2023届上海市普陀区高考一模数学试题【含答案】.pdf

普 陀 区 2022学 年 第 一 学 期 高 三 数 学 质 量 调 研 一、填 空 题（本 大 题 共 有 12题，满 分 54分，第 1一 6题 每 题 4 分，第 712题 每 题 5 分）考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 直 接 填 写 结 果.1,若 z=r T）（其 中 i表 示 虚 数 单 位），则 I m z=.2.若 正 四 棱 柱 的 底 面 周 长 为 4、高 为 2,则 该 正 四 棱 柱 的 体 积 为.3.设 歹 一 则 满 足 歹 的 x 的 取 值 范 围 为.4,函 数 V=tan2x在 区 间 I 4 4）上 的 零 点 为.5,函 数 x 的 最 小 正 周 期 为.6.在（x+l）+（x+l）展 开 式 中，含 有 项 的 系 数 为.X2 2,y=17.双 曲 线 3 的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为.8.“青 山”饮 料 厂 推 出 一 款 新 产 品“绿 水”，该 厂 开 展 促 销 活 动，将 6 罐“绿 水”装 成 一 箱，且 每 箱 均 有 2 罐 可 以 中 奖.若 从 一 箱 中 随 机 抽 取 2 罐，则 能 中 奖 的 概 率 为.（2、2一 机/2 cm-X-+（y-ni）=19.设 加 e R.若 直 线/：x=T 与 曲 线 I）仅 有 一 个 公 共 点，则 m=.10.某 地“小 康 果”大 丰 收，现 抽 取 5 个 样 本，其 质 量 分 别 为 125、。、121、6、127（单 位：克）.若 该 样 本 的 中 位 数 和 平 均 数 均 为 124,则 此 样 本 的 标 准 差 为（用 数 字 作 答）.11.设.、b e R 且。口.若 函 数=/（*）的 表 达 式 为/（x）T x“（x e R）,且/=/（6+1）,则（I）的 最 大 值 为.1 1 1 k2 2 2-1-1-12.设 外、的、。3均 为 正 数 且 4+对=%,则 使 得 不 等 式 q a2 a3 总 成 立 的 左 的 取 值 范 围 为二、选 择 题（本 大 题 共 有 4 题，满 分 18分，第 1314题 每 题 4 分，第 1516题 每 题 5 分）每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 选 项.考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置，将 代 表 正 确 选 项 的 小 方 格 涂 黑.13.已 知 直 线/、加 和 平 面&、户，下 列 命 题 中 的 真 命 题 是（）A.若 山,则 加 C,若/_La,allft,则/,力 B.若 a,则/J-AD,若/_La,则/？14.设 xeR,则 lgxlnx的 充 要 条 件 是（）D.0 x,若 向 量。、7-同：1=1:3 h-a=2（c-A6、。满 足 门 II，且 v 4 则 满 足 条 件 的 的 取 值 可 以 是（A.4 B.1 C.%I。)A.1 B.2 C.3 D.416.设 4、4、4、4 是 均 含 有 2 个 元 素 的 集 合，且 4 c 4=0,4 c 4+1=0。=1,2,3,6）,记 5=则 8 中 元 素 个 数 的 最 小 值 是（）A.5 B,6 C,7 D,8三、解 答 题（本 大 题 共 有 5 题，满 分 78分），解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 写 出 必 要 的 步 骤.17.如 图 所 示，8。为 四 边 形 4 8。的 对 角 线，设/8=力。=1,B C D为 等 边 三 角 形.记 Z B A D=0（Q07V）（1）当 30=6 时，求 的 值;(2)设 S 为 四 边 形 N8CZ)的 面 积，用 含 有 6 的 关 系 式 表 示 S,并 求 S 的 最 大 值.18.设 人 人 均 为 正 整 数，“为 首 项 为 人 公 差 为 6 的 等 差 数 列，J 为 首 项 为 1 公 比 为 a 的 等 比 数 列.Z 3+4)(1)设，为 正 整 数，当。=3,b=l,时，求 I 的 值；(2)若 4。262。3,且 对 于 某 项%,存 在 瓦，使 得 1+%=优，试 提 出 一 个 关 于，八 上 的 结 论，并 说 明 理 由.19.如 图,“复 兴”桥 为 人 行 天 桥，其 主 体 结 构 是 由 两 根 等 长 的 半 圆 型 主 梁 和 四 根 竖 直 的 立 柱 吊 起 一 块 圆 环 状 的 桥 面.主 梁 在 桥 面 上 方 相 交 于 点 S 且 它 们 所 在 的 平 面 互 相 垂 直，S 在 桥 面 上 的 射 影 为 桥 面 的 中 心。.主 梁 连 接 桥 面 大 圆，立 柱 连 接 主 梁 和 桥 面 小 圆，地 面 有 4 条 可 以 通 往 桥 面 的 上 行 步 道.设 C D 为 其 中 的 一 根 立 柱，/为 主 梁 与 桥 面 大 圆 的 连 接 点.(1)求 证：C D 平 面 S。/；(2)设 为 经 过/的 一 条 步 道，其 长 度 为 12米 且 与 地 面 所 成 角 的 大 小 为 30。.桥 面 小 圆 与 大 圆 的 半 径 之 比 为 4：5,当 桥 面 大 圆 半 径 为 20米 时，求 点 C 到 地 面 的 距 离.20.在 xoy坐 标 平 面 内,已 知 椭 圆,9 5 的 左、右 焦 点 分 别 为 耳、鸟，直 线 祚 编(%尸)与 相 交 于 4 2 两 点.第（2）小 题 图 第（3）小 题 图（1）记”为 N 到 直 线 2x+9=的 距 离，当 占 变 化 时，求 证：d 为 定 值：当 4 K 8=1200时，求 I 盟 卜 黑|的 值；（3）过 8 作 轴，垂 足 为 M,的 中 点 为 N,延 长/N 交 于 另 一 点 P,记 直 线 尸 8 的 斜 率 为 内,当 勺 取 何 值 时，一 I有 最 小 值？并 求 出 此 最 小 值.21.若 函 数/（乂*。）同 时 满 足 下 列 两 个 条 件，则 称=/（）在。上 具 有 性 质 吃 V=/（x）在。上 的 导 数/（X）存 在；V=/（*）在。上 的 导 数/,（X）存 在，且/G）（其 中/GO=/）恒 成 立.（1）判 断 函 数 y=1 x-在 区 间（0+）上 是 否 具 有 性 质 河？并 说 明 理 由.g（x）=2x3+ax2+（2）设、均 为 实 常 数，若 奇 函 数%在=1处 取 得 极 值，是 否 存 在 实 数 c,使 得 V=g（x）在 区 间 上+）上 具 有 性 质 加？若 存 在，求 出 c 的 取 值 范 围；若 不 存 在，请 说 明 理 由.l+ln（x+l）k（3）设 c Z 且 后 0,对 于 任 意 的 x c（，+）,不 等 式 x x+1成 立，求%的 最 大 值.普 陀 区 2022学 年 第 一 学 期 高 三 数 学 质 量 调 研 一、填 空 题（本 大 题 共 有 12题，满 分 54分，第 1一 6题 每 题 4 分，第 712题 每 题 5 分）考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 直 接 填 写 结 果.1 若 z=-（其 中 i 表 示 虚 数 单 位），则 Im z=.【答 案】1【解 析】【分 析】计 算 z=l+i,即 可 得 到 虚 部.【详 解】因 为 z=（l-1）=1+1 根 据 复 数 的 概 念 可 知，虚 部 为 1.故 答 案 为：1.2.若 正 四 棱 柱 的 底 面 周 长 为 4、高 为 2,则 该 正 四 棱 柱 的 体 积 为.【答 案】2【解 析】【分 析】根 据 正 四 棱 柱 的 性 质，求 出 底 面 边 长，代 入 体 积 公 式 即 可 得 到.【详 解】设 底 面 边 长 为 根 据 正 四 棱 柱 的 性 质 知，底 面 为 正 方 形，则 4a=4,所 以。=1.又 高 h=2,所 以，正 四 棱 柱 的 体 积 为=2.故 答 案 为：2.3.设）=婷 一/，则 满 足 y 0 的 x 的 取 值 范 围 为.【答 案】0 口）【解 析】【分 析】结 合 指 数 运 算 法 则 解 不 等 式 即 可.1 5【详 解】J=*-x 3 1,解 得 X 1 故 X的 取 值 范 围 为（1 Z）.故 答 案 为：O+00）4.函 数 歹=tan 2x在 区 间 上 的 零 点 为【答 案】【解 析】【分 析】令 歹=121!2=在 1 4 4）上 求 解 即 可【详 解 令 歹=12112%=0,2x=0,即 x=0,二 函 数 ytan 2x在 区 间 上 的 零 点 为.故 答 案 为：.5.函 数 sin?x 的 最 小 正 周 期 为.【答 案】兀【解 析】【分 析】化 简 函 数 的 解 析 式，利 用 余 弦 型 函 数 的 周 期 公 式 可 求 得 原 函 数 的 最 小 正 周 期.【详 解】因 为 s i n 2 Q o s 2 x,因 此，该 函 数 的 最 小 正 周 期 为-2 一.故 答 案 为：兀.,在（x+iy+（x+i y 回 共 一 出 人 后/6.在/）展 开 式 中，含 有 1 项 的 系 数 为 _.【答 案】16【解 析】2【分 析】利 用 二 项 展 开 式 可 求 得 展 开 式 中 含 有 X 项 的 系 数.【详 解】因 为 0+X)的 展 开 式 通 项 为 1+1=C”，由 题 意 可 知，在(x+iy+G+l)5展 开 式 中，含 有 犬 项 的 系 数 为 C；+C；=6+10=16.故 答 案 为：16.X2 2 _ 1 y 17.双 曲 线 3”的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为.【答 案】60。【解 析】【分 析】根 据 双 曲 线 的 方 程，求 得 其 渐 近 线 的 方 程，利 用 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系，以 及 双 曲 线 的 对 称 性，即 可 求 解.X?2 _ 1 _,V 3-y=1 y=x【详 解】由 题 意，双 曲 线 3,可 得 两 条 渐 近 线 方 程 为 3,y=-x tana=0,180)设 直 线 3 的 倾 斜 角 为。，则 3,解 得 a=30,根 据 双 曲 线 的 对 称 性，可 得 两 见 解 析 的 夹 角 为 2a=60;故 答 案 为 60.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 双 曲 线 的 标 准 方 程 及 其 简 单 的 几 何 性 质 的 应 用，同 时 考 查 了 直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 的 应 用，属 于 基 础 题.8.“青 山”饮 料 厂 推 出 一 款 新 产 品“绿 水”，该 厂 开 展 促 销 活 动，将 6罐“绿 水”装 成 一 箱，且 每 箱 均 有 2罐 可 以 中 奖.若 从 一 箱 中 随 机 抽 取 2 罐，则 能 中 奖 的 概 率 为.3【答 案】5#0.6【解 析】【分 析】记 一 箱 中 能 中 奖 的“绿 水”灌 装 饮 料 分 别 记 为 A、B,不 能 中 奖 的“绿 水”灌 装 饮 料 分 别 记 为 a、6、c、d,列 举 出 所 有 的 基 本 事 件，并 确 定 所 求 事 件 所 包 含 的 基 本 事 件，利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 所 求 事 件 的 概 率.【详 解】记 一 箱 中 能 中 奖 的“绿 水”灌 装 饮 料 分 别 记 为 A、B,不 能 中 奖 的“绿 水”灌 装 饮 料 分 别 记 为&、b、c、d,从 一 箱 中 随 机 抽 取 2 罐，所 有 基 本 事 件 有：AB、Aa、Ah、Ac、Ad、Ba、Bb、Be、Bel、ah、ac、ad、he、hd、cd，共 15种,其 中，事 件“随 机 抽 取 的 2 罐 能 中 奖”所 包 含 的 基 本 事 件 有：A B、4 a、A b、Ac y Ad B a、B b、Be、Bd,共 9种，c 9 3p=_故 所 求 概 率 为 15 5.3故 答 案 为：5.（2 yc,：X-+0-z）2=19.设 加 e R.若 直 线/:x=-l与 曲 线 I 4 7 仅 有 一 个 公 共 点，则 m=【答 案】【解 析】【分 析】利 用 圆 心 到 直 线/的 距 离 等 于 圆 的 半 径 可 得 出 关 于 实 数 用 的 等 式，即 可 解 得 实 数 加 的 值.（2、2,m+1=14 人 半 径 为 1,由 题 意 可 得 4,解 得 加=.故 答 案 为：，10.某 地“小 康 果”大 丰 收，现 抽 取 5 个 样 本，其 质 量 分 别 为 125、a、121、6、127（单 位：克）.若 该 样 本 的 中 位 数 和 平 均 数 均 为 124,则 此 样 本 的 标 准 差 为（用 数 字 作 答）.【答 案】2【解 析】【分 析】设 利 用 中 位 数 定 义 和 平 均 数 公 式 可 求 得。、b 的 值，再 利 用 标 准 差 公 式 可求 得 该 样 本 的 标 准 差.【详 解】不 妨 设 因 为 该 样 本 的 中 位 数 为 1 2 4,则 6=124,125+124+121+127-二 124由 平 均 数 公 式 可 得 5,解 得 a=123,所 以，该 样 本 的 标 准 差 为/(121-124)2+(123-124)2+(124-124)2+(125-124)2+(127-124)2 _ 5故 答 案 为：2.11.设 a、b e R 且 a W b.若 函 数，=工)的 表 达 式 为)=卜 一。*R),且 f(a)=f(b+)t 则 G+1)的 最 大 值 为.3【答 案】4#0.75【解 析】【分 析】由/(“)=/伍+1)结 合 可 得 出 a=l-b,求 出 b 的 取 值 范 围，利 用 不 等 式 的 基 本 性 质 可 求 得 e(+l)的 最 大 值.【详 解】因 为/()=/0+1),则 卜-1=网,所 以，或。-1=也:.a=h+a=l-bb-因 为 所 以，a=-b,且 a=可 得 2,3 1a-(6+l)=(l-6)(1+6)=1-/b=-所 以，4,当 且 仅 当 2 时，等 号 成 立，3故 人 0+1)的 最 大 值 为 7.3故 答 案 为：4.1 1 1 k-1-1-12.设、出、生 均 为 正 数 且 a；+a；=怒，则 使 得 不 等 式 a2 4%+4+4 总成 立 的 左 的 取 值 范 围 为【答 案】【解 析】%2+a2=1=cos 0=sin【分 析】由 已 知 可 得 出，不 妨 设 生,其 中(J I0 G 0,2、),可 得 出(Q+4+4)L=3+%a2 a3)sin 0 cos 0(sin 0+cos 6)+(sin 0+cos。)+1sin。cos。，令 t=sine+cos6求 出 函 数(%+4+%),可 得 出 f i l l+十 11 a2%、723+r+一 1,利 用 导 数 上 的 最 小 值，即 可 得 出 实 数 左 的 取 值 范 围.【详 解】因 为 4、%、生 均 为 正 数 且 a；+a；=M,则 I 2+%2=17-=cos 6=sin不 妨 设 色,生，其 中(j i、e 0,5(%+4+%)所 以，(1 1 1 1-1-1-a a2 03 7=3+幺+幺+1+”+&+2%a2_ 八 cos。.s i n 1 13+COS 0+-F Sin e H-1-d-sin。cos 0 cos 0 sin 0-sin cos2+sin2 0c o s+sin+cos 0+13+-sin。cos。3 sin 0 cos 0(sin 0+cos。)+(sin 0 4-cos。)+1sinOcos。因 为 r 哈 9 w 0,5I”贝 i4 4-4-4,令 r=sin9+cos0-V2 sin则 r=(sine+cos。)=l+2sin6cos外 所 以，由 仰=(6+4=3+6-1)+/+i2z2-l=3+，+2所 以,22令 4+3,其 中 q J O 行 0(1)2所 以，函 数 一 咐 在 一 上 单 调 递 减,所 以,火 L=/(/)=0+高+3=5+3立 J z xf 1 1 11./T-k(q+a2+%)-1=5+3 A/2所 以，L 16%故 答 案 为：6 叫 5+3甸【点 睛】结 论 点 睛：利 用 参 变 量 分 离 法 求 解 函 数 不 等 式 恒(能)成 立，可 根 据 以 下 原 则 进 行 求 解：(D V xeQ,w/(x)z n/(x)/(x)max；(3)3 X 6Z,m 4/(x)=加(X L、；(4)3 x&D,M(x)o？”(x)m in二、选 择 题(本 大 题 共 有 4 题，满 分 18分，第 1314题 每 题 4 分，第 1516题 每 题 5分)每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 选 项.考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置，将 代 表 正 确 选 项 的 小 方 格 涂 黑.13.已 知 直 线/、机 和 平 面。、尸，下 列 命 题 中 的 真 命 题 是()A.若 z-L/,I a,则 加 _ L aB,若/，,则/，力 C.若/_ L a,。尸，则/J-A D.若,a,m 工。,则/加【答 案】C【解 析】【分 析】线 面 平 行 及 线 线 垂 直，线 可 以 有 无 数 种 朝 向；线 面 垂 直，线 只 有 一 种 朝 向；面 面平 行，面 只 有 一 种 朝 向，逐 个 选 项 判 断 即 可.【详 解】对 A,若 m i l,l/a,则 可 能 有 机 a，0,加 与 a 相 交 不 垂 直，A 错；对 B,若/a,a B,则 则 可 能 有/工 月，/,/与 用 相 交 不 垂 直，I B,B 错;对 C,若 1 1 a,a/甲，则 c 对；对 D,若/a,由 于 a 与 a 关 系 不 确 定，故/与 机 关 系 也 不 确 定，D 错.故 选：C14.设 xeR,则 馆”的 充 要 条 件 是（）A.x B.1 C.xl D.0 x 1【答 案】D【解 析】【分 析】由 已 知 可 推 出 I g M l n U R O,则 lgxlnx 可 得，lgxlnlO-lgx,则 lgx（lnlO-1）Ine=1,所 以 lnl0-l0,所 以 lgxO=lgl,因 为 卜=怆 在（，+）上 单 调 递 增，解 得 0 xl.故 选：D.6 设 Q。，若 向 量 入 旌 之 满 足 问#+1 上 3,/一=2 0 3）,则 满 足 条 件 的 左 的 取 值 可 以 是（）A 1 B.2 C.3 D,4【答 案】B【解 析】（36）2=4 c+4a-c+0,所 以 L3 3，所 以 人 的 取 值 可 以 是 2.故 选：B.16.设 4、4、4、4 是 均 含 有 2 个 元 素 的 集 合，且 4 c 4=0,4 c 4+1=0（=1,2,3,6）,记 8=则 8 中 元 素 个 数 的 最 小 值 是（）A.5 B.6 C,7 D,8【答 案】A【解 析】【分 析】设 毛、巧、Z（N4）是 集 合 8 互 不 相 同 的 元 素，分 析 可 知 2 4,然 后 对 w 的 取 值 由 小 到 大 进 行 分 析，验 证 题 中 的 条 件 是 否 满 足，即 可 得 解.【详 解】解：设*1、*2、毛（4）是 集 合 6 互 不 相 同 的 元 素，若=3,则 4 c 4 H 0,不 合 乎 题 意.假 设 集 合 B 中 含 有 4 个 元 素，可 设 4=，/,则 4=4=4=包,乙,4=4=4=也,这 与 4 c 4=0 矛 盾；假 设 集 合 8 中 含 有 5个 元 素，可 设 4=4=占，2,4 2=4=X 3，X J,4=z，X|A4=X2,X3 A5=x4,xs，,满 足 题 意.综 上 所 述，集 合 8 中 元 素 个 数 最 少 为 5.故 选：A.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 集 合 元 素 个 数 的 最 值 的 求 解，解 题 的 关 键 在 于 对 集 合 元 素 的 个 数 由 小 到 大 进 行 分 类，对 集 合 中 的 元 素 进 行 分 析，验 证 题 中 条 件 是 否 成 立 即 可.三、解 答 题（本 大 题 共 有 5 题，满 分 7 8分），解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 写 出 必 要 的 步 骤.17.如 图 所 示，8。为 四 边 形 的 对 角 线，设/8=力。=1,BCD为 等 边 三 角 形.记 ZBAD=0（O 0（2）设 S 为 四 边 形 的 面 积，用 含 有 e 的 关 系 式 表 示 S,并 求 S 的 最 大 值.2兀【答 案】3；14（2）【解 析】【分 析】（1）由 余 弦 定 理 即 可 求；（2）由 余 弦 定 理 得 BO?,S=S D+S BCD,结 合 三 角 形 面 积 公 式 即 可 求.【小 问 1详 解】c AB2+A D2-B D2 1 4 2 兀 COS 0=-=-/I _/n 0=-由 余 弦 定 理 得，2AB A D 2,，武 0,兀），故 3.【小 问 2 详 解】由 余 弦 定 理 得，BD!=AB+A D2-2 AB-A D cos 0=2-2 cos 0,S SBD+S、B C D=AB-AD sin 0+BD=sin cos 0+=sin f 9 一 2+2 4 2 2 2（3）2。兀 兀 0 5兀,V36=（9=1+则 当 3 2 6 时，s 的 最 大 值 为 218.设。、6均 为 正 整 数，为 首 项 为 人 公 差 为 b 的 等 差 数 列，为 首 项 为 从 公 比 为。的 等 比 数 列.,X（卬+4）（1）设，为 正 整 数，当。=3,h=l9 时，求$的 值；（2）若 且 对 于 某 项，存 在 瓦，使 得 1+”=，试 提 出 一 个 关 于 m、左 的 结 论，并 说 明 理 由.【答 案】（1）5 8:（2）m=2 人，理 由 见 解 析.【解 析】【分 析】（D 结 合 通 项 公 式，由%79可 解 出 f,进 而 求 值 即 可；（2）由 4%与 2 且 b e N*,由 1+%=得（2 一+1）=3,即 可 根 据 因 式 为 整 数 解 出/，及 加=2【小 问 1详 解】a=3+（n-l）-l=n+2 a7=9,a79=81,b,=3,-1（由%向%9 得 32 3-1 34,r为 正 整 数，故.一 1=3=.=4,t 4Z（4+b,）=Z G+2+3T）=3+4+5+6+1+3+9+27=58Z=1/=1.【小 问 2 详 解】掰=2,理 由 如 下：由/。2 6 2%得。6。+6 6。+2 6,由 6 Q 1,由 於 26 c 2ba a 2 且 6 w N,由 1+%=%得 l+a+（m T b=b/,即 6（2 加+1）=3,2*-1-m+l e Z，-b=3，m=2k-19.如 图,“复 兴”桥 为 人 行 天 桥，其 主 体 结 构 是 由 两 根 等 长 的 半 圆 型 主 梁 和 四 根 竖 直 的 立 柱 吊 起 一 块 圆 环 状 的 桥 面.主 梁 在 桥 面 上 方 相 交 于 点 S 且 它 们 所 在 的 平 面 互 相 垂 直，S 在 桥 面 上 的 射 影 为 桥 面 的 中 心。主 梁 连 接 桥 面 大 圆，立 柱 连 接 主 梁 和 桥 面 小 圆，地 面 有 4 条 可 以 通 往 桥 面 的 上 行 步 道.设 CZ）为 其 中 的 一 根 立 柱，/为 主 梁 与 桥 面 大 圆 的 连 接 点.（1）求 证：C D 平 面 SQ4；（2）设 Z 8 为 经 过/的 一 条 步 道，其 长 度 为 12米 且 与 地 面 所 成 角 的 大 小 为 30。.桥 面 小 圆 与 大 圆 的 半 径 之 比 为 4：5,当 桥 面 大 圆 半 径 为 20米 时，求 点 C 到 地 面 的 距 离.【答 案】（1）证 明 过 程 见 详 解（2）18米【解 析】【分 析】（1）根 据 题 意 可 知：C D/S O,利 用 线 面 平 行 的 判 定 即 可 证 明；（2）根 据 题 意 利 用 勾 股 定 理 先 求 出 点 C 到 桥 面 的 距 离，再 求 出 底 面 到 桥 面 的 距 离，最 后 相 加 即 可 求 解.【小 问 1详 解】由 题 意 可 知：,桥 面，S，桥 面，所 以 8 SO,5=平 面 5。力，C D（Z 平 面 S O N,所 以 C D”平 面 SO4【小 问 2 详 解】作 出 其 中 一 个 主 梁 的 轴 截 面，连 接 由 题 意 可 知：S=2,因 为 桥 面 小 圆 与 大 圆 的 半 径 之 比 为 4:5,也 即 0Z）:SO=4:5,所 以=16,OC=SO=20,在 此 OCZ）中，CD=S C 2-OD2=,2（）2162=12,所 以 点 C 到 桥 面 的 距 离 为 12米，又 因 为 N 8 为 经 过/的 一 条 步 道，其 长 度 为 12米 且 与 地 面 所 成 角 的 大 小 为 30。,所 以 地 面 到 桥 面 的 距 离 为 人=12xsin300=6,故 点 C 到 地 面 的 距 离 为 12+6=18米.20.在 xoy坐 标 平 面 内，已 知 椭 圆.9 5 的 左、右 焦 点 分 别 为 耳、巴，直 线 Q）记”为/到 直 线 2+9=的 距 离，当&变 化 时，求 证：d 为 定 值；当 4 工 6=120。时，求|盟|，愿|的 值；（3）过 8 作 轴，垂 足 为 A/,的 中 点 为 M 延 长 Z N 交 于 另 一 点 P,记 直 线 尸 8 的 斜 率 为 2,当 勺 取 何 值 时，有 最 小 值？并 求 出 此 最 小 值.【答 案】(1)答 案 见 详 解;20(2)3.(3)答 案 见 解 析.【解 析】【分 析】设 国 必)求 出 六 以 及 的=加+2)”：,进 而 可 推 出 产=4 Mr 9,即 可 证 明 d 为 定 值；(2)由 平 行 四 边 形 百 玛 可 得,根 据 椭 圆 的 定 义 有 耳|+”用=6,根 据 余 弦 定 理 即 可 求 出 结 果；设，(心 凹)，(X。)。)，则 令 直 线 P/的 斜 率 为 左，则 直 线 尸/的 方 程 为：I 2 A 与 椭 圆 方 程 联 立，根 据 韦 达 定 理 得 到 坐 标 与 左 的 关 系，进 而 表 示 k2=出 上 G 2之 间 的 关 系，推 出 6人,然 后 根 据 基 本 不 等 式 即 可 得 出 结 果.【小 问 1详 解】工+里=1.2=5 5.证 明：设 点 A 坐 标 为(须，凹)，则 有 9 5,9.由 已 知 可 得，。=3,b M,2=4,c-2,(9),2(，)则 1 阳 1=J a+2 7+疗,/&*)到 直 线 2x+9=0 的 距 离 为“2AF(x,+2)2+y,2=a+2)一+5-Cr2 2 寸 A 2+例+9 二#4(+9 Y=4d2(9丫(9 丫(9 丫(9?9则 M J 3+J 卜+力|阳=2|叫 所 以，d 弓 是 个 与 勺 无 关 的 定 值，即 当 4 变 化 时，d 为 定 值.【小 问 2 详 解】如 图，连 结 4*6,根 据 椭 圆 的 对 称 性，可 得 四 边 形 6 为 平 行 四 边 形.由 椭 圆 的 定 义 可 得，的+M 周=6,所 以 有 3 用+用）2=1阳+M 曰+2|，娟 能 用=36因 为/盟 8=120,所 以“伤=60。在 中，由 余 弦 定 理 可 得，1+I典 2|掰 H盟|.8S6O=寓 闾 2=16,即|四+|盟 一|四 H盟 1=16,又|四 M 盟+2|/H盟 1=36,两 式 作 差 可 得 3 M 闾=20,则 1 阳 1国 3【小 问 3详 解】设/（X,必），则 5（-芯,-弘），尸&,%）故”再,0）,一 列 y=Zrfx+令 直 线&的 斜 率 为 左，则 直 线 PZ 的 方 程 为：V 2）,2 2 C-F=1（9人 一+5）r+9左 X|X 4kx,-45=0代 入 椭 圆 方 程 9 5 可 得，v 4,9k2x.x0+x,=-丁 一 根 据 韦 达 定 理 可 得，9k+5,于 是%+弘=x o+.+k Xj+7）泌 5k2x+i 54 2故 Xo+X 5 k9及，又 因 为-=生=耳 优 3X1 3,_ 5 _ 5故 3 又 因 为“尸,所 以 间 圈,k 一 左,|=k.+-=1.1+N 2/同-y-=于 是 根 据 基 本 不 等 式，可 得 6人 6 4 1 6左 3,同=目 刈=土 叵 当 且 仅 当 卜/1,即 6 时，等 号 成 立.k=+V30 A/30所 以，当-6,因 一 周 有 最 小 值 3.【点 睛】设 而 不 求 是 解 析 几 何 解 题 的 基 本 手 段，是 比 较 特 殊 的 一 种 思 想 方 法.本 题 中，设 出 点 的 坐 标 较 多，直 线 数 量 较 多，需 要 转 化 的 量 也 较 多.引 入 直 线 P/的 斜 率 左，通 过 左 表 k2=示 出 几 个 点 之 间 的 关 系，以 上 作 为 纽 带，将 勺 与&联 系 起 来，最 终 求 得 6勺，然 后 借 助 基 本 不 等 式 求 出 结 果.21.若 函 数=/3 猴）同 时 满 足 下 列 两 个 条 件，则 称 7=/在。上 具 有 性 质.V=/（X）在。上 的 导 数/（X）存 在；=/G）在。上 的 导 数/G）存 在，且/（x）（其 中/（x）=/（x）恒 成 立.（1）判 断 函 数 尸 1gX 在 区 间,（Q+0 01上 是 否 具 有 性 质 M?并 说 明 理 由.,g（x）=2x3+ax2+-（2）设。、台 均 为 实 常 数，若 奇 函 数 x 在=1处 取 得 极 值，是 否 存 在 实 数 c,使 得 V=g（x）在 区 间 卜+8）上 具 有 性 质 M?若 存 在，求 出,的 取 值 范 围；若不 存 在，请 说 明 理 由.1+In（x+1）k 设 0 Z 且 左 0,对 于 任 意 的 xe（，+8）,不 等 式 X X+1成 立，求%的 最 大 值.y=gj_【答 案】（1）函 数，-在 区 间（,+）上 具 有 性 质”；（2）存 在 实 数。，使 得，=g（）在 区 间 卜 什 8）上 具 有 性 质/，。的 取 值 范 围 是（+）：（3）%的 最 大 值 为 3.【解 析】【分 析】令/）一 3，按 照 题 目 所 给 定 义，求 出/（X）和/（X）,并 判 断/（）是 否 恒 成 立 即 可;（2）先 利 用 8（”）为 奇 函 数 且 在=1处 取 得 极 值 求 出 实 数。，的 值，再 按 照 题 目 所 给 定 义，求 出 g“（”），即 可 求 出。的 取 值 范 围;.f+l)l+ln(x+l)(x+l)l+ln(x+l)(3)分 离 参 数 得%,构 造 函 数 x,通 过“（X）的 最 小 值，即 可 确 定 正 整 数 七 的 最 大 值.【小 问 1详 解】令 吟-（0收）X G(0,4-00)X G(0,4-00)当 x e（0,+oo）时，/）-山 1 0 恒 成 立,:.函 数 一 检 x 在 区 间(，+)上 具 有 性 质 M.【小 问 2详 解】g(x)=2x3+Q X 2+2bg(x)=6x2+2ax-.g(x)在 x=l 处 取 得 极 值，且 g(x)为 奇 函 数，.8(“)在=一 1处 也 取 得 极 值，g(l)=6+2 a-b=0 ja=O,g(-l)=6-2 a-b=0 解 得 械 6,g(x)=2x3+g，(x)=6x2-A=6x2-6x2当 x 0时，令 g G),解 得 x l；令 g(x),解 得 0 x 0 x 恒 成 立,.七 六%c e(，+8)g(x)0 lc,+oo),二 存 在 实 数、乙 使&、在 区 间 L)上 恒 成，.存 在 实 数 c,使 得 V=g(x)在 区 间 卜+8)上 具 有 性 质 M,c 的 取 值 范 围 是(，+)；【小 问 3详 解】.xe(0,+oo)*，l+ln(x+l)k 卜(x+l)l+ln(x+l)x x+l n x,3：(x+l)l+lnG+D则 F(x)=x-ln(x+l)-lX2G(x)=x-ln(x+l)-lG(x)=1-=-则 x+1 x+1,当 X(0,+8)时，G(x)0,G(x)在 区 间(0,+8)上 单 调 递 增，v.G(2)=l-ln30.存 在 e(2,3),使 G(%)=%_ In(%+1)-1=0,，当 xe(O,Xo)时，G(x)0,F(x),“()在 区 间(户。)上 单 调 递 减,当&收)时，G(x)0,“(x)0,(x)在 区 间(/，+0)上 单 调 递 增,(x0+1)1+In(x0+l).当 xe(O,+s)时，/(x)的 最 小 值 为 0%,由 6(%)=%-ln(Xo+l)l=O 有 ln(Xo+l)=xT,小。)=(*。+1)0+(3。=%+1%,.xoe(2,3).F(X0)G(3,4)9，卜(x+1)1+In(x+1)F(x)又；x 恒 成 立，.k F lx。)，.后 w Z 且 4 0,.左 的 最 大 值 为 3.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 中 G（x）=x M（x+1）-1存 在 无 法 求 解 零 点，使 用 了 虚 设 零 点 看 的 方 法，设 G（Xo）=/-InQo+l）-1=,再 通 过 1nGo+l）=x0-1的 代 换，求 得“（X）的 最 小 值，这 种 方 法，是 解 决“隐 零 点”的 常 用 方 法 之 一.