数学-2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）含答案.pdf

2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U R，集合260,|23Ax xxBxxZ，则UAB（）A1,3B1,3C1,0,1,2,3D0,1,2,32设xR，则“sin1x”是“cos0 x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）Asin6()22xxxf xBcos6()22xxxf xCcos6()22xxxf xDsin6()22xxxf x4 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分 100 分），从中随机抽取一个容量为 120 的样本，发现所给数据均在40，100内现将这些分数分成以下 6 组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形则下列说法中有错误的是（）A第三组的频数为 18 人B根据频率分布直方图估计众数为 75 分C根据频率分布直方图估计样本的平均数为 75 分D根据频率分布直方图估计样本的中位数为 75 分5设3log 4a，3log 5b，则3log 10（）A24abB42abC12abD1142ab6若所有棱长都是 3 的直三棱柱111ABCABC-的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A12B18C21D397已知F是抛物线2:2C ypx(0)p 的焦点，抛物线C的准线与双曲线2222:1xyab(0,0)ab的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）A32B2 33C217D2138将函数 sin2fxx的图象向右平移02个单位后得到函数 g x的图象，若 g x在区间0,6上单调递增，且函数 g x的最大负零点在区间,36上，则的取值范围是A,12 4B 5,6 12C,6 3D,6 49如图，在四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，且2AB，1MCMDCD若点 N 在线段 CD（端点除外）上运动，则NA NB 的取值范围是（）A1,04B3,04C1,14D3,04第卷二填空题：（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分。）10已知复数z满足1 2i43iz（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_11在6312xx的展开式中，4x的系数是_12已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线对称，直线与圆C相交于A、B两点，且6AB，则圆C的方程为_13已知0 x，0y，228xyxy，则2xy的最小值为_14某校高三 1 班第一小组有男生 4 人，女生 2 人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取 2 人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为_；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率_15已知函数3log,03()sin,3156xxf xxx，若存在实数1234,x x x x.满足1234xxxx，且 1234f xf xf xf x，则12x x _，3433xx的取值范围是_三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）16（15 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且15 cossin0bAaB，2 6a，4b.(1)求cosA的值；(2)求c的值；(3)求cos 2AB的值.17（15 分）已知如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE 平面ABCD，90BADADC，112ABADCD，2PD（1）若M为PA中点，求证：/AC平面MDE；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为3？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由18（15 分）已知过点23()22，P的椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22.如图所示，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于AB，两点，直线:2l x 与x轴相交于点H，过点 A 作ADl，垂足为D.(1)求四边形(OAHB O为坐标原点)的面积的最大值；(2)求证：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.19（15 分）已知 na为等差数列，数列 nb满足12nnbbn N，且114ab，24b，35a.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)若,nnnna ncanb为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和；(3)设 na的前n项和为nS，证明：111724niiinbSN.20（15 分）已知函数 exf x，22Rg xxxa a(1)讨论函数 h xf xg x的单调性；(2)记 ,0,0fxxxg xx，设11,A xx，22,B xx为函数 x图象上的两点，且12xx（）当1 0 x，20 x 时，若 x在点,A B处的切线相互垂直，求证：211xx；（ii）若 x在点,A B处的切线重合，求a的取值范围请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数 学答题卡姓名：注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记贴条形码区准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789一、选择题（每小题 5 分，共 45 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）10_11_12_13_14_15_三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数学全解全析一、选择题（本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U R，集合260,|23Ax xxBxxZ，则UAB（）A1,3B1,3C1,0,1,2,3D0,1,2,3【答案】D【分析】分别求出集合A、UA、B，再求交集可得答案.【详解】因为26 0,23,Ax xx，所以2,3UA，又因为|323|150,1,2,3,4Bxxxx ZZ，所以0,1,2,3UAB.故选：D.2设xR，则“sin1x”是“cos0 x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sincos1xx可得：当sin1x 时，cos0 x，充分性成立；当cos0 x 时，sin1x ，必要性不成立；所以当xR，sin1x 是cos0 x 的充分不必要条件.故选：A.3我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）Asin6()22xxxf xBcos6()22xxxf xCcos6()22xxxf xDsin6()22xxxf x【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可【详解】由图象可知，函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，对于 A，sin(6)sin6sin6()()22(222)2xxxxxxxxxfxf x，所以()f x是偶函数，当0 x 时，令()0f x，则sin60 x，得*()6kxkN，则当0 x 时，函数的第一个零点为6x，当06x时，sin60 x，220 xx，所以()0f x，所以 A 不合题意，对于 B，因为cos(6)cos6cos6()()22(2222)xxxxxxxxxfxf x ，所以()f x是奇函数，所以不合题意，对于 C，因为cos(6)cos6()()2222xxxxxxfxf x，所以()f x是偶函数，当0 x 时，令()0f x，则cos60 x，得()126kxkN，所以当0 x 时，函数的第一个零点为12x，当012x时，cos60 x，220 xx，所以()0f x，所以符合题意，对于 D，因为sin(6)sin6sin6()()222222xxxxxxxxxfxf x ，所以()f x是奇函数，所以不合题意，故选：C4 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分 100 分），从中随机抽取一个容量为 120 的样本，发现所给数据均在40，100内现将这些分数分成以下 6 组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形则下列说法中有错误的是（）A第三组的频数为 18 人B根据频率分布直方图估计众数为 75 分C根据频率分布直方图估计样本的平均数为 75 分D根据频率分布直方图估计样本的中位数为 75 分【答案】C【解析】对于 A 频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于 1，可求出分数在60,70）内的频率；对于 B 根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于 C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于 D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解【详解】对于 A，因为各组的频率之和等于 1，所以分数在60，70）内的频率为：f110（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）0.15，所以第三组60,70）的频数为 1200.1518（人），故正确；对于 B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为 75 分，故正确；对于 C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45（100.005）+55（100.015）+65（100.015）+75（100.03）+85（100.025）+95（100.01）73.5（分），故错误；对于 D，因为（0.05+0.15+0.15）100.350.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）100.5，所以中位数位于70,80）上，所以中位数的估计值为：700.50.350.03075，故正确；故选：C【点睛】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识本题属于中档题5设3log 4a，3log 5b，则3log 10（）A24abB42abC12abD1142ab【答案】C【分析】根据对数的运算法则即可求解.【详解】由3log 4a得332log 2log 22aa，所以333log 10log 2log 52ab，故选：C6若所有棱长都是 3 的直三棱柱111ABCABC-的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A12B18C21D39【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：22233332；所以外接球的半径为：22321(3)22所以外接球的表面积为：2214212故选：C【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力7已知F是抛物线2:2C ypx(0)p 的焦点，抛物线C的准线与双曲线2222:1xyab(0,0)ab的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）A32B2 33C217D213【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p，准线方程为：2px ，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2pxbyxa ，解得2pbya，可得|pbABa，ABF为等边三角形，可得32pbpa，即有23ba，则224211133cbeaa故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题8将函数 sin2fxx的图象向右平移02个单位后得到函数 g x的图象，若 g x在区间0,6上单调递增，且函数 g x的最大负零点在区间,36上，则的取值范围是A,12 4B 5,6 12C,6 3D,6 4【答案】D【分析】利用函数 sin2fxx的图象向右平移02个单位后，得到函数 g x的图象的位置特征，列出关于的关系式，最后确定取值范围.【详解】函数 sin2fxx的图象向右平移02个单位后，得到函数 g x的图象,所以()sin(22)g xx，0,(22)2,2 63xx，g x在区间0,6上单调递增，所以有23212422；当122()2xkxkkZ时，函数()0g x，而02，所以函数 g x的最大负零点为12x，它在区间,36上，所以有132663 ，结合，的取值范围是,6 4，故本题选 D.【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换规律，正弦型函数的单调性和零点，考查了运算能力.9如图，在四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，且2AB，1MCMDCD若点 N 在线段 CD（端点除外）上运动，则NA NB 的取值范围是（）A1,04B3,04C1,14D3,04【答案】A【分析】连接MN，求出|NM 的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.【详解】连接MN，如图，点 N 在线段 CD（端点除外）上运动，因为1MCMDCD，即MCD是正三角形，于是3|12NM，而 M 为 AB 的中点，且|1MA，所以221()(),0)4NA NBNMMA NMMANMMA .故选：A【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.第卷二填空题：（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分。）10已知复数z满足1 2i43iz（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_.【答案】2【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数z，进而即得.【详解】因为43i5，所以1 2i5z，则55(12i)5(12i)12i12i(12i)(12i)5z，所以复数z的虚部为2.故答案为：2.11在6312xx的展开式中，4x的系数是_【答案】60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令 x 的指数等于4，计算展开式中含有4x项的系数即可.【详解】由题意得：1863626671C2C 21rrrrrrrTxxx，0,1,2,3,4,5,6r，只需71842r，可得4r，所以424456C 260Txx，故答案为：60.12已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线对称，直线与圆C相交于A、B两点，且6AB，则圆C的方程为_【答案】【详解】设圆心坐标 C(a，b)圆心与 P 关于直线 y=x+1 对称直线 CP 与 y=x+1 垂直y=x+1 的斜率为 1直线 CP 的斜率为-1化简得：a+b+1=0 CP 的中点在直线 y=x+1 上化简得：a-b-1=0 联立得到：a=0，b=-1圆心的坐标为：(0，-1)圆心 C 到直线 AB 的距离 d=,根据勾股定理得到半径=18圆的方程为.13已知0 x，0y，228xyxy，则2xy的最小值为_【答案】4【分析】首先分析题目由已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，求 x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用 a+b2ab代入已知条件，转化为解不等式求最值【详解】2xyx(2y)22xy2，8x2y2xyx2y22xy2，即(x2y)24(x2y)320.x0，y0，x2y4，当且仅当 x2，y1 时取等号，即 x2y 的最小值是 4.14某校高三 1 班第一小组有男生 4 人，女生 2 人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取 2 人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为_；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率_【答案】81589【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.【详解】由题设，抽取 2 人，恰有一名女生参加，其概率114226C C8C15，至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2 人都是女生，其概率21224226CC C3C5，所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率8381559.故答案为：815，8915已知函数3log,03()sin,3156xxf xxx，若存在实数1234,x x x x.满足1234xxxx，且 1234f xf xf xf x，则12x x _，3433xx的取值范围是_.【答案】1(0,27)【分析】作出函数()f x的图象，结合图象可知1234,x x x x之间的关系，利用此关系直接求出12x x，再将3433xx转化为关于3x的二次函数求范围即可.【详解】作出函数3log,03()sin,3156xxf xxx的图象，如图，因为 1234f xf xf xf x，1234xxxx所以由图可知，3132loglogxx，即121x x，3492xx，且339x，23434343333333()9(18)451845xxx xxxxxxx，2331845xyx在3,9上单调递增，027y，即3433xx的取值范围是(0,27).故答案为：1；(0,27)三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）16(本题 15 分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且15 cossin0bAaB，2 6a，4b.(1)求cosA的值；(2)求c的值；(3)求cos 2AB的值.【答案】(1)14(2)2(3)616【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得sin15cosAA，再由同角三角函数的基本关系求解即可；（2）由余弦定理求解即可；（3）由题意可得出sin,cos,sinBBA，再由二倍角的正弦和余弦公式及两角和的余弦公式求解即可得出答案.【详解】（1）由15 cossin0bAaB及正弦定理，得15sin cossin sin0BAAB，因为0,sin0BB，所以sin15cosAA，且cos0A.又22sincos1AA，可得1cos4A .（2）因为2 6a，4b 由余弦定理，得2222 642cc，即2280cc，解得2c(负值舍去).（3）由（1）及15 cossin0bAaB，2 6a，4b，得10sin4B，从而6cos4B.由（1）得215sin1 cos4AA.15sin22sin cos8AAA，27cos22cos18AA ，所以cos 2cos2 cossin2 sinABABAB7615106848416 .17(本题 15 分)已知如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE 平面ABCD，90BADADC，112ABADCD，2PD（1）若M为PA中点，求证：/AC平面MDE；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为3？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）36；（3）存在，420,33Q.靠近 C 的三等分点【分析】（1）设PC与DE交于点N，连接MN，则可得N为PC的中点，而M为PA的中点，由三角形中位线定理可得/MNAC，然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可证得DA，DC，DP两两垂直，所以分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，（3）假设存在点(,)Q x y z，满足题意，且此时(01)PQPC ，然后利用空间向量求二面角【详解】（1）证明：如图，设PC与DE交于点N，连接MN，四边形PDCE为矩形，N为PC的中点，又因为M为PA的中点，/MNAC，而MN平面MDE，AC 平面MDE，/AC平面MDE；（2）解：因为平面PDCE 平面ABCD，平面PDCE 平面ABCDDC，PDDC，PD 平面PDCE，所以PD 平面ABCD，因为AD 平面ABCD，所以PDAD，因为90BADADC，所以DA，DC，DP两两垂直，所以如图，分别以D为坐标原点，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C，0,0,2P，所以1,0,2PA ，1,1,2PB ，0,2,2PC ，假设平面PBC的一个法向量为(,)mx y z，则有2001,1,20220 xyzm PBmm PCyz ，设直线PA与平面PBC所成角的平面角为，则有1 23sincos,632m PAm PAmPA （3）解：假设存在点(,)Q x y z，满足题意，且此时(01)PQPC ，即得 0,2,2,20,2,22x y zQ，则有0,2,22DQ，(1,0,0)DA ，假设平面DAQ的一个法向量为(,)na b c，则有022(22)00,1,100n DQbcnn DAa，又因为平面PBC的一个法向量为1,1,2m，根据题意，则有2221111coscos,3222211m nm nmn ，解之可得，23，即得23PQPCuuu ruuu r，即点Q为线段PC上靠近点C的一个三等分点，坐标为420,33Q18(本题 15 分)已知过点23()22，P的椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22.如图所示，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于AB，两点，直线:2l x 与x轴相交于点H，过点 A 作ADl，垂足为D.(1)求四边形(OAHB O为坐标原点)的面积的最大值；(2)求证：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.【答案】(1)最大值为2(2)证明见解析，3,02E【分析】（1）由题可得椭圆方程为：2212xy，则椭圆右焦点为1,0F，易知当斜率为 0 时不合题意，斜率不为 0 时，设直线AB的方程为1xmy，11,A x y，22,B xy，将直线方程与椭圆方程联立，可得四边形OAHB的面积为1212OHAOHBSSSOH yy，后利用韦达定理及基本不等式可得面积最值；（2）由（1）可得直线 BD 方程为：121222yyyyxx，令0y 可得：x 1212122my yyyyy，化简后可得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：222222314422ababccea，解得：222211abc，所以椭圆C的方程为2212xy，则椭圆的右焦点为1,0F，当直线AB的斜率等于0时不符合题意；设直线AB斜率不为 0 时，直线方程为1xmy，11,A x y，22,B xy，由22122xmyxy可得：222210mymy，则224420mm，12222myym，12212y ym，所以222121212222242 214222mmyyyyy ymmm，所以四边形OAHB的面积为221222112 212 2122222OHAOHBmmSSSOH yymm，设21mt，则1t，所以22 22 211tSttt，因为1122tttt，当且仅当1tt即1t，0m 时，1tt最小值为2，所以2 22 2212Stt，因为0S，可得02S所以四边形OAHB（O为坐标原点）的面积的最大值为2；（2）因为22,B xy，12,Dy，所以直线BD的斜率为1222yykx，所以直线BD的方程为：121222yyyyxx.令0y 可得：12212212121212121212212222yxmyyyx yymy yyyxyyyyyyyy.由（1）知：12222myym，12212y ym，则12122122mmy yyym所以12121212121323222yyyyyyxyyyy，则直线BD过定点3,02E.【点睛】关键点点睛：本题涉及圆锥曲线中的面积及直线过定点问题，难度较大.（1）问所涉面积表达式利用韦达定理整理后多为分式形式，常利用换元，上下同除等手段处理；（2）问所涉直线参数较多，但题目可由对称性确定定点在 x 轴上，故令0y.19(本题 15 分)已知 na为等差数列，数列 nb满足12nnbbn N，且114ab，24b，35a.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)若,nnnna ncanb为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和；(3)设 na的前n项和为nS，证明：111724niiinbSN.【答案】(1)3122nna，2nnb(2)2332322 4nnnn(3)证明见解析【分析】（1）分析可知 nb为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列 nb的通项公式；（2）求出数列 nc的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列 nc的前2n项和；（3）先证明柯西不等式222222212121 12 2nnn nssstttsts ts t，求出nS，然后利用柯西不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：由12nnbbn N及24b 可知，数列 nb是以2为公比的等比数列，所以，2122bb，故12 22nnnb，设等差数列 na的公差为d，由111312425abaaad，可得12a，32d，所以，33121222nnan.（2）解：131,2231,2nnnncnn为奇数为偶数，设数列 nc的前n项和为nT，21221321242nnnnTccccccccc，记1321nnAccc，242nnBccc，所以，213212313253122nnnnnnAcccn，2423572171319612222nnnnBccc，5721231713656142222nnnnnB，可得157212323311376666176116414822228214nnnnnnnB11711619698442 482 4nnnnn，所以，32322 4nnnB，因此，22332322 4nnnnnnnTAB.（3）证明：先证明柯西不等式222222212121 12 2nnn nssstttsts ts t，构造函数 2221122nnf xs xts xts xtn N，显然 0f x 且 2222222121 12 2122nn nnfxsssxs ts ts txttt，所以，22222221 12 21212440n nnnsts ts tsssttt，即222222212121 12 2nnn nssstttsts ts t，当且仅当,1,2,i jj ists t i jn时，等号成立，本题中，由（1）可得21312352224nnnnn aannS，所以，2111352nnnbSnn，且2111 11353131nnn nnn，所以，211111111111113532231313niiinnn，221111111114144111244434314nnnini，所以，22211111171114424352339nnniiiiiiiibS，但23522nnnnnSb不恒为常数，所以等号不成立，则11217324niiinbSN.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于n na b结构，其中 na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nna a结构，其中 na是等差数列，公差为0d d，则111111nnnna adaa，利用裂项相消法求和.20(本题 15 分)已知函数 exf x，22Rg xxxa a(1)讨论函数 h xf xg x的单调性；(2)记 ,0,0fxxxg xx，设11,A xx，22,B xx为函数 x图象上的两点，且12xx（）当1 0 x，20 x 时，若 x在点,A B处的切线相互垂直，求证：211xx；（ii）若 x在点,A B处的切线重合，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)（）证明见解析；（ii）314a【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（2）（）求出21xx的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；（ii）求出,A B的坐标，分别求出曲线在,A B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可.【详解】（1）2e2xh xxxa，则 2e2xhxxa，当20a即2a 时，0h x，h x在R上单调递减，当20a时即2a 时，2e2e22xxhxxaxaxa ，令 0h x，得2xa 或2xa；令 0h x，得22axa；此时 h x在,2a 和2,a上单调递减，在2,2aa上单调递增；（2）（）22gxx，据题意有1222221xx，又120 xx，则1220 x且2220 x1222221xx，所以 21121212222222212xxxxxx，当且仅当1222221xx，即112x，232x 时取等号（ii）要在点,A B处的切线重合，首先需要在点,A B处的切线的斜率相等，而0 x 时，e0,1xxfx，则必有1201xx，即11,exA x，2222,2B xxxa，A处的切线方程是：111111eeee1xxxxyxxyxx，B处的切线方程是：22222222yxxaxxx ，即22222yxxxa，据题意则111121212e2244ee48e1xxxxxaxxxa ，1,0 x ，设 ee48xxp xx，0 x，2ee22xxpxx，令()e22xq xx，0()e20 xxq x在(,0)上恒成立,则()q x在(,0)上单调递增()(0)10q xq ,则在,0上，2ee220 xxpxx p x在,0上单调递增，则()(0)7p xp,令()e48,0 xr xxx，则()e40()xr xr x在(,0)上单调递增,所以()(0)70r xr ，故()ee480 xxp xx 在(,0)恒成立即当(,0)x 时()p x的值域是(0,7)，故3440,714aa ，即为所求【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数学参考答案一、选择题（本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）123456789DACCCCDDA二填空题：（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分。）10、211、6012、18)1(22 yx13、414、15898 15、1)27,0(三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）16（15 分）【详解】（1）由15 cossin0bAaB及正弦定理，得15sin cossin sin0BAAB，.2 分因为0,sin0BB，所以sin15cosAA，且cos0A.4 分又22sincos1AA，可得1cos4A .6 分（2）因为2 6a，4b 由余弦定理，得2222 642cc，.8 分即2280cc，解得2c(负值舍去).9 分（3）由（1）及15 cossin0bAaB，2 6a，4b，得10sin4B，.10 分从而6cos4B.11 分由（1）得215sin1 cos4AA.13 分15sin22sin cos8AAA，27cos22cos18AA ，所以cos 2cos2 cossin2 sinABABAB7615106848416 .15 分17（15 分）【详解】（1）证明：如图，设PC与DE交于点N，连接MN，四边形PDCE为矩形，N为PC的中点，又因为M为PA的中点，.2 分/MNAC，而MN平面MDE，AC 平面MDE，/AC平面MDE；.4 分（2）解：因为平面PDCE 平面ABCD，平面PDCE 平面ABCDDC，PDDC，PD 平面PDCE，所以PD 平面ABCD，.6 分因为AD 平面ABCD，所以PDAD，因为90BADADC，.7 分所以DA，DC，DP两两垂直，所以如图，分别以D为坐标原点，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C，0,0,2P，所以1,0,2PA ，1,1,2PB ，0,2,2PC ，.8 分假设平面PBC的一个法向量为(,)mx y z，则有2001,1,20220 xyzm PBmm PCyz ，设直线PA与平面PBC所成角的平面角为，则有1 23sincos,632m PAm PAmPA .10 分（3）解：假设存在点(,)Q x y z，满足题意，且此时(01)PQPC ，即得 0,2,2,20,2,22x y zQ，则有0,2,22DQ，(1,0,0)DA ，.12 分假设平面DAQ的一个法向量为(,)na b c，则有022(22)00,1,100n DQbcnn DAa，又因为平面PBC的一个法向量为1,1,2m，.13 分根据题意，则有2221111coscos,3222211m nm nmn ，解之可得，23，.1