2021年湖南省娄底市中考数学真题(解析版).pdf

2021 年 湖 南 省 娄 底 市 中 考 数 学 试 卷一、选择 题（本大 题共 12 小题，每小 题给 出的四 个选 项中，只有 一个 选项是 符合 题目要 求的，请把 你认 为符合 题目 要求的 选项填 涂在 答题卡 上相 应题号 下的 方框里）1.2 0 2 1 的 倒 数 是（）A.2 0 2 1 B.2 0 2 1 C.12 0 2 1D.12021【答 案】C【解 析】【分 析】直 接 根 据 倒 数 的 定 义 就 可 选 出 正 确 答 案【详 解】A：倒 数 是 本 身 的 数 是 1 和 1,选 项 错 误 B：-2 0 2 1 是 2 0 2 1 的 相 反 数,选 项 错 误 C：12 0 2 1=12 0 2 1,选 项 正 确 D：12 0 2 1=12 0 2 1,选 项 错 误 故 选：C【点 睛】本 题 考 查 倒 数 的 定 义，要 注 意 区 别 相 反 数 等 相 关 知 识，牢 记 定 义 是 解 题 的 关 键 2.下 列 式 子 正 确 的 是（）A.3 2a a a B.32 6a a C.3 2 6a a a D.32 5a a【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 幂 的 乘 方，底 数 不 变，指 数 相 乘;同 底 数 幂 相 乘，底 数 不 变 指 数 相 加;合 并 同 类 项 法 则 对 各选 项 分 析 判 断 后 利 用 排 除 法 求 解 选 择 正 确 选 项 即 可【详 解】A、3 2a a a，因 为3 2a a 和 不 属 于 同 类 项，不 能 进 行 加 减 合 并，故 A 错 误；B、6 232 3=a a a,故 B 正 确；C、5 3+2 2 3=a a a a，故 C 错 误；D、6 232 3=a a a，故 D 错 误 故 选：B【点 睛】本 题 考 查 幂 的 乘 方、同 底 数 幂 的 乘 法、合 并 同 类 项，熟 练 掌 握 运 算 性 质 和 法 则 是 解 题 的 关 键 3.2 0 2 1 年 5 月 1 9 日，第 三 届 阿 里 数 学 竞 赛 预 选 赛 顺 利 结 束，本 届 大 赛 在 全 球 范 围 内 吸 引 了 约 5 万 名 数 学 爱好 者 参 加 阿 里 数 学 竞 赛 旨 在 全 球 范 围 内 引 领 开 启 关 注 数 学、理 解 数 学、欣 赏 数 学、助 力 数 学 的 科 学 风 尚 5万 用 科 学 记 数 法 表 示 为（）A.50.5 1 0 B.45 1 0 C.45 0 1 0 D.55 1 0【答 案】B【解 析】【分 析】用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数 时，一 般 形 式 为 a 1 0n，其 中 1|a|1 0，n 为 整 数，据 此 判 断 即 可【详 解】解：5 万=5 0 0 0 0=45 1 0 故 选：B【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数，确 定 a 与 n 的 值 是 解 题 的 关 键 4.一 组 数 据 17,10,5,8,5,15 的 中 位 数 和 众 数 是（）A.5,5 B.8,5 C.9,5 D.1 0,5【答 案】C【解 析】【分 析】本 题 考 查 统 计 的 有 关 知 识，找 中 位 数 要 把 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列，位 于 最 中 间 的 一 个 数 或 两个 数 的 平 均 数 为 中 位 数;众 数 是 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据，注 意 众 数 可 以 不 止 一 个【详 解】这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为：5,5,8,1 0,1 5,1 7，因 此 中 位 数 为：8 1092+=，众 数 为：5，故 选：C【点 睛】本 题 考 查 了 众 数 和 中 位 数 的 知 识，熟 悉 基 础 概 念 是 解 题 的 关 键 5.如 图，点,E F 在 矩 形 A B C D 的 对 角 线 B D 所 在 的 直 线 上，B E D F，则 四 边 形 A E C F 是（）A.平 行 四 边 形 B.矩 形 C.菱 形 D.正 方 形【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 三 角 形 全 等 的 性 质 得，对 应 边 相 等 及 对 应 角 相 等，得 出 一 组 对 边 平 行 且 相 等，即 可 判 断 出 形状【详 解】解：由 题 意：/,A D B C A D B C B D，F D A E B C，又,A D B C B E D F，()A D F C B E SA S，A F E C，,/A F D C E B A F E C，四 边 形 A E C F 为 平 行 四 边 形，故 选：A【点 睛】本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质，三 角 形 全 等 的 判 定 定 理 及 性 质、平 行 四 边 形 的 判 定，解 题 的 关 键 是：掌握 平 行 四 边 形 判 定 定 理，利 用 三 角 形 全 等 去 得 出 相 应 条 件 6.如 图，/A B C D，点,E F 在 A C 边 上，已 知 70,130 C E D B F C，则 B D 的 度 数 为（）A.4 0 B.5 0 C.6 0 D.7 0【答 案】C【解 析】【分 析】取,E D F B 的 交 点 为 点 G，过 点 G 作 平 行 于 C D 的 线 M N，利 用 两 直 线 平 行 的 性 质，找 到 角 之 间的 关 系，通 过 等 量 代 换 即 可 求 解【详 解】解：取,E D F B 的 交 点 为 点 G，过 点 G 作 平 行 于 C D 的 线 M N，如 下 图：根 据 题 意：70,130 C E D B F C，50 E F G，180 50 70 60 E G F，/M N C D A B，,B B G N D D G N，B D B G N D G N B G D，,E D B F 相 交 于 点 G，60 E G F B G D，60 B D，故 选：C【点 睛】本 题 考 查 了 两 直 线 平 行 的 性 质 和 两 直 线 相 交 对 顶 角 相 等，解 题 的 关 键 是：添 加 辅 助 线，利 用 两 直线 平 行 的 性 质 和 对 顶 角 相 等，同 过 等 量 代 换 即 可 得 解 7.从 背 面 朝 上 的 分 别 画 有 等 腰 三 角 形、平 行 四 边 形、矩 形、圆 的 四 张 形 状、大 小 相 同 的 卡 片 中，随 机 抽 取一 张，则 所 抽 得 的 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为（）A.14B.12C.34D.1【答 案】B【解 析】【分 析】分 别 画 有 等 腰 三 角 形、平 行 四 边 形、矩 形、圆 的 四 张 形 状、大 小 相 同 的 卡 片 中，其 中 既 是 轴 对 称图 形，又 是 中 心 对 称 图 形 的 是：矩 形，圆，再 根 据 概 率 公 式 求 解 即 可【详 解】解：分 别 画 有 等 腰 三 角 形、平 行 四 边 形、矩 形、圆 的 四 张 形 状、大 小 相 同 的 卡 片 中，其 中 既 是轴 对 称 图 形，又 是 中 心 对 称 图 形 的 是：矩 形，圆；现 从 中 任 意 抽 取 一 张，则 所 抽 得 的 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为2 14 2，故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 概 率 公 式 的 应 用，解 题 的 关 键 是：首 先 判 断 出 既 是 轴 对 称 图 形，又 是 中 心 对 称 图 形 的图 形，然 后 利 用 概 率 公 式 求 解 8.2,5,m 是 某 三 角 形 三 边 的 长，则2 2(3)(7)m m 等 于（）A.2 1 0 m B.1 0 2 m C.1 0 D.4【答 案】D【解 析】【分 析】先 根 据 三 角 形 三 边 的 关 系 求 出m的 取 值 范 围，再 把 二 次 根 式 进 行 化 解，得 出 结 论【详 解】解：2,3,m 是 三 角 形 的 三 边，5 2 5 2 m，解 得：3 7 x，2 2(3)(7)3 7 4 m m m m，故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 性 质 及 化 简，解 题 的 关 键 是：先 根 据 题 意 求 出m的 范 围，再 对 二 次 根 式 化简 9.如 图，直 线 y x b 和 4 y k x 与 x 轴 分 别 相 交 于 点(4,0)A，点(2,0)B，则04 0 x bk x 解 集 为（）A.4 2 x B.4 x C.2 x D.4 x 或 2 x【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 图 像 以 及 两 交 点(4,0)A，点(2,0)B 的 坐 标 得 出 即 可【详 解】解：直 线 y x b 和 4 y k x 与 x 轴 分 别 相 交 于 点(4,0)A，点(2,0)B，观 察 图 像 可 知04 0 x bk x 解 集 为 4 2 x，故 选：A【点 睛】本 题 考 查 了 一 次 函 数 与 一 元 一 次 不 等 式 组，能 根 据 图 像 和 交 点 坐 标 得 出 答 案 是 解 此 题 的 关 键 1 0.如 图，直 角 坐 标 系 中，以 5 为 半 径 的 动 圆 的 圆 心 A 沿 x 轴 移 动，当 A 与 直 线5:12l y x 只 有 一 个 公共 点 时，点 A 的 坐 标 为（）A.(1 2,0)B.(13,0)C.(1 2,0)D.(1 3,0)【答 案】D【解 析】【分 析】当 A 与 直 线5:12l y x 只 有 一 个 公 共 点 时，则 此 时 A 与 直 线5:12l y x 相 切，（需 考 虑 左 右两 侧 相 切 的 情 况）；设 切 点 为 B，此 时 B 点 同 时 在 A 与 直 线5:12l y x 上，故 可 以 表 示 出 B 点 坐 标，过 B点 作/B C O A，则 此 时 A O B O B C，利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 算 出 O A 长 度，最 终 得 出 结 论【详 解】如 下 图 所 示，连 接 A B，过 B 点 作/B C O A，此 时 B 点 坐 标 可 表 示 为512x,x，51 2O C x，B C x，在 R t O B C 中，22 2 25 1312 12O B B C O C x x x，又 A 半 径 为 5，5 A B，/B C O A，A O B O B C，则O A A B O BB O O C B C，513 512 12O A=x x，1 3 O A=，左 右 两 侧 都 有 相 切 的 可 能，A 点 坐 标 为(1 3,0)，故 选：D【点 睛】本 题 考 查 的 是 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，熟 知 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 是 解 答 此 题 的 关 键 1 1.根 据 反 比 例 函 数 的 性 质、联 系 化 学 学 科 中 的 溶 质 质 量 分 数 的 求 法 以 及 生 活 体 验 等，判 定 下 列 有 关 函 数xya x（a 为 常 数 且 0,0 a x）的 性 质 表 述 中，正 确 的 是（）y 随 x 的 增 大 而 增 大；y 随 x 的 增 大 而 减 小；0 1 y；0 1 y A.B.C.D.【答 案】A【解 析】【分 析】该 函 数 可 改 写 为=1=+1x x a a a aya x a x a x a x（a 为 常 数 且 0,0 a x），此 时 可 以类 比 反 比 例 函 数 的 性 质 进 行 判 断，或 者 利 用 赋 值 法 也 可 快 速 进 行 选 择，选 择 正 确 的 选 项 即 可【详 解】解：=1=+1x x a a a aya x a x a x a x，又 0,0 a x，随 着 x 的 增 大，a+x 也 会 随 之 增 大，aa+x随 着 x 的 增 大 而 减 小，此 时aa+x越 来 越 小，则 1aa x越 来 越 大，故 随 着 x 的 增 大 y 也 越 来 越 大 因 此 正 确，错 误；0,0 a x，1aa+x0，1 1aa x0，故 0 1 y，因 此 正 确，错 误；综 上 所 述，A 选 项 符 合 故 选：A【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 的 性 质，解 题 的 关 键 是 将 已 知 函 数 的 形 式 进 行 化 简 整 理 转 化 为 反 比 例函 数 进 行 判 断 1 2.用 数 形 结 合 等 思 想 方 法 确 定 二 次 函 数22 y x 的 图 象 与 反 比 例 函 数2yx 的 图 象 的 交 点 的 横 坐 标0 x所 在 的 范 围 是（）A.0104x B.01 14 2x C.01 32 4x D.0314x【答 案】D【解 析】【分 析】在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中 画 出 两 个 函 数 的 图 象，来 判 断 出 交 点 横 坐 标0 x 所 在 的 范 围【详 解】解：在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中 画 出 两 个 函 数 的 图 象，如 下 图：由 图 知，显 然0112x，当034x 时，将 其 分 别 代 入22 y x 与2yx 计 算 得；1 29 41 2 82,316 16 34y y，2 18 41 503 16 48y y，此 时 反 比 例 函 数 图 象 在 二 次 函 数 图 象 的 上 方，0314x 故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 图 象，解 题 的 关 键 是：准 确 画 出 函 数 的 图 象，再 通 过 关 键 点得 出 答 案 二、填空 题（本 大题 共 6 小题）1 3.函 数 1 y x 中，自 变 量x的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 x【解 析】【分 析】求 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围，就 是 求 函 数 解 析 式 有 意 义 的 条 件，二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 是：被 开 方数 为 非 负 数【详 解】由 题 意 得：x-1 0，解 得：x 1，故 答 案 为：x 1【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围，函 数 有 意 义 时 字 母 的 取 值 范 围 一 般 从 几 个 方 面 考 虑：当 函数 解 析 式 是 整 式 时，字 母 可 取 全 体 实 数；当 函 数 解 析 式 是 分 式 时，考 虑 分 式 的 分 母 不 能 为 0；当 函 数 解析 式 是 二 次 根 式 时，被 开 方 数 为 非 负 数 对 于 实 际 问 题 中 的 函 数 关 系 式，自 变 量 的 取 值 除 必 须 使 表 达 式有 意 义 外，还 要 保 证 实 际 问 题 有 意 义 1 4.如 图 所 示 的 扇 形 中，已 知2 0,3 0,4 0 O A A C A B，则C D _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 0 0【解 析】【分 析】先 在 小 扇 形 中 利 用 扇 形 弧 长 公 式 求 解 出 圆 心 角 度 数，再 在 大 扇 形 中 利 用 公 式 求 解 出 弧 长 即 可【详 解】解：设 扇 形 圆 心 角 度 数 为 n，2 0,4 0 O A A B，在 扇 形 A O B 中，2360nA B O A，解 得：3 6 0n=，在 扇 形 C O D 中，2 0 3 0 5 0 O C O A A C,3602 2 50 100360 360nC D O C 故 答 案 为：1 0 0【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 扇 形 弧 长 的 计 算，解 题 的 关 键 是 利 用 圆 心 角 大 小 不 变 并 熟 悉 弧 长 公 式 进 行 求 解 1 5.如 图，A B C 中，2,A B A C P 是 B C 上 任 意 一 点，P E A B 于 点,E P F A C 于 点 F，若1A B CS，则 P E P F _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1【解 析】【分 析】将 A B C 的 面 积 拆 成 两 个 三 角 形 面 积 之 和，即 可 间 接 求 出 P E P F 的 值【详 解】解：连 接 A P，如 下 图：P E A B 于 点,E P F A C 于 点 F，1A B C A P C A P BS S S 1 12 2A P C A P BS S A C P F A B P E 2 A B A C，1A P C A P BS S P F P E，1 P E P F，故 答 案 是：1【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质，利 用 面 积 法 解 决 两 边 之 和 问 题，解 题 的 关 键 是：将 A B C 的 面 积拆 成 两 个 三 角 形 面 积 之 和 来 解 答 1 6.已 知23 1 0 t t，则1tt _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3【解 析】【分 析】先 将 要 求 解 的 式 子 进 行 改 写 整 理 再 利 用 已 知 方 程 进 行 求 解 即 可【详 解】解：2 21 1 1 t ttt t t t，又 23 1 0 t t，21 3 t t，则21 1 3=3t ttt t t，故 答 案 为：3【点 睛】本 题 是 一 元 二 次 方 程 求 对 应 解 的 题 目，解 题 的 关 键 是 将 求 解 式 子 进 行 变 形 再 利 用 已 知 方 程 进 行 简便 运 算 1 7.高 速 公 路 上 有 一 种 标 线 叫 纵 向 减 速 标 线，外 号 叫 鱼 骨 线，作 用 是 为 了 提 醒 驾 驶 员 在 开 车 时 减 速 慢 行 如图，用 平 行 四 边 形 A B C D 表 示 一 个“鱼 骨”，A B 平 行 于 车 辆 前 行 方 向，,B E A B C B E，过 B 作A D 的 垂 线，垂 足 为A（A 点 的 视 觉 错 觉 点），若 s i n 0.05,300 m m A B，则 A A _ _ _ _ _ _ _ _m m【答 案】1 5【解 析】【分 析】根 据 同 角 的 余 角 相 等 得 到 A B A，进 一 步 根 据 三 角 函 数 求 解 即 可【详 解】解：如 图 所 示，A B A D 且 四 边 形 A B C D 为 平 行 四 边 形，A B B C，9 0 A B C A B C A B A=，又 B E A B,9 0 A B E A B C=，A B A，s i n s i n 0.05A AA B AA B,又 3 0 0 m m A B，3 0 0 0 0 5 1 5 A A A B s i n A B A.m m 故 答 案 为：1 5【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数 的 实 际 应 用，解 题 的 关 键 是 利 用 同 角 的 余 角 相 等 找 出 角 的 关 系，根 据 同 角 三 角函 数 关 系 求 值 1 8.弧 度 是 表 示 角 度 大 小 的 一 种 单 位，圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时，这 个 角 就 是 1 弧 度 角，记 作 1 r a d 已知 1 r a d,6 0，则与 的 大 小 关 系 是_ _ _ _ _ _ _ _【答 案】【解 析】【分 析】根 据 弧 度 的 定 义，圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时，这 个 角 就 是 1 弧 度 角，记 作 1 r a d，当 6 0 时，三 角 形 为 等 边 三 角 形，所 以 圆 心 角 所 对 的 弧 长 比 半 径 大，即 可 判 断 大 小【详 解】解：根 据 弧 度 的 定 义，圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时，这 个 角 就 是 1 弧 度 角，记 作 1 r a d，当 6 0 时，易 知 三 角 形 为 等 边 三 角 形，弦 长 等 于 半 径，圆 心 角 所 对 的 弧 长 比 半 径 大，故 答 案 是：【点 睛】本 题 考 查 了 弧 度 的 定 义，解 题 的 关 键 是：理 解 弧 度 的 定 义，从 而 利 用 定 义 来 判 断 三、解答 题（本 大题 共 2 小题）1 9.计 算：101 1(2021)2 c os 452 2 1【答 案】2【解 析】【分 析】直 接 利 用 零 指 数 幂，二 次 根 式 分 母 有 理 化、负 整 数 指 数 幂、特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可【详 解】解：101 1(2021)2 c os 452 2 1 2 1 21 2 22(2 1)(2 1)1 2 1 2 2 2【点 睛】本 题 考 查 了 零 指 数 幂，二 次 根 式 分 母 有 理 化、负 整 数 指 数 幂、特 殊 角 的 三 角 函 数 值 的 运 算 法 则，解 题 的 关 键 是：掌 握 相 关 的 运 算 法 则 2 0.先 化 简，再 求 值：23 2 1 011 9x xx x，其 中 x 是 1,2,3 中 的 一 个 合 适 的 数【答 案】13xx，15【解 析】【分 析】先 计 算 括 号 内 的 异 分 母 分 式 减 法，再 计 算 乘 法，最 后 将 可 选 取 的 x 值 代 入 计 算 即 可【详 解】解：23 2 1 011 9x xx x 23 9 2 101(3)(3)(3)(3)x x xx x x x x 23 2 11(3)(3)x x xx x x 23(1)1(3)(3)x xx x x 13xx，1 x，3 x，2 x，原 式2 1 12 3 5【点 睛】本 题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值，正 确 掌 握 分 式 的 混 合 运 算 法 则 及 确 定 字 母 的 可 取 数 值 是 解 题 的 关 键 四、解答 题（本 大题 共 2 小题）2 1.“读 书，点 亮 未 来”，广 泛 的 课 外 阅 读 是 同 学 们 搜 集 和 汲 取 知 识 的 一 条 重 要 途 径 学 校 图 书 馆 计 划 购 进一 批 学 生 喜 欢 的 图 书，为 了 了 解 学 生 们 对“A 文 史 类、B 科 普 类、C 生 活 类、D 其 它”的 喜 欢 程 度，随 机 抽取 了 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查（每 个 学 生 只 选 其 中 一 类），将 所 得 数 据 进 行 分 类 统 计 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计图 表，请 根 据 图 中 的 信 息，解 答 下 列 问 题：统 计 表：频 数 频 率A 历 史类5 0 mB 科 普类9 0 0 0.4 5C 生 活类n 0.2 0D 其 它 2 00.1 0合 计（1）本 次 调 查 的 学 生 共 _ _ _ _ _ _ _ 人；（2）m _ _ _ _ _ _ _，n _ _ _ _ _ _ _；（3）补 全 条 形 统 计 图【答 案】（1）2 0 0；（2）0.2 5，4 0；（3）见 解 析【解 析】【分 析】（1）用“科 普 类”的 频 数 频 率，即 可 求 解；（2）用 5 0 2 0 0 可 得 m 的 值，用 2 0 0 0.2，可 得 n 的 值；（3）利 用（2）的 数 据，从 而 补 全 条 形 图【详 解】解：（1）本 次 调 查 的 学 生 有：9 0 0.4 5=2 0 0（名），故 答 案 是：2 0 0；（2）m=5 0 2 0 0=0.2 5，n=2 0 0 0.2=4 0；（3）补 全 直 方 图 如 图 所 示：【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 频 数 分 布 直 方 图 以 及 频 数 分 布 表，准 确 找 出 相 关 数 据，是 解 题 的 关 键 2 2.我 国 航 天 事 业 捷 报 频 传，天 舟 二 号 于 2 0 2 1 年 5 月 2 9 日 成 功 发 射，震 撼 人 心 当 天 舟 二 号 从 地 面 到 达 点A 处 时，在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 D P A 为 3 0 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6 千 米，它 沿 铅 垂 线 上 升 7 5 秒 后 到达 B 处，此 时 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 D P B 为 45，求 天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度（结 果 精 确 到1 m/s，取 3 1.7 3 2,2 1.4 1 4）【答 案】2 9/m s【解 析】【分 析】根 据 在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 D P A 为 3 0 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6 千 米，可 以 求 出 P D 的 长，再根 据 此 时 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 D P B 为 45，R t B D P 为 等 腰 直 角 三 角 形，可 以 间 接 求 出 A B 的 长，再 利 用 平 均 速 度 的 计 算 公 式 即 可 求 解【详 解】解：根 据 在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 D P A 为 3 0 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6 千 米 知；在 R t A D P 中，6,30 A P D P A，132A D A P(千 米)，2 23 3 3 1.732 5.196 D P A P A D，又 由 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 D P B 为 4 5，R t B D P 为 等 腰 直 角 三 角 形，B D D P，2.196 A B B D A D（千 米），天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度 为：2 1 9 62 9/7 5sv m st，答：天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度 为 2 9/m s【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用，解 题 的 关 键 是：掌 握 仰 角 俯 角 的 定 义 五、解答 题（本 大题 共 2 小题）2 3.为 了 庆 祝 中 国 共 产 党 建 党 一 百 周 年，某 校 举 行“礼 赞 百 年，奋 斗 有 我”演 讲 比 赛，准 备 购 买 甲、乙 两 种纪 念 品 奖 励 在 活 动 中 表 现 优 秀 的 学 生 已 知 购 买 1 个 甲 种 纪 念 品 和 2 个 乙 种 纪 念 品 共 需 2 0 元，购 买 2 个 甲种 纪 念 品 和 5 个 乙 种 纪 念 品 共 需 4 5 元（1）求 购 买 一 个 甲 种 纪 念 品 和 一 个 乙 种 纪 念 品 各 需 多 少 元；（2）若 要 购 买 这 两 种 纪 念 品 共 1 0 0 个，投 入 资 金 不 少 于 7 6 6 元 又 不 多 于 8 0 0 元，问 有 多 少 种 购 买 方 案？并求 出 所 花 资 金 的 最 小 值【答 案】（1）购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 1 0 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元；（2）共 有 7 种 进 货 方 案；所 花 资金 的 最 小 值 为 7 7 0 元【解 析】【分 析】（1）设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 x 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 y 元，根 据“购 买 1 个 甲 种 纪 念 品 和 2个 乙 种 纪 念 品 共 需 2 0 元；购 买 2 个 甲 种 纪 念 品 和 5 个 乙 种 纪 念 品 共 需 4 5 元”，即 可 得 出 关 于 x、y 的 二 元一 次 方 程 组，解 之 即 可 得 出 结 论；（2）设 购 进 甲 种 纪 念 品 m 个，则 购 进 乙 种 纪 念 品（1 0 0-m）个，所 花 资 金 为w元，根 据 总 价=单 价 数 量 得到w关 于 m 的 函 数 解 析 式，结 合 进 货 资 金 不 少 于 7 6 6 元 且 不 超 过 8 0 0 元，即 可 得 出 关 于 m 的 一 元 一 次 不 等式 组，解 之 即 可 得 出 m 的 取 值 范 围，再 由 m 为 整 数 即 可 找 出 各 进 货 方 案，利 用 一 次 函 数 的 性 质 从 而 得 出 答案【详 解】解：（1）设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 x 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 y 元，根 据 题 意 得：2 202 5 45x yx y，解 得：105xy；答：购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 1 0 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元；（2）设 购 进 甲 种 纪 念 品 m 个，则 购 进 乙 种 纪 念 品（1 0 0-m）个，所 花 资 金 为w元，1 0 5 1 0 0 5 5 0 0 w m m m，根 据 题 意 得：5 500 7665 500 800mm，解 得：5 3.2 m 6 0 m 为 整 数，m=5 4、5 5、5 6、5 7、5 8、5 9 或 6 0 共 有 7 种 进 货 方 案；5 0，w随 m 的 增 大 而 增 大，m=5 4 时，w有 最 小 值，最 小 值 为 7 7 0 元【点 睛】本 题 考 查 了 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 以 及 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用，解 题 的 关 键 是：（1）找 准 等 量 关系，正 确 列 出 二 元 一 次 方 程 组：（2）根 据 各 数 量 间 的 关 系，正 确 列 出w关 于 m 的 函 数 解 析 式 和 一 元 一 次 不等 式 组 2 4.如 图，点 A 在 以 B C 为 直 径 的 O 上，A B C 的 角 平 分 线 与 A C 相 交 于 点 E，与 O 相 交 于 点 D，延长 C A 至 M，连 结 B M，使 得 M B M E，过 点 A 作 B M 的 平 行 线 与 C D 的 延 长 线 交 于 点 N（1）求 证：B M 与 O 相 切；（2）试 给 出,A C A D C N 之 间 的 数 量 关 系，并 予 以 证 明【答 案】（1）见 详 解；（2）2A C A D N C【解 析】【分 析】（1）根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 9 0，M B M E，以 及 B D 是 A B C 的 角 平 分 线，推 导 出 各 个 角度 之 间 的 关 系，等 量 代 换 即 可 证 出；（2）由 圆 周 角 相 等 推 导 出 所 对 应 的 弧 相 等 进 一 步 得 到 弦 相 等，据 此 得 出 A D C 为 等 腰 三 角 形，再 根 据N F B M 以 及（1）中 的 90 M B C=，进 一 步 通 过 推 导 角 度 关 系 得 到 N E B C=A B E=D C A，N A C 为 等 腰 三 角 形，再 根 据 子 母 型 相 似 得 到 A D C N A C，最 终 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 得 出2A C A D N C【详 解】（1）如 图 所 示，M B M E,B D 是 A B C 的 角 平 分 线，M B E M E B，A B E E B C，又 B C 为 直 径，9 0 B A C，9 0 A B E M E B,90 E B C M B E，即 B M 与 O 相 切（2）A B E E B C，A D C D，A D C D,D A C D C A，A D C 为 等 腰 三 角 形，又=9 0 B D C，9 0 B D N，90 N+N G D，又 N G D B G F，且 由（1）可 得 90 M B C=，N F B M，9 0 N F B=，即 N E B C=A B E=D C A，N A C 为 等 腰 三 角 形，在 A D C 和 N A C 中，N D A C=D C A，A D C N A C，A D D C A CN A A C N C，2A C D C N C，又 A D C D，故：2A C A D N C【点 睛】本 题 考 察 了 圆 的 综 合 应 用，切 线 的 证 明，等 腰 三 角 形 的 性 质，直 角 三 角 形 的 性 质 及 判 定 以 及 相 似三 角 形 的 性 质 及 判 定 等 知 识 点，综 合 运 用 以 上 性 质 定 理 是 解 题 的 关 键 六、综合 题（本 大题 共 2 小题）2 5.如 图，E F、是 等 腰 R t A B C 的 斜 边 B C 上 的 两 动 点，4 5,E A F C D B C 且 C D B E（1）求 证：A B E A C D；（2）求 证：2 2 2E F B E C F；（3）如 图，作 A H B C，垂 足 为 H，设,E A H F A H，不 妨 设2 A B，请 利 用（2）的 结 论 证 明：当 4 5 时，t a n t a nt a n()1 t a n t a n 成 立【答 案】（1）证 明 见 详 解；（2）证 明 见 详 解；（3）证 明 见 详 解【解 析】【分 析】（1）A B C 是 等 腰 直 角 三 角 形，A B=A C，B A C=9 0，由 C D B C，可 求 D C A=A B E 即 可；（2）由 A B E A C D，可 得 F A D=E A F，可 证 A E F A D F（S A S），可 得 E F=D F，在 R t C D F 中，根 据 勾 股 定 理，2 2 2D F C D C F 即 可；（3）将 A B E 逆 时 针 绕 点 A 旋 转 9 0 到 A C D，由 A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形，可 求 D C F=9 0，由2 A B，在 R t A B C 中 由 勾 股 定 理 2 B C，由 A H B C，可 求 B H=C H=A H=1，可 表 示 E F=t a n+t a n,B E=1-t a n,C F=1-t a n，可 证 A E F A D F（S A S），得 到 E F=D F，由2 2 2E F B E C F 可 得 2 2 2t a n t a n 1 t a n+1 t a n，整 理 即 得 结 论【详 解】（1）证 明：A B C 是 等 腰 直 角 三 角 形，A B=A C，B A C=9 0，A B C=A C B=4 5，C D B C，D C B=9 0，D C A=9 0-A C B=9 0-4 5=4 5=A B E，在 A B E 和 A C D 中，A B A CA B E A C DB E C D，A B E A C D（S A S），（2）证 明 A B E A C D，B A E=C A D，A E=A D，E A F=4 5，B A E+F A C=9 0-E A F=9 0-4 5=4 5，F A D=F A C+C A D=F A C+B A E=4 5=E A F，在 A E F 和 A D F 中，A E A DE A F D A FA F A F，A E F A D F（S A S），E F=D F，在 R t C D F 中，根 据 勾 股 定 理，2 2 2D F C D C F，即2 2 2E F B E C F；（3）证 明：将 A B E 逆 时 针 绕 点 A 旋 转 9 0 到 A C D，连 结 F D，B A E=C A D，B E=C D，A E=A D，A B C 为 等 腰 直 角 三 角