2018陕西省商洛中考数学真题及答案.pdf

20182018 陕西省商洛中考数学真题及答案陕西省商洛中考数学真题及答案（满分 120 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分。每小题只有一个选项是符合题意的）1（3 分）的倒数是（）ABCD2（3 分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A正方体B长方体C三棱柱D四棱锥3（3 分）如图，若 l1l2，l3l4，则图中与1 互补的角有（）A1 个B2 个C3 个 D4 个4（3 分）如图，在矩形 AOBC 中，A（2，0），B（0，1）若正比例函数 y=kx 的图象经过点 C，则 k 的值为（）ABC2D25（3 分）下列计算正确的是（）Aa2a2=2a4B（a2）3=a6C3a26a2=3a2D（a2）2=a246（3 分）如图，在ABC 中，AC=8，ABC=60，C=45，ADBC，垂足为 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为（）AB2CD37（3 分）若直线 l1 经过点（0，4），l2 经过点（3，2），且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，则 l1 与 l2 的交点坐标为（）A（2，0）B（2，0）C（6，0）D（6，0）8（3 分）如图，在菱形 ABCD 中点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点，连接 EF、FG、CH 和HE若 EH=2EF，则下列结论正确的是（）AAB=EF BAB=2EFCAB=EF DAB=EF9（3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB=AC，BCA=65，作 CDAB，并与O 相交于点 D，连接BD，则DBC 的大小为（）A15 B35 C25 D4510（3 分）对于抛物线 y=ax2+（2a1）x+a3，当 x=1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，计 12 分）11（3 分）比较大小：3（填“”、“”或“=”）12（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 的度数为13（3 分）若一个反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，1），则这个反比例函数的表达式为14（3 分）如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E、F 是 AB 边上的点，且 EF=AB；G、H 是 BC 边上的点，且 GH=BC，若 S1，S2 分别表示EOF 和GOH 的面积，则 S1 与 S2 之间的等量关系是三、解答题（共 11 小题，计 78 分。解答应写出过程）15（5 分）计算：（）（）+|1|+（52）016（5 分）化简：（）17（5 分）如图，已知：在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一定点，连接 AM请用尺规作图法，在 AM 上作一点 P，使DPAABM（不写作法，保留作图痕迹）18（5 分）如图，ABCD，E、F 分别为 AB、CD 上的点，且 ECBF，连接 AD，分别与 EC、BF 相交于点 G，H，若 AB=CD，求证：AG=DH19（7 分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成 A、B、C、D 四组，绘制了如下统计图表：“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表组别分数/分频数各组总分/分A60 x70382581B70 x80725543C80 x90605100D90 x100m2796依据以上统计信息解答下列问题：（1）求得 m=，n=；（2）这次测试成绩的中位数落在组；（3）求本次全部测试成绩的平均数20（7 分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线已知：CBAD，EDAD，测得 BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB21（7 分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4038售价（元/袋）6054根据上表提供的信息解答下列问题：（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共 3000kg，获得利润 4.2 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况，估计今年 6 月到 10 月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于 600kg假设这后五个月，销售这种规格的红枣为 x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为 y（元），求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元22（7 分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为 120转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）（1）转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率23（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，分别与 AC、BC 交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NEAB；（2）连接 MD，求证：MD=NB24（10 分）已知抛物线 L：y=x2+x6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），并与 y 轴相交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标，并求ABC 的面积；（2）将抛物线 L 向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x 轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式25（12 分）问题提出（1）如图，在ABC 中，A=120，AB=AC=5，则ABC 的外接圆半径 R 的值为问题探究（2）如图，O 的半径为 13，弦 AB=24，M 是 AB 的中点，P 是O 上一动点，求 PM 的最大值问题解决（3）如图所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中 AB=6km，AC=3km，BAC=60，所对的圆心角为 60，新区管委会想在路边建物资总站点 P，在 AB，AC 路边分别建物资分站点 E、F，也就是，分别在、线段 AB 和 AC 上选取点 P、E、F 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 PEFP的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE、EF 和 FP为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE、EF、FP 之和最短，试求 PE+EF+FP 的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）2018 年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分。每小题只有一个选项是符合题意的）1（3 分）的倒数是（）ABCD【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为 1，即可解答【解答】解：的倒数是，故选：D【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2（3 分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A正方体B长方体C三棱柱D四棱锥【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱故选：C【点评】考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为椎体3（3 分）如图，若 l1l2，l3l4，则图中与1 互补的角有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案【解答】解：l1l2，l3l4，1+2=180，2=4，4=5，2=3，图中与1 互补的角有：2，3，4，5 共 4 个故选：D【点评】此题主要考查了平行线的性质，注意不要漏角是解题关键4（3 分）如图，在矩形 AOBC 中，A（2，0），B（0，1）若正比例函数 y=kx 的图象经过点 C，则 k 的值为（）ABC2D2【分析】根据矩形的性质得出点 C 的坐标，再将点 C 坐标代入解析式求解可得【解答】解：A（2，0），B（0，1）OA=2、OB=1，四边形 AOBC 是矩形，AC=OB=1、BC=OA=2，则点 C 的坐标为（2，1），将点 C（2，1）代入 y=kx，得：1=2k，解得：k=，故选：A【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式5（3 分）下列计算正确的是（）Aa2a2=2a4B（a2）3=a6C3a26a2=3a2 D（a2）2=a24【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得【解答】解：A、a2a2=a4，此选项错误；B、（a2）3=a6，此选项正确；C、3a26a2=3a2，此选项错误；D、（a2）2=a24a+4，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式6（3 分）如图，在ABC 中，AC=8，ABC=60，C=45，ADBC，垂足为 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为（）AB2CD3【分析】在 RtADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出 AD 的长度，在 RtADB 中，由 AD 的长度及ABD 的度数可求出 BD 的长度，在 RtEBD 中，由 BD 的长度及EBD 的度数可求出 DE 的长度，再利用 AE=ADDE 即可求出 AE 的长度【解答】解：ADBC，ADC=ADB=90在 RtADC 中，AC=8，C=45，AD=CD，AD=AC=4在 RtADB 中，AD=4，ABD=60，BD=AD=BE 平分ABC，EBD=30在 RtEBD 中，BD=，EBD=30，DE=BD=，AE=ADDE=故选：C【点评】本题考查了解直角三角形、含 30 度角的直角三角形、等腰直角三角形以及特殊角的三角函数，通过解直角三角形求出 AD、DE 的长度是解题的关键7（3 分）若直线 l1 经过点（0，4），l2 经过点（3，2），且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，则 l1 与 l2 的交点坐标为（）A（2，0）B（2，0）C（6，0）D（6，0）【分析】根据对称的性质得出两个点关于 x 轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与 x 轴的交点即可【解答】解：直线 l1 经过点（0，4），l2 经过点（3，2），且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，两直线相交于 x 轴上，直线 l1 经过点（0，4），l2 经过点（3，2），且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，直线 l1 经过点（3，2），l2 经过点（0，4），把（0，4）和（3，2）代入直线 l1 经过的解析式 y=kx+b，则，解得：，故直线 l1 经过的解析式为：y=2x+4，可得 l1 与 l2 的交点坐标为 l1 与 l2 与 x 轴的交点，解得：x=2，即 l1 与 l2 的交点坐标为（2，0）故选：B【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出 l1 与 l2 的交点坐标为 l1 与 l2 与 x 轴的交点是解题关键8（3 分）如图，在菱形 ABCD 中点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点，连接 EF、FG、CH 和HE若 EH=2EF，则下列结论正确的是（）AAB=EF BAB=2EFCAB=EF DAB=EF【分析】连接 AC、BD 交于 O，根据菱形的性质得到 ACBD，OA=OC，OB=OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形 EFGH 是矩形，根据勾股定理计算即可【解答】解：连接 AC、BD 交于 O，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OA=OC，OB=OD，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点，EF=AC，EFAC，EH=BD，EHBD，四边形 EFGH 是矩形，EH=2EF，OB=2OA，AB=OA，AB=EF，故选：D【点评】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键9（3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB=AC，BCA=65，作 CDAB，并与O 相交于点 D，连接BD，则DBC 的大小为（）A15 B35 C25 D45【分析】根据等腰三角形性质知CBA=BCA=65，A=50，由平行线的性质及圆周角定理得ABD=ACD=A=50，从而得出答案【解答】解：AB=AC、BCA=65，CBA=BCA=65，A=50，CDAB，ACD=A=50，又ABD=ACD=50，DBC=CBAABD=15，故选：A【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质10（3 分）对于抛物线 y=ax2+（2a1）x+a3，当 x=1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把 x=1 代入解析式，根据 y0，得出关于 a 的不等式，得出 a 的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可【解答】解：把 x=1，y0 代入解析式可得：a+2a1+a30，解得：a1，所以可得：，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C【点评】此题考查抛物线与 x 轴的交点，关键是得出 a 的取值范围，利用二次函数的性质解答二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，计 12 分）11（3 分）比较大小：3（填“”、“”或“=”）【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大【解答】解：32=9，=10，3【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等12（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 的度数为72【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，EAB=ABC=108，BA=BC，BAC=BCA=36，同理ABE=36，AFE=ABF+BAF=36+36=72，故答案为：72【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键13（3 分）若一个反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，1），则这个反比例函数的表达式为【分析】设反比例函数的表达式为 y=，依据反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，1），即可得到 k 的值，进而得出反比例函数的表达式为【解答】解：设反比例函数的表达式为 y=，反比例函数的图象经过点 A（m，m）和 B（2m，1），k=m2=2m，解得 m1=2，m2=0（舍去），k=4，反比例函数的表达式为故答案为：【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k14（3 分）如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E、F 是 AB 边上的点，且 EF=AB；G、H 是 BC 边上的点，且 GH=BC，若 S1，S2 分别表示EOF 和GOH 的面积，则 S1 与 S2 之间的等量关系是=【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出=，=，再由点 O 是ABCD 的对称中心，根据平行四边形的性质可得 SAOB=SBOC=SABCD，从而得出 S1 与 S2 之间的等量关系【解答】解：=，=，S1=SAOB，S2=SBOC点 O 是ABCD 的对称中心，SAOB=SBOC=SABCD，=即 S1 与 S2 之间的等量关系是=故答案为=【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出=，=是解题的关键三、解答题（共 11 小题，计 78 分。解答应写出过程）15（5 分）计算：（）（）+|1|+（52）0【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可【解答】解：原式=+1+1=3+1+1=4【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍16（5 分）化简：（）【分析】先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得【解答】解：原式=【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则17（5 分）如图，已知：在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一定点，连接 AM请用尺规作图法，在 AM 上作一点 P，使DPAABM（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过 D 点作 DPAM，利用相似三角形的判定解答即可【解答】解：如图所示，点 P 即为所求：DPAM，APD=ABM=90，BAM+PAD=90，PAD+ADP=90，BAM=ADP，DPAABM【点评】此题考查作图相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答18（5 分）如图，ABCD，E、F 分别为 AB、CD 上的点，且 ECBF，连接 AD，分别与 EC、BF 相交于点 G，H，若 AB=CD，求证：AG=DH【分析】由 ABCD、ECBF 知四边形 BFCE 是平行四边形、A=D，从而得出AEG=DFH、BE=CF，结合AB=CD 知 AE=DF，根据 ASA 可得AEGDFH，据此即可得证【解答】证明：ABCD、ECBF，四边形 BFCE 是平行四边形，A=D，BEC=BFC，BE=CF，AEG=DFH，AB=CD，AE=DF，在AEG 和DFH 中，AEGDFH（ASA），AG=DH【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质与平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质19（7 分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成 A、B、C、D 四组，绘制了如下统计图表：“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表组别分数/分频数各组总分/分A60 x70382581B70 x80725543C80 x90605100D90 x100m2796依据以上统计信息解答下列问题：（1）求得 m=30，n=19%；（2）这次测试成绩的中位数落在B组；（3）求本次全部测试成绩的平均数【分析】（1）用 B 组人数除以其所占百分比求得总人数，再用总人数减去 A、B、C 组的人数可得 m 的值，用 A 组人数除以总人数可得 n 的值；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）根据平均数的定义计算可得【解答】解：（1）被调查的学生总人数为 7236%=200 人，m=200（38+72+60）=30，n=100%=19%，故答案为：30、19%；（2）共有 200 个数据，其中第 100、101 个数据均落在 B 组，中位数落在 B 组，故答案为：B；（3）本次全部测试成绩的平均数为=80.1（分）【点评】本题主要考查中位数、频数分布直方图和扇形统计图，解题的关键是根据频数分布表和扇形图得出解题所需数据，并掌握中位数的定义20（7 分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线已知：CBAD，EDAD，测得 BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB【分析】由 BCDE，可得=，构建方程即可解决问题【解答】解：BCDE，ABCADE，=，=，AB=17（m），经检验：AB=17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21（7 分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4038售价（元/袋）6054根据上表提供的信息解答下列问题：（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共 3000kg，获得利润 4.2 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况，估计今年 6 月到 10 月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于 600kg假设这后五个月，销售这种规格的红枣为 x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为 y（元），求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元【分析】（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 x 袋根据总利润=42000，构建方程即可；（2）构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 x 袋由题意：20 x+16=42000解得 x=1500，答：这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋（2）由题意：y=20 x+16=12x+16000，600 x2000，当 x=600 时，y 有最小值，最小值为 23200 元答：这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题；22（7 分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为 120转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）（1）转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率【分析】（1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有 6 种等可能结果，其中转出的数字是2 的有 2 种结果，根据概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得【解答】解：（1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有 6 种等可能结果，其中转出的数字是2 的有 2 种结果，所以转出的数字是2 的概率为=；（2）列表如下：221133244226624422661221133122113336633993663399由表可知共有 36 种等可能结果，其中数字之积为正数的有 20 种结果，所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为=【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，分别与 AC、BC 交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NEAB；（2）连接 MD，求证：MD=NB【分析】（1）连接 ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB，则1=B，再证明2=3 得到 ONDB，接着根据切线的性质得到 ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=CND=90，则可判断四边形 CMDN 为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN，从而得到 MD=NB【解答】证明：（1）连接 ON，如图，CD 为斜边 AB 上的中线，CD=AD=DB，1=B，OC=ON，1=2，2=3，ONDB，NE 为切线，ONNE，NEAB；（2）连接 DN，如图，AD 为直径，CMD=CND=90，而MCB=90，四边形 CMDN 为矩形，DM=CN，DNBC，1=B，CN=BN，MD=NB【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和直角三角形斜边上的中线24（10 分）已知抛物线 L：y=x2+x6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），并与 y 轴相交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标，并求ABC 的面积；（2）将抛物线 L 向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x 轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式【分析】（1）解方程 x2+x6=0 得 A 点和 B 点坐标，计算自变量为 0 的函数值得到 C 点坐标，然后利用三角形面积公式计算ABC 的面积；（2）利用抛物线平移得到 AB=AB=5，再利用ABC和ABC 的面积相等得到 C（0，6），则设抛物线 L的解析式为 y=x2+bx6，所以 m+n=b，mn=6，然后利用|nm|=5 得到 b24（6）=25，于是解出 b 得到抛物线 L的解析式【解答】解：（1）当 y=0 时，x2+x6=0，解得 x1=3，x2=2，A（3，0），B（2，0），当 x=0 时，y=x2+x6=6，C（0，6），ABC 的面积=ABOC=（2+3）6=15；（2）抛物线 L 向左或向右平移，得到抛物线 L，AB=AB=5，ABC和ABC 的面积相等，OC=OC=6，即 C（0，6），设抛物线 L的解析式为 y=x2+bx6，设 A（m，0）、B（n，0），则 m、n 为方程 x2+bx6=0 的两根，m+n=b，mn=6，|nm|=5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b24（6）=25，解得 b=7 或7，抛物线 L的解析式为 y=x2+7x6 或 y=x27x6【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数图象与几何变换25（12 分）问题提出（1）如图，在ABC 中，A=120，AB=AC=5，则ABC 的外接圆半径 R 的值为5问题探究（2）如图，O 的半径为 13，弦 AB=24，M 是 AB 的中点，P 是O 上一动点，求 PM 的最大值问题解决（3）如图所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中 AB=6km，AC=3km，BAC=60，所对的圆心角为 60，新区管委会想在路边建物资总站点 P，在 AB，AC 路边分别建物资分站点 E、F，也就是，分别在、线段 AB 和 AC 上选取点 P、E、F 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 PEFP的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE、EF 和 FP为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE、EF、FP 之和最短，试求 PE+EF+FP 的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【分析】（1）设 O 是ABC 的外接圆的圆心，易证ABO 是等边三角形，所以 AB=OA=OB=5；（2）当 PMAB 时，此时 PM 最大，连接 OA，由垂径定理可知：AM=AB=12，再由勾股定理可知：OM=5，所以 PM=OM+OP=18，（3）设连接 AP，OP，分别以 AB、AC 所在直线为对称轴，作出 P 关于 AB 的对称点为 M，P 关于 AC 的对称点为 N，连接 MN，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PE、PF，所以 AM=AP=AN，设 AP=r，易求得：MN=r，所以 PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，即当 AP 最小时，PE+EF+PF 可取得最小值【解答】解：（1）设 O 是ABC 的外接圆的圆心，OA=OB=OC，A=120，AB=AC=5，ABO 是等边三角形，AB=OA=OB=5，（2）当 PMAB 时，此时 PM 最大，连接 OA，由垂径定理可知：AM=AB=12，OA=13，由勾股定理可知：OM=5，PM=OM+OP=18，（3）设连接 AP，OP分别以 AB、AC 所在直线为对称轴，作出 P 关于 AB 的对称点为 M，P 关于 AC 的对称点为 N，连接 MN，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PE、PF，AM=AP=AN，MAB=PAB，NAC=PAC，BAC=PAB+PAC=MAB+NAC=60，MAN=120M、P、N 在以 A 为圆心，AP 为半径的圆上，设 AP=r，易求得：MN=r，PE=ME，PF=FN，PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，当 AP 最小时，PE+EF+PF 可取得最小值，AP+OPOA，APOAOP，即点 P 在 OA 上时，AP 可取得最小值，设 AB 的中点为 Q，AQ=AC=3，BAC=60，AQ=QC=AC=BQ=3，ABC=QCB=30，ACB=90，由勾股定理可知：BC=3，BOC=60，OB=OC=3，OBC 是等边三角形，OBC=60，ABO=90由勾股定理可知：OA=3，OP=OB=3，AP=r=OAOP=33，PE+EF+PF=MN=r=39【点评】本题考查圆的综合问题，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识