数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02含答案.pdf

2024 届新高三开学摸底考试卷届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）（新高考专用）02数数学学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 8 题题，每小题每小题 5 分分，共计共计 40 分分。每小题列出的四个选项中只有一每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）项是最符合题目要求的）1若集合2log10,210AxxBxxx，则ARB（）A0,4B1,4C0,2D1,22已知xR，则“0 x”是“23xx”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3已知函数()f x的定义域为1,9，且当19x时，()2f xx，则22()()yf xf x的值域为（）A1,3B1,9C12,36D12,2044已知6log 3a，3log2b，0.10.5c，则（）AabcBbcaCcabDbac5分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成 1 级科赫曲线“”，将 1 级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到 2 级科赫曲线，同理可得3 级科赫曲线，在分形几何中，若一个图形由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成，则称logrDN为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（）A2log 3B3log 2C1D32log 26已知正实数,x y满足121xy，则22xyxy的最小值为（）A2B4C8D97若函数21()ln2f xxxax=+有两个极值点12,x x，且125fxfx，则（）A4 2a B2 2a C2 2a D4 2a 8已知函数 1,0ln,0axxf xx x，若存在00 x，使得00fxfx 成立，则实数a的取值范围是（）A,1 B,1C1,D1,1二、二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 题题，每小题每小题 5 分分，共计共计 20 分分。每小题列出的四个选项中有多项每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得是符合题目要求的，漏选得 2 分，多选或错选不得分）分，多选或错选不得分）9下列结论中，所有正确的结论是（）A若0,0abcd，则acbdB命题000:1,e1xpxx的否定是：1,e1xxx C若0ab且0c，则bcbacaD若20,1xaxx，则实数,2a 10下列结论中，正确的是（）A若0 xy，2xyxy，则2xy的最小值为 8B若3x ，则函数13yxx的最小值为1C已知正数 a，b 满足abab，则11211abD已知0a，0b，且21ab，则2ab11已知函数 lg,01062,108xxf xxx，令 g xfxm，则（）A0m 或1m时，()g x有 1 个零点B若 g x有 2 个零点，则0m 或1m C fx的值域是2,D若 g x有 3 个零点123,x xx，且123xxx，则123x x x的取值范围为10,1112已知函数 e1xfxx，1 lng xxx，则（）A函数 g x在0,上存在唯一极值点B fx为函数 fx的导函数，若函数 h xfxa有两个零点，则实数a的取值范围是211,1eC若对任意0 x，不等式2lnf axfx恒成立，则实数a的最小值为2eD若 120f xg xt t，则12ln1txx 的最大值为1e三、填空题（每小题三、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分）13已知函数 3,10N5,10nnf nnff nn，则(8)f的值为_.14已知函数 exf xx，若曲线 yf x在点00,xf x处的切线方程为0axy，则0 x的值为_15已知命题:Rpx，使得“2210axx 成立”为真命题，则实数 a 的取值范围是_16设 x表示不超过x的最大整数，如 3,22.已知函数 1e,1e,1xxaxf xxaxx有且只有 4个零点，则实数a的取值范围是_.四四、解答题解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17 题题 10 分分，其余各题每题各其余各题每题各 12 分分）17设全集U R，23log1xAx yx，1,6Baa(1)当 a1 时，求AB，UAB；(2)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围18已知函数2()xf xaxb（a，b 为常数）且方程()120f xx有两个实根为123,4xx(1)求函数 fx的解析式；(2)设2k，解关于 x 的不等式：(1)()2kxkf xx19已知 2log424xxfxb（实数b为常数）(1)当=5b时，求函数 yf x的定义域D，判断奇偶性，并说明理由；(2)若不等式 f xx当2,x时均成立，求实数b的取值范围20某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业，每一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量()f t、国外市场的日销售量()g t与第一批产品 A 的上市时间 t的关系式；(2)第一批产品 A 上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？21已知函数2()ln(1)(0)2kf xxxxk求 fx的单调区间22已如 23e2xfxx(1)求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；(2)判断 fx极值点个数，并说明理由；(3)解不等式 13e2fx 2024 届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02数学答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D二、多项选择题（全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分，共 20 分）9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_14_15_16_四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）18（12 分）准考证号：姓名：_贴条形码区此栏考生禁填缺考标记1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂注意事项19（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）22（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届新高三开学摸底考试卷届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）（新高考专用）02数数学学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。三、三、单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分。每小题列出的四个分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）选项中只有一项是最符合题目要求的）1若集合2log10,210AxxBxxx，则ARB（）A0,4B1,4C0,2D1,2【答案】D【详解】由2log10 x 可得：01 1x，解得：14x，由210 xx可得：210 xx，解得：2x 或1x ，所以RB12xx，14Axx，所以ARB1,2故选：D.2已知xR，则“0 x”是“23xx”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【答案】C【详解】因为20 x，则23xx等价于132x，又因为32xy在定义域内单调递增，则132x等价于0 x，即23xx等价于0 x，故“0 x”是“23xx”的充要条件.故选：C.3已知函数()f x的定义域为1,9，且当19x时，()2f xx，则22()()yf xf x的值域为（）A1,3B1,9C12,36D12,204【答案】C【详解】由()f x的定义域为1,9，22()()yf xf x，则21919xx，即1,3x，所以2222(2)22462(1)4yxxxxx，因为1,3x，所以函数y在1,3x上单调递增，当1,12xy，当3,36xy，故函数y的值域为12,36.故选：C4已知6log 3a，3log2b，0.10.5c，则（）AabcBbcaCcabDbac【答案】D【详解】易知，6log 31a，3log21b，而100.10.50.5c，故,ca cb，又因为66122log 3l9oga，3322log2log12b，故22ab，即ab，所以bac，故选：D.5分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成 1 级科赫曲线“”，将 1 级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到 2 级科赫曲线，同理可得 3 级科赫曲线，在分形几何中，若一个图形由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成，则称logrDN为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（）A2log 3B3log 2C1D32log 2【答案】D【详解】由题意Koch曲线是由把全体缩小13的 4 个相似图形构成的，则其相似的分形维数是33log 42log 2D，故选：D.6已知正实数,x y满足121xy，则22xyxy的最小值为（）A2B4C8D9【答案】C【详解】122221222xyxyxyxyxyxyxy=2422yxxyxy，而12442124428xyx yxyxyxyyxyx，当且仅当4121xyyxxy，即2,4xy取等.故选：C.7若函数21()ln2f xxxax=+有两个极值点12,x x，且125fxfx，则（）A4 2a B2 2a C2 2a D4 2a 【答案】C【详解】因为函数21()ln2f xxxax=+有两个极值点12,x x，又函数21()ln2f xxxax=+的定义域为0,，导函数为21()xaxfxx，所以方程210 xax 由两个不同的正根，且12,x x为其根，所以240aa，120 xxa，121x x，所以a0，则22211122212121212111lnlnln222xxaxxxaxx xxxx xa xx22211ln11122aaa ，又125fxfx，即21152a ，可得280a，所以2 2a 或2 2a （舍去），故选：C.8已知函数 1,0ln,0axxf xx x，若存在00 x，使得00fxfx 成立，则实数a的取值范围是（）A,1 B,1C1,D1,1【答案】B【详解】由题意00lnf xx，001fxax，即00ln1xax有解，先求1yax与lnyx相切时，1yax过定点(0,1)，lnyx的导数1yx，设切点为11,lnxx，则由导数可知11kx，所以111ln110 xkaxx，解得11x，即切点为(1,0)，此时切线斜率1a，作出函数图象，如图，由图象可知，当1a 时，存在存在00 x，使得00fxfx 成立.故选：B四、四、多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分。每小题列出的四个分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得选项中有多项是符合题目要求的，漏选得 2 分，多选或错选不得分）分，多选或错选不得分）9下列结论中，所有正确的结论是（）A若0,0abcd，则acbdB命题000:1,e1xpxx的否定是：1,e1xxx C若0ab且0c，则bcbacaD若20,1xaxx，则实数,2a【答案】AB【详解】对 A，0cd，则0cd ，又0ab，则0acbc，acbd，故 A正确；对 B，命题000:1,e1xpxx的否定是：1,e1xxx，故 B 正确；对 C，a bcb acab cbcbacaa aca ac，因为0ab且0c，故0ab ca ac，即bcbaca，故 C 错误；对 D，当2a，1x 时，21axx不成立，故 D 错误；故选：AB10下列结论中，正确的是（）A若0 xy，2xyxy，则2xy的最小值为 8B若3x ，则函数13yxx的最小值为1C已知正数 a，b 满足abab，则11211abD已知0a，0b，且21ab，则2ab【答案】ACD【详解】对于 A，因为0 xy，2xyxy，所以0 x，0y，且121xy，则1244224428yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即24yx时取等号，所以2xy的最小值为 8，故 A 正确；对于 B，若3x ，则30 x，则30 x ，则111332335333yxxxxxx ，当且仅当133xx ，即4x 时取等号，所以函数13yxx的最大值为5，故 B 错误对于 C，因为正数 a，b 满足abab，所以111ab，且1a，1b，所以111221111abab，当且仅当2ab时等号成立，故 C 正确.对于 D，0a，0b，且21ab，212aba b，222 abab，22ab，当且仅当22ab取等号，故 D 正确.故选：ACD11已知函数 lg,01062,108xxf xxx，令 g xfxm，则（）A0m 或1m时，()g x有 1 个零点B若 g x有 2 个零点，则0m 或1m C fx的值域是2,D若 g x有 3 个零点123,x xx，且123xxx，则123x x x的取值范围为10,11【答案】BCD【详解】由函数 lg,01062,108xxf xxx，画出函数 fx的图象，如图所示，由函数 g xfxm，则 g x的零点，即 0f xm，即函数 yf x与ym的交点横坐标，对于 A 中，当2m 时，函数 g x没有零点，所以 A 错误；对于 B 中，要使得函数 g x有 2 个零点，即函数 yf x与ym有两个不同的交点，结合图象，可得0m 或1m，所以 B 正确；对于 C 中，由函数 fx的图象，可得函数的值域为2,，所以 C 正确；对于 D 中，由 g x有 3 个零点123,x xx，且123xxx，可得1230110 xxx，由12lglgxx，即12lglgxx，所以1212lglglg0 xxx x，可得121x x，又由360218x，解得31011x，所以123x x x的取值范围为10,11，所以 D 正确.故选：BCD.12已知函数 e1xfxx，1 lng xxx，则（）A函数 g x在0,上存在唯一极值点B fx为函数 fx的导函数，若函数 h xfxa有两个零点，则实数a的取值范围是211,1eC若对任意0 x，不等式2lnf axfx恒成立，则实数a的最小值为2eD若 120f xg xt t，则12ln1txx 的最大值为1e【答案】BCD【详解】对于 A：11lngxxx，令11()1lng xxx，则 122111xgxxxx，令 10gx，解得：1x，令 10gx，解得：01x，故 gx在1,单调递增，在0,1单调递减，故 120gxg，故 g x在0,单调递增，函数 g x在0,上无极值点，故 A错误；对于 B：()e1e(1)e1xxxfxxx，令1()(1)e1xf xx，则1()e(1)e(2)exxxf xxx，当 0 x，1e0 x，21x，由 A 知，(1)lng xxx在0,上单调递增，故12exx，所以1121lnlnln1(e1)xtttxxxt，设ln()ttt，则 21 lnttt，令 0t，解得：0et，令 0t，解得：te，故 t在0,e上单调递增，在e,上单调递减，故 max1eet，此时1122ee11 lnxxxx，故12ln1txx 的最大值是1e，故 D 正确；故选：BCD三、填空题（每小题三、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分）13已知函数 3,10N5,10nnf nnff nn，则(8)f的值为_.【答案】7【详解】由题意，函数 3,10N5,10nnf nnff nn，则 8(85)(13 3)(10)1037fffff.故答案为：7.14 已知函数 exf xx，若曲线 yf x在点00,xf x处的切线方程为0axy，则0 x的值为_【答案】2【详解】函数e()xf xx，求导得2(1)()xxefxx，依题意，0020(1)exxax，又000e0 xaxx，消去 a 得：0002200(1)eexxxxx，而020e0 xx，解得02x，所以0 x的值为 2.故答案为：215已知命题:Rpx，使得“2210axx 成立”为真命题，则实数 a 的取值范围是_【答案】,1【详解】因为命题:Rpx，使得“2210axx 成立”为真命题，当0a 时，210 x，则12x ，故成立；当0a 时，440a，解得：01a；当a，函数 fx在1,x上单调递增，当12xxx时，0g x，即 0fx，函数 fx在12,x x上单调递减，当2xx时，0g x，即()0fx，函数 fx在2x，上单调递增，所以1xx为函数 fx的极大值点，2xx为函数 fx的极小值点，所以函数 fx有两个极值点；（3）因为函数 fx在1,x上单调递增，10,ln3x，131e2f，所以当1xx时，不等式 13e2fx 的解为11xx，因为函数 fx在12,x x上单调递减，在2x，上单调递增，所以函数 fx在1,x 上的最小值为2f x，因为2ln3,2x，222e30 xg xx，所以22222222233113e3310222e2xfxxxxxx，所以当1xx时，不等式 13e2fx 的解为1xx，所以不等式 13e2fx 的解集为1,.2024 届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02数学数学答案及评分标准答案及评分标准一、选择题一、选择题123456789101112DCCDDCCBABACD BCD BCD二、二、填空题填空题13714215,1165422,65e3 三、三、解答题解答题17（10 分）【详解】（1）令301xx可得310 xx，解得13x，所以13Axx，|1UAx x 或3x 当1a 时，0,7B，所以|03ABxx，|1UABx x 或0 x.5 分（2）由“xA”是“xB”的充分不必要条件可得，集合A是集合B的真子集，又13,1,6AxxBaa，所以1163aa ，解得30a，故实数 a 的取值范围为30aa10 分18（12 分）【详解】（1）将123,4xx代入2()12120 xf xxxaxb，可得：990316804abab，解得12ab，则2()2xf xx，因为20 x，则2x，即12ab 符合题意，所以2(),22xf xxx.6 分（2）由（1）可得：2(1)()22xkxkf xxx，整理得102xxkx，则120 xxxk，令120 xxxk，解得1x 或2x 或xk，且2k，可得12x或xk，所以不等式的解集为1,2,k U.12 分19（12 分）【详解】（1）当=5b时，2log45 24xxf x ，则45 242124024xxxxx 或21x，解之得2x 或0 x，即,02,D ，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；4 分（2）当2,x时，f xx，2logyx为单调递增函数，故 24242log2xxxxf xbx，令22xtx，则4t，故22441401ttbtbttt ，由对勾函数的性质可知4ytt 在2,上单调递减，故44454tt ，所以154bb ，即b的取值范围为4,.8 分20（12 分）【详解】（1）当030t 时，设 f tktb，则有03060bkb，解得20kb，所以 2f tt，当3040t 时，设 f tmtn，则有3060400mnmn，解得6240mn，所以 6240f tt，综上 2,0306240,3040ttf ttt ，设 22060g ta t，则有400600a，解得320a ，所以 2233206060402020g ttttt ；6 分（2）设每件产品的利润为 h t，日销售利润为 F t，当020t 时，设 h tkt，则有2060k，解得3k，所以 3h tt，当2040t 时，60h t，综上 3,02060,2040tth tt ，所以 3222924,020209480,2030914400,3040tttF th tf tg tttttt ，当020t 时，29602727480 0202020ttF tttt ，所以函数 F t在0,20上递增，所以 max206000F tF，当20t30 时，280964003F tt，则 max276399F tF，当3040t 时，2914400306300F ttF，综上所述，max6399F t，所以第27天这家公司的日销售利润最大，最大是6399万元.12 分21（12 分）【详解】当0k 时，()ln(1),1,f xxx x ,1()111xfxxx,(1,0),0,xfx()f x的单调递增区间是(1,0)，(0,),0,xfx()f x单调递减区间是(0,)4 分当0k 时，2()ln(1)(0),1,2kf xxxxkx,2111()1111kkx xkxkxkfxkxxxx 6 分当01k时，1,1,0,0kxfxk,()f x的单调递增区间是(1,0)和1,kk，10,0kxfxk,()f x单调递减区间是10,kk8 分当1k 时，21()011kkx xkxkfxxx,()f x的单调递增区间是(1,)10 分当1k 时，11,0,0,kxfxk()f x得单调递增区间是11,kk和(0,)，1,0,0,kxfxk()f x单调递减区间是1,0kk.12 分22（12 分）【详解】（1）函数 23e2xf xx的定义域为R，导函数 e3xfxx，所以 01f，01f，所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线斜率为 1，所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为10 xy.3 分（2）设 e3xg xx，则 e3xgx，令 0gx，可得ln3x，又 e3xgx为R上的增函数，当ln3x 时，0g x，函数 e3xg xx在,ln3上单调递减，当ln 3x 时，0gx，函数 e3xg xx在ln3,上单调递增，又ln3ln3e3ln333ln30g，00e010g，22e60g，所以存在120,ln3,ln3,2xx使得 12=0g xg x，5 分当1xx时，0g x，即()0fx，函数 f x在1,x上单调递增，当12xxx时，0g x，即 0fx，函数 f x在12,x x上单调递减，当2xx时，0g x，即()0fx，函数 f x在2x，上单调递增，所以1xx为函数 f x的极大值点，2xx为函数 f x的极小值点，所以函数 f x有两个极值点；7 分（3）因为函数 f x在1,x上单调递增，10,ln3x，131e2f，所以当1xx时，不等式 13e2fx 的解为11xx，因为函数 f x在12,x x上单调递减，在2x，上单调递增，所以函数 f x在1,x 上的最小值为2f x，10 分因为2ln3,2x，222e30 xg xx，所以22222222233113e3310222e2xfxxxxxx，所以当1xx时，不等式 13e2fx 的解为1xx，所以不等式 13e2fx 的解集为1,.12 分