y=f(x)的 单 调 性；(II)若 不 等 式 x)g(x)有 唯 一 正 整 数 解，求 实 数 a 的 取 值 范 围.2.已 知 函 数/0)=加-尤 2+桁(a,8eR),广 为 其 导 函 数，且 x=3时/(X)有 极 小 值-9.(1)求 f(x)的 单 调 递 减 区 间；(2)=2fnf(x)+(6m-8)x+6m+l,h(x)-mx,当?()时，对 于 任 意 x,g(x)和(x)的 值 至 少 有 一 个 是 正 数，求 实 数 2的 取 值 范 围；(3)若 不 等 式 _p(x)Z(xlnx 1)6x 4(左 为 正 整 数)对 任 意 正 实 数 x 恒 成 立，求 女 的 最 大 值.【题 型 十】证 明 不 等 式 1：基 础 型【典 例 分 析】设 函 数/(x)=lnx-x+.(1)讨 论/(x)的 单 调 性；(2)证 明 当 XC(1,+8)时，lzl l,证 明 当 xW(0,1)时，1+(c-1)xcv.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.移 项 最 值 大 于 0(小 于 0)证 明 法 2.变 形 证 明 新 恒 等 式 法。【变 式 演 练】1.设 函 数/(X)=3+一,X 0 J.证 明:1+X3 3(If(x)l-x+x2；(II)-Z(x)0 时，无 2 产【题 型 十 一】证 明 不 等 式 2：数 列 不 等 式 之 单 变 量 构 造 型【典 例 分 析】已 知 函 数/(x)=ln(x+a),8(彳)=/+尤,若 函 数 F(x)=/(x)-g(x)在 x=0 处 取 得 极 值.(1)求 实 数。的 值：(2)若 关 于 x 的 方 程 尸(x)+|x-相=0 在 区 间 0,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根，求 实 数 z的 取 值 范 围;(3)证 明：对 任 意 的 自 然 数 n,有 In(字)2 恒 成 立.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.适 当 的 选 择 式 子(字 母)为 变 量，构 造 函 数，通 过 单 调 性 最 值 等 等 可 得 不 等 式 关 系。2.注 意 区 分 本 专 题 三 道 题 自 变 量 的 选 取，授 课 时 可 以 多 种 选 择 同 时 展 开，分 析 不 同 选 择 时 的 计 算 量。【变 式 演 练】1.已 知 函 数”x)=，+lru.(1)求 函 数 的 单 调 区 间;(2)试 证 明：1+，e(e=2.718，n w N*).2.已 知 函 数/(幻=上 X(1)若 函 数 在 区 间 上 存 在 极 值，其 中 a 0,求 实 数 a 的 取 值 范 围;(2)如 果 当 xNl时，不 等 式/(幻 2 纪 恒 成 立，求 实 数 力 的 取 值 范 围；x+1(3)求 证：(+，(+1)/T(N*)。【题 型 十 二】证 明 不 等 式 3：数 列 不 等 式 之 无 限 求 和 型【典 例 分 析】已 知 函 数 f(x)=lnx+W,其 中 a 为 大 于 零 的 常 数。(1)若 函 数/1(X)在 区 间 工+8)内 调 递 增，求 aax的 取 值 范 围；(2)求 函 数/a)在 区 间 1,2 上 的 最 小 值。(3)求 证：对 于 任 意 的 eN*,且 1时，都 有 ln 4+1+成 立。2 3 n【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.一 侧 是“和”型，另 一 侧 则 较 简 单。2.根 据“和”型，寻 找 另 一 侧 的“裂 项 相 消”规 律。3.通 过 题 干 和 第 一 问 观 察 寻 找 可 以 相 消 的 不 等 式 恒 等 式。【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(幻=611%+0 一 1)/+1.(1)讨 论 函 数/5)的 单 调 性；(II)当。=1时，/(x)日 恒 成 立，求 实 数&的 取 值 范 围；(HI)证 明：In(+1)1+,+工+工(eN*).2 3 n3.已 知 函 数 尤）=111（1+巧+以 2（臼）.（I）讨 论 外）的 单 调 性；（II）证 明：1 1-1 八（eN*）J V/ln（n+l）l+-+-+-21n（n+l）2 3 n【题 型 十 三】证 明 不 等 式 4：构 造 单 变 量 函 数 型【典 例 分 析】设 函 数 f(x尸(l-mx)ln(l+x).(l)若 当 0 x(1001 1000.4 o1000【提 分 秘 籍】基 本 规 律 解 题 技 巧 是 构 造 辅 助 函 数，把 不 等 式 的 证 明 或 者 条 件，转 化 为 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 或 求 最 值，从 而 证 得，而 如 何 根 据 不 等 式 的 结 构 特 征 构 造 一 个 可 导 函 数 是 用 导 数 证 明 不 等 式 的 关 键。作 差 法 构 造，换 元 法 构 造，主 元 法 构 造，对 数 法 构 造，高 阶 求 导 和 端 点 值 回 归 法(过 去 较 多，文 科 较 多)【变 式 演 练】1.设 函 数/(x)=x-a(x+l)ln(x+l),(x-l,aNO)(I)求/(x)的 单 调 区 间；(II)当。=1 时，若 方 程 用=/在-上 有 两 个 实 数 解，求 实 数 t 的 取 值 范 围；(HI)证 明:当 mn0 时，(1+m)0).(I)若 x=l是 函 数/(x)的 一 个 极 值 点，求。的 值;X+1(n)若/(x)2 0在(),+8)上 恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围；(2015Y36 1(III)证 明：二 些 上(e为 自 然 对 数 的 底 数).12016；e【题 型 十 四】证 明 不 等 式 5：凑 配 主 元 型【典 例 分 析】已 知 函 数/(x)=ar 1 Inx(aeR).讨 论 函 数/(x)的 单 调 性；(2)讨 论 函 数/(%)的 零 点 个 数 问 题(3)当 x y e 1 时，证 明 不 等 式 e*ln(l+y)eln(l+x).【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1 双 2.结 构“怪 异”但 具 有 某 种 意 义 上 的“对 称”特 征【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(%)=%1111%(。1i).(1)当。=2 时，求 函 数/(%)的 单 调 区 间；(2)若 函 数/(x)在 x=l 处 取 得 极 值，对 x e(O,+8),y(x)N0 x-2恒 成 立，求 实 数 0 的 取 值 范 围;1 x-y ln(x+D(3)当%y e-1 时，求 证：e-ln(y+l)2.已 知 函 数/(x)=(axl)/,aeR.(1)讨 论/(x)的 单 调 区 间；(2)当 2 几。时,证 明：men+n n em+m.10导 数 压 轴 大 题 归 类(1)目 录【题 型 一】求 参 1:端 点 值 讨 论 型.1【题 型 二】求 参 2：“存 在”型.3【题 型 三】求 参 3：“恒 成 立”型.6【题 型 四】求 参 4：分 离 参 数 之“洛 必 达 法 则”.9【题 型 五】求 参 5：同 构 求 参.12【题 型 六】求 参 6：xl与 x2构 造 新 函 数.14【题 型 七】零 点 型.16【题 型 八】不 确 定 根 型.18【题 型 九】取 整 讨 论 型.20【题 型 十】证 明 不 等 式 1：基 础 型.23【题 型 十 一】证 明 不 等 式 2：数 列 不 等 式 之 单 变 量 构 造 型.24【题 型 十 二】证 明 不 等 式 3：数 列 不 等 式 之 无 限 求 和 型.27【题 型 十 三】证 明 不 等 式 4：构 造 单 变 量 函 数 型.29【题 型 十 四】证 明 不 等 式 5：凑 配 主 元.31【题 型 一】求 参 1：端 点 值 讨 论 型【典 例 分 析】设 函 数 f(x)=lnx-p(x-l),peR(1)当 p=l 时，求 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)设 函 数 g(x)=xf(x)+p(2x2-x-l)对 任 意 xN 1都 有 g(x)W0成 金,求 p 的 取 值 范 围。解：(I)当 p=l 时，/(x)=lnxx+1,其 定 义 域 为(0,+8).所 以/(x)=L.2 分 由 r(x)=-l 0 得。xl,X X所 以/(x)的 单 调 增 区 间 为(0,1)；单 调 减 区 间 为(1,+8).5 分(II)由 函 数 g(x)=N/(X)+p(2x2-x-l)=xlnx+p(x2 一 1),得 g(x)=lnx+l+2Px.由(D 知，当 p=l时，/(x)当 一 一 p 0,l+2px0,2 I 2p)(i A从 而 g(x)=lnx+l+2px 0,即 g 在 1,-上 单 调 递 增，(1)从 而 存 在 1,-使 得 g(x0)g=0 不 满 足 题 意；I 2pJ 当 p 0 时，由 知 g(x)=xlnx+p(f-l)20恒 成 立，此 时 不 满 足 题 意.综 上 所 述，实 数 p 的 取 值 范 围 为 一：.12分【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.端 点 赋 值 法(函 数 一 般 为 单 增 或 者 单 减，此 时 端 点，特 别 是 左 端 点 起 着 至 关 重 要 的 作 用)2.为 了 简 化 讨 论，当 端 点 值 是 闭 区 间 时 候，代 入 限 制 参 数 讨 论 范 围。注 意，开 区 间 不 一 定 是 充 分 条 件。有 时 候 端 点 值 能 限 制 讨 论 范 围，可 以 去 除 不 必 要 讨 论。如 练 习 2【变 式 演 练】1.试 卷 若 函 数/(X)的 反 函 数 记 为 尸(力，已 知 函 数/(x)=e1 设 函 数 尸(力=尸(同 一”力，试 判 断 函 数 产(x)的 极 值 点 个 数；(2)当 无 e 0,|时，/(x 卜 sinxN依，求 实 数 上 的 取 值 范 围.【答 案】1个；(-.试 题 解 析：F(x)=，一 当 xw(O,+8)时，!是 减 函 数，-e*也 是 减 函 数，X XF(X)=L y 在(0,+8)上 是 减 函 数，当=1时-，F(x)=l-e 0,.尸(x)在(0,+8)上 有 且 只 有 一 个 变 号 零 点，二 F(x)在 定 义 域(O,”)上 有 且 只 有 一 个 极 值 点.令 g(x)=/(x)=e*sinx-依，要 使 履 总 成 立，只 需 x e 0,y 时，0,对 g(x)求 导 得 g(x)=e.r(sinx+cosx)-左，令(x)=e*(sinx+cosx),则(x)=2e*cosx 0,-I 一 二(x)在 0弓 上 为 增 函 数，二/z(x)w l,e2.当 上 W1时，8(无)“恒 成 立，；”(力 在 0,|上 为 增 函 数，.g(x)疝,=g(O)=O,即 g(尤”0 恒 成 立；当 1改 一 时，g(x)=0 在 x e 0,-上 有 实 根 与,.(x)在(0,工)上 为 增 函 数，当 xw(O,%o)时,g(x)0,g(Ao)g(O)=O，不 符 合 题 意;当 人,时，g(x)W 0恒 成 立，.g(x)在(0,三)上 为 减 函 数，则 g(x)1,(x)-f(x)x2-bx+e-e2；(2)当=2 时，若 对 任 意 X l,+oo),不 等 式 2/(3/+。恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】(1)证 明 见 解 析：(2)试 题 解 析：(1)当。=1乃=-1 时，f(x)=(x2-2x)In x-x2,所 以 g(x)-/(x)冗 2+x+e-e”等 价 于 e+l n x-e 0.令(x)=e“+ln x-e,则/z(x)=e+，0,可 知 函 数/z(x)在(l,+8)上 单 调 递 增，x所 以(x)/z(l),即，+ln x e,亦 即 e+ln x-e 0(2)当 b=2 时，/(x)=(x2-2ox)lnx+2x2,a e R.所 以 不 等 式 2/(元)3/+等 价 于(2x2-4or)nx+x2-a 0.方 法 一：令 p(x)=(2x2-4ax)lnx+x2-a,x G 1,+oo),则 p(x)=(4x-4a)lnx+(2x-4a)+2x=4(%-a)(ln x+1)(%1).当 时，p(X)0,则 函 数 p(x)在 l,+8)上 单 调 递 增，所 以(X)m in=1一。，所 以 根 据 题 意，知 有 1一。0,当。1时，山 p(x)0,知 函 数 p(x)在 3+8)上 单 调 递 增.所 以 p(x)min=P(a)=2(l-21na)-Q.由 条 件 知,a2(l-21na)-a0,即(l-21na)-1 0.设 q(a)=a(l-21na)-l,a l,则 q(a)=l-21na l,所 以 q(。)在(1,+8)上 单 调 递 减.又 虱 1)=0,所 以 的。)o 在 口,+8)上 恒 成 立，所 以 p=1一。0,所 以。1),显 然 当。0,则 函 数 p(x)在 1,+8)上 单 调 递 增，所 以(X)min=p6=l。0,所 以。1.综 上 可 知 CI的 取 值 范 围 为(-8,1).【题 型 二】求 参 2：“存 在”型【典 例 分 析】1 Z 7.设 函 数 x)=alnx+h f 一 法(I),曲 线 y=x)在 点(1,/)处 的 切 线 斜 率 为 0(1)求 b；(H)若 存 在 工 0 21,使 得/(/)【解 析】fx)=-+(-a)x-b,由 题 设 知 f(1)=0,解 得 人=1.4 分 Xa.(II)/(尤)的 定 义 域 为(0,+oo),由(1)知，f(x)-anx+-x-x,.a a a八 幻=一+(1 砂 1=(x-)(x-l)x x-a(1)若。4 4，则 故 当 xe(l,+oo)时，/(x)0,/(x)在(1,+8)单 调 递 增,2-a所 以，存 在 xNl,使 得 的 充 要 条 件 为/(1)/一，即 匕 q 1 一，a-a-2 a-解 得-1/2-1.(ii)若 则 旦 1,故 当 xe(l,/一)时，/(x)0：2-a-a当 xe(,+8)时，f(x)0,/(尤)在(1,旦)单 调 递 减，在(旦,+o。)单 调 递 增.-a-a-a所 以，存 在 光 o 2 1,使 得/(X。)一 匕 的 充 要 条 件 为/(二)1,则/(I)=-1=-.2 2。-1综 上，a 的 取 值 范 围 是(一 加 一 1,正 一 l)U(l,+8).12分【提 分 秘 籍】基 本 规 律1.当 不 能 分 离 参 数 时 候，要 移 项 分 类 讨 论。2.确 定 是 最 大 值 还 是 最 小 值。【变 式 演 练】1.已 知 函 数/(X)=d-0?+0(I)当。=1时，求 曲 线 y=/(%)在 点(2,/(2)处 的 切 线 方 程；(I I)在 区 间 1,2 内 至 少 存 在 一 个 实 数 x,使 得/(x).2试 题 解 析：(1)当”=1 时，/(x)=x3-x2+10.A f(x)=3x2-2 x：.k=r(2)=8,又/(2)=14,.切 线 方 程 为 y=8x 2(II)-3x2-2ax=3 x x-(1 x 2)2 3 当 即 a W/时，/(x)2 0,/(x)在 1,2 为 增 函 数 故 力 血=/(l)=ll a，,U _ a a ll，3与 a W 矛 盾；2 当 1 与 2 n g a 3 时，x e fl,2a,/,(x)o.当 矶 血=/W/+o时，只 需 一 1 2/+10 3,这 与。3矛 盾;27 27 2r 当 吆 2 2 n a 2 3 时，/(x)0，/(x)在 1,2 单 调 递 减，9=2)=18 4a,18 4 a a 符 合 aN39综 上 所 述，a 的 取 值 范 围 为 a 乙 2解 法 二 由 已 知 a x3+10 10，设 g(x)=x+l x 2),2X 一,/x.10g(%)=1-7：1 x 2,二 g(x)0,9故 a 的 取 值 范 围 为。一 29g(x)在 1,2 上 是 减 函 数,g(x)min=g(2)=10 分 2.记 maxm,/?表 示 m,n 中 的 最 大 值，如 max3,V10=V10.已 知 函 数/(x)=max%2-1,2 In x,g(x)=maxx+l n x,*+(a T)x+2a2+4a.19(1)设/i(x)=/(x)3(x)(x l)2,求 函 数/l(x)在(0 上 零 点 的 个 数；3(2)试 探 究 是 否 存 在 实 数 a e(2,+8),使 得 g(x)0,得 x l,F(x)递 增；令/(x)0,得 0 x 0,即 X?-1 2 2 In x,J f(x)=x2-1.i 9 2 2设 G(X)=3(X-)(X-1)2,则 由 6(#=3(*-1)(3%-2)=0 得=1或%=；.二 6 0)在(0,)上 递 增，在(上 递 减，G(0)/(0),6(|)=焉,G(1)=/(1)=O,.结 合/(x)与 G(x)在(0 上 图 象 可 知,这 两 个 函 数 的 图 象 在(0 上 有 两 个 交 点，即 力(%)在(0内 上 零 点 的 个 数 为 2.3(2)假 设 存 在 实 数 Q W(2,+O O),使 得 8。)3 尢+4。对 X C(Q+2,+O O)恒 成 立,犬+In 犬 x+4。则 2；2 3尢 2+(。)x+2a+4。x+4。Inx x 0A.1 1。(i)设”(x)=lnx 上 工，H x)=-=令(幻 0,得 0 x 2,“(冗)递 增；令 H(x)2,(x)递 减.(x)max=(2)=ln2 l.当 0。+2 2 即-2。ln 2-l,/.a-,：a 0,.a e(丁 2 Lo)故 当 q q(始 2 1 0)时,皿 尤 一 工 尤)恒 成 立.4 4 2当。+2 2 2 即 a 0 时，”*)在(。+2,+8)上 递 减，(无)3+2)=1 1 1(。+2)工。一 1.2V(ln(a+2)-a-l)=-0,A”(a+2)(0)=ln 2-l 0,2 a+2 2故 当 a 2 0 时，1(1 1-3%0对 尤 E(a+2,+oo)恒 成 立,则 a+2 2/,a 1,2.由(i)及(i i)得 a e(-,2,故 存 在 实 数 a G(-2,+oo),使 得 g(x)x+4a 对 x e(a+2,+8)恒 成 立，且 a 的 4 2取 值 范 围 为(如 2二 1,2.4【题 型 三】求 参 3：“恒 成 立”型【典 例 分 析】已 知 函 数/(x)=(2-a)lnx+：+2ax.(1)当 a=0时，求 函 数 的 极 值；(2)当 a l/Q i)-/X x2)|成 立，求 实 数 t的 取 值 范 围.【答 案】(1)f(x)有 极 小 值 是/G)=21n：+2=2-21n2,无 极 大 值.(2)见 解 析；(3)(-8,-日【解 析】当 a=0时，函 数/(x)=2lnx+工 的 定 义 域 为(0,+8),且/(x)=n-母=笔=0得 x=；.,函 数/(x)在 区 X X X X N间(0分 上 是 减 函 数，在 区 间 与+8)上 是 增 函 数.函 数/(X)有 极 小 值 是=21n|+2=2-21n2,无 极 大 值.(2)(=号-2+2a=飞 竺 也=0得%尤 2=-5 当 a=-2时，有 广(乃 4 0,函 数 在 定 义 域(0,+8)内 单 调 递 减;当 一 2 V Q 0时，在 区 间(0彳)，(一(+8)上 r(%)0,/()单 调 递 增；当。一 2时，在 区 间(0,-,(3+8)上/(%)0,/(%)单 调 递 增；(3)由(2)知 当 QW(8,-2)时，f(%)在 区 间 1,3上 单 调 递 减，所 以/(%)m a x=/(l)=l+2Q/(%)min=/(3)=(2-a)ln3+1+6Q.问 题 等 价 于：对 任 意 Q 6(-0 0,-2),恒 有(t+ln3)a 21n3 1 4-2a(2-a)ln3-g-6a成 立，即 at 4 a,因 为 a G(8,2),所 以 t-4,因 为 a G(8,2),3 3a所 以 只 需 t(f 4)min 从 而 t W 二 2 4=一 号 故 t的 取 值 范 围 是(一 8,一 金 3a 3X1-2)3 3【提 分 秘 籍】基 本 规 律 1.注 意 是 同 一 变 量 还 是 不 同 变 量。2.各 自 对 应 的 是 最 大 值 还 是 最 小 值。3.一 般 地，已 知 函 数 y=/(x),x e a,b,y=g(x),x e c,J 若 V%wa,句,网 小,旬，总 有/(%)g(w)成 立,故/(X).(2)若 句,3X2 e c,d,有/(x j g(x?)成 立，故/(力 皿 g)皿；(3)若 3x1G 可,Sx2e c,d,有/g(w)成 立,故/(力*2V2+b(x 0),/.g(x)min=2V2+b g(x)在(0,+8)上 没 零 点 o g Mm in=2V2 4-b 0 b-2 7 2:.b E(-2&,+oo)(2)v et-Int 4/(x)2%et-Int 0对 t 6 1,2恒 成 立 则 九(t)在 t G 1/2上 单 调 递 增/i(t)h(l)=e则 e%3+bx2+3对 6 1,2卜 恒 成 立.b N（x+等）对 E 1,2恒 成 立 设 m（%）=（x+等），%6 1/2v n f(%)=-1 5 2e 0,m(%)在 6 1,2 递 减.m(x)e 4,即 b e e 4,4-oo)2.已 知 函 数 f(x)=/+2/nln%-(m+4)x+Inm+2.(1)当 m=4时，求 函 数 f(x)在 区 间 1,4 上 的 值 域；(2)当 in 0 时，试 讨 论 函 数/(%)的 单 调 性；(3)若 对 任 意 m e(1,鱼)，存 在 x 6(3,4,使 得 不 等 式/(x)a(m-加 2)+2m(n4-1)成 立，求 实 数 a的 取 值 范 围.【答 案】(1)2 1 n 2-5,1 8 1 n 2-14；(2)1,+)【解 析】(1)当 a=4时，函 数/(x)=x2+81nx-8%+21n2+2(x 0),所 以/(x)=2久+?-8=兹 亨 N 0,所 以 函 数 f(x)单 调 递 增，故 函 数“X)在 区 间 口,4 上 的 最 小 值 为/(I)=21n2-5,最 大 值 为 f(4)=181n2-1 4,所 以 区 间 1,4 上 的 值 域 为 21n2-5,181n2-14(2)/(x)=2x+卓(m+4)=令/，=0,得 修=2,x2=1 当 m 4时，y 2.由 尸(x)0得 x/或 0 x 2,由/(x)0 得 2 c x 0,所 以 函 数/(%)单 调 递 增.当 0 小 4时，y 0得 久 2或 0 x,由 尸(x)0得/x m(a a2)+2a(ln4 1)成 立，所 以 16+2aln4 4(a+4)+Ina 4-2 m(a a2)+2a(ln4-1),得 Ina+m a2-(m+2)a 4-2 0,对 任 意 Q E(1,恒 成 立 记 h(x)=Inx+m x2(m+2)x+2,则 h(%)=：+2m x(m+2)=当 6(1,企)时，2%-1 0若？n 1,则-1 0,从 而(x)0,所 以 函 数/i(x)在 尤 G(1,四)上 单 调 递 增，所 以 当 6(1,&)时，/i(x)h(1)=0,符 合 题 意 若 0 V m 1,则 存 在&6(L&)，使 得 m%-1=0,则 力(0 在(1/。)上 单 调 递 减，在(&,&)上 单 调 递 增，从 而 当&G(1,a)时，/l(x)min=h(XQ)0不 恒 成 立，不 符 合 题 意 若 小 工 0,则(乃 V O,/i(x)在(L&)匕 单 调 递 减，所 以 当 o(l,或)时，h(x)/l(l)