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    2016年北京市高考文科数学试题及答案.pdf

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    2016年北京市高考文科数学试题及答案.pdf

    第 1 页(共 1 2 页)2016 年 北 京 市 高 考 数 学 试 卷(文 科)参 考 答 案 与 试 题 解 析一 选 择 题(共 8 小 题)1(2 0 1 6 北 京)已 知 集 合 A=x|2 x 4,B=x|x 3 或 x 5,则 A B=()A x|2 x 5 B x|x 4 或 x 5 C x|2 x 3 D x|x 2 或 x 5【考 点】交 集 及 其 运 算【专 题】计 算 题;转 化 思 想;综 合 法;集 合【分 析】由 已 知 条 件 利 用 交 集 的 定 义 能 求 出 A B【解 答】解:集 合 A=x|2 x 4,B=x|x 3 或 x 5,A B=x|2 x 3 故 选:C【点 评】本 题 考 查 交 集 的 求 法,是 基 础 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 交 集 的 定 义 的 合 理 运 用 2(2 0 1 6 北 京)复 数=()A i B 1+i C i D 1 i【考 点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算【专 题】计 算 题;转 化 思 想;数 系 的 扩 充 和 复 数【分 析】将 分 子 分 线 同 乘 2+i,整 理 可 得 答 案【解 答】解:=i,故 选:A【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 复 数 代 数 形 式 的 加 减 运 算,共 轭 复 数 的 定 义,难 度 不 大,属 于基 础 题 3(2 0 1 6 北 京)执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图,输 出 s 的 值 为()A 8 B 9 C 2 7 D 3 6【考 点】程 序 框 图【专 题】计 算 题;操 作 型;算 法 和 程 序 框 图 第 2 页(共 1 2 页)【分 析】根 据 已 知 的 程 序 框 图 可 得,该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S 的 值,模 拟 程 序 的 运 行 过 程,可 得 答 案【解 答】解:当 k=0 时,满 足 进 行 循 环 的 条 件,故 S=0,k=1,当 k=1 时,满 足 进 行 循 环 的 条 件,故 S=1,k=2,当 k=2 时,满 足 进 行 循 环 的 条 件,故 S=9,k=3,当 k=3 时,不 满 足 进 行 循 环 的 条 件,故 输 出 的 S 值 为 9,故 选:B【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 程 序 框 图,当 循 环 次 数 不 多,或 有 规 律 可 循 时,可 采 用 模 拟 程序 法 进 行 解 答 4(2 0 1 6 北 京)下 列 函 数 中,在 区 间(1,1)上 为 减 函 数 的 是()A y=B y=c o s x C y=l n(x+1)D y=2x【考 点】函 数 单 调 性 的 判 断 与 证 明【专 题】函 数 思 想;综 合 法;函 数 的 性 质 及 应 用【分 析】根 据 函 数 单 调 性 的 定 义,余 弦 函 数 单 调 性,以 及 指 数 函 数 的 单 调 性 便 可 判 断 每 个 选项 函 数 在(1,1)上 的 单 调 性,从 而 找 出 正 确 选 项【解 答】解:A x 增 大 时,x 减 小,1 x 减 小,增 大;函 数 在(1,1)上 为 增 函 数,即 该 选 项 错 误;B y=c o s x 在(1,1)上 没 有 单 调 性,该 选 项 错 误;C x 增 大 时,x+1 增 大,l n(x+1)增 大,y=l n(x+1)在(1,1)上 为 增 函 数,即 该 选项 错 误;D.;根 据 指 数 函 数 单 调 性 知,该 函 数 在(1,1)上 为 减 函 数,该 选 项 正 确 故 选 D【点 评】考 查 根 据 单 调 性 定 义 判 断 函 数 在 一 区 间 上 的 单 调 性 的 方 法,以 及 余 弦 函 数 和 指 数 函数 的 单 调 性,指 数 式 的 运 算 5(2 0 1 6 北 京)圆(x+1)2+y2=2 的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为()A 1 B 2 C D 2【考 点】圆 的 标 准 方 程;点 到 直 线 的 距 离 公 式【专 题】计 算 题;转 化 思 想;综 合 法;直 线 与 圆【分 析】先 求 出 圆(x+1)2+y2=2 的 圆 心,再 利 用 点 到 到 直 线 y=x+3 的 距 离 公 式 求 解【解 答】解:圆(x+1)2+y2=2 的 圆 心 为(1,0),圆(x+1)2+y2=2 的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为:d=故 选:C【点 评】本 题 考 查 圆 心 到 直 线 的 距 离 的 求 法,是 基 础 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 点 到 直 线的 距 离 公 式 和 圆 的 性 质 的 合 理 运 用 第 3 页(共 1 2 页)6(2 0 1 6 北 京)从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人,则 甲 被 选 中 的 概 率 为()A B C D【考 点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式【专 题】概 率 与 统 计【分 析】从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人,先 求 出 基 本 事 件 总 数,再 求 出 甲 被 选 中 包 含的 基 本 事 件 的 个 数,同 此 能 求 出 甲 被 选 中 的 概 率【解 答】解:从 甲、乙 等 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人,基 本 事 件 总 数 n=1 0,甲 被 选 中 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m=4,甲 被 选 中 的 概 率 p=故 选:B【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法,是 基 础 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 等 可 能 事 件 概 率 计 算 公式 的 合 理 运 用 7(2 0 1 6 北 京)已 知 A(2,5),B(4,1)若 点 P(x,y)在 线 段 A B 上,则 2 x y 的 最大 值 为()A 1 B 3 C 7 D 8【考 点】简 单 线 性 规 划【专 题】计 算 题;规 律 型;数 形 结 合;转 化 思 想;不 等 式【分 析】平 行 直 线 z=2 x y,判 断 取 得 最 值 的 位 置,求 解 即 可【解 答】解:如 图 A(2,5),B(4,1)若 点 P(x,y)在 线 段 A B 上,令 z=2 x y,则 平 行 y=2 x z 当 直 线 经 过 B 时 截 距 最 小,Z 取 得 最 大 值,可 得 2 x y 的 最 大 值 为:2 4 1=7 故 选:C【点 评】本 题 考 查 线 性 规 划 的 简 单 应 用,判 断 目 标 函 数 经 过 的 点,是 解 题 的 关 键 第 4 页(共 1 2 页)8(2 0 1 6 北 京)某 学 校 运 动 会 的 立 定 跳 远 和 3 0 秒 跳 绳 两 个 单 项 比 赛 分 成 预 赛 和 决 赛 两 个 阶段,表 中 为 1 0 名 学 生 的 预 赛 成 绩,其 中 有 三 个 数 据 模 糊 学 生 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0立 定 跳 远(单 位:米)1.9 6 1.9 2 1.8 2 1.8 0 1.7 8 1.7 6 1.7 4 1.7 2 1.6 8 1.6 03 0 秒 跳 绳(单 位:次)6 3 a 7 5 6 0 6 3 7 2 7 0 a 1 b 6 5在 这 1 0 名 学 生 中,进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人,同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的有 6 人,则()A 2 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛 B 5 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛C 8 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛 D 9 号 学 生 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛【考 点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用【专 题】探 究 型;简 易 逻 辑;推 理 和 证 明【分 析】根 据 已 知 中 这 1 0 名 学 生 中,进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人,同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的 有 6 人,逐 一 分 析 四 个 答 案 的 正 误,可 得 结 论【解 答】解:这 1 0 名 学 生 中,进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人,故 编 号 为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 学 生 进 入 立 定 跳 远 决 赛,又 由 同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和 3 0 秒 跳 绳 决 赛 的 有 6 人,则 3,6,7 号 同 学 必 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛,剩 下 1,2,4,5,8 号 同 学 的 成 绩 分 别 为:6 3,a,6 0,6 3,a 1 有 且 只 有 3 人 进 入 3 0 秒跳 绳 决 赛,故 成 绩 为 6 3 的 同 学 必 进 入 3 0 秒 跳 绳 决 赛,故 选:B【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 推 理 与 证 明,正 确 利 用 已 知 条 件 得 到 合 理 的 逻 辑 推 理 过 程,是解 答 的 关 键 二 填 空 题(共 6 小 题)9(2 0 1 6 北 京)已 知 向 量=(1,),=(,1),则 与 夹 角 的 大 小 为【考 点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角【专 题】计 算 题;定 义 法;平 面 向 量 及 应 用【分 析】根 据 已 知 中 向 量 的 坐 标,代 入 向 量 夹 角 公 式,可 得 答 案【解 答】解:向 量=(1,),=(,1),与 夹 角 满 足:c o s=,又 0,=,故 答 案 为:第 5 页(共 1 2 页)【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 平 面 向 量 的 夹 角 公 式,熟 练 掌 握 平 面 向 量 的 夹 角 公 式,是 解 答的 关 键 1 0(2 0 1 6 北 京)函 数 f(x)=(x 2)的 最 大 值 为 2【考 点】利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值【专 题】计 算 题;函 数 思 想;综 合 法;函 数 的 性 质 及 应 用【分 析】分 离 常 数 便 可 得 到,根 据 反 比 例 函 数 的 单 调 性 便 可 判 断 该 函 数 在 2,+)上 为 减 函 数,从 而 x=2 时 f(x)取 最 大 值,并 可 求 出 该 最 大 值【解 答】解:;f(x)在 2,+)上 单 调 递 减;x=2 时,f(x)取 最 大 值 2 故 答 案 为:2【点 评】考 查 函 数 最 大 值 的 概 念 及 求 法,分 离 常 数 法 的 运 用,以 及 反 比 例 函 数 的 单 调 性,根据 函 数 单 调 性 求 最 值 的 方 法 1 1(2 0 1 6 北 京)某 四 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示,则 该 四 棱 柱 的 体 积 为【考 点】由 三 视 图 求 面 积、体 积【专 题】计 算 题;空 间 位 置 关 系 与 距 离;立 体 几 何【分 析】由 已 知 中 的 三 视 图 可 得:该 几 何 体 上 部 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 四 棱 柱,进 而 可 得 答案【解 答】解:由 已 知 中 的 三 视 图 可 得:该 几 何 体 上 部 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 四 棱 柱,棱 柱 的 底 面 面 积 S=(1+2)1=,棱 柱 的 高 为 1,故 棱 柱 的 体 积 V=,故 答 案 为:【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 由 三 视 图,求 体 积 和 表 面 积,根 据 已 知 的 三 视 图,判 断 几 何 体的 形 状 是 解 答 的 关 键 第 6 页(共 1 2 页)1 2(2 0 1 6 北 京)已 知 双 曲 线=1(a 0,b 0)的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0,一 个 焦点 为(,0),则 a=1,b=2【考 点】双 曲 线 的 标 准 方 程【专 题】计 算 题;转 化 思 想;综 合 法;圆 锥 曲 线 的 定 义、性 质 与 方 程【分 析】由 双 曲 的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0,一 个 焦 点 为(,0),列 出 方 程 组,由 此 能 出 a,b【解 答】解:双 曲 线=1(a 0,b 0)的 一 条 渐 近 线 为 2 x+y=0,一 个 焦 点 为(,0),解 得 a=1,b=2 故 答 案 为:1,2【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 中 实 数 值 的 求 法,是 基 础 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 双 曲 线 的 性质 的 合 理 运 用 1 3(2 0 1 6 北 京)在 A B C 中,A=,a=c,则=1【考 点】正 弦 定 理 的 应 用【专 题】计 算 题;规 律 型;转 化 思 想;解 三 角 形【分 析】利 用 正 弦 定 理 求 出 C 的 大 小,然 后 求 出 B,然 后 判 断 三 角 形 的 形 状,求 解 比 值 即可【解 答】解:在 A B C 中,A=,a=c,由 正 弦 定 理 可 得:,=,s i n C=,C=,则 B=三 角 形 是 等 腰 三 角 形,B=C,则 b=c,则=1 故 答 案 为:1【点 评】本 题 考 查 正 弦 定 理 的 应 用,三 角 形 的 判 断,考 查 计 算 能 力 1 4(2 0 1 6 北 京)某 网 店 统 计 了 连 续 三 天 售 出 商 品 的 种 类 情 况:第 一 天 售 出 1 9 种 商 品,第二 天 售 出 1 3 种 商 品,第 三 天 售 出 1 8 种 商 品;前 两 天 都 售 出 的 商 品 有 3 种,后 两 天 都 售 出 的商 品 有 4 种,则 该 网 店 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 1 6 种;第 7 页(共 1 2 页)这 三 天 售 出 的 商 品 最 少 有 2 9 种【考 点】容 斥 原 理;集 合 的 包 含 关 系 判 断 及 应 用【专 题】计 算 题;转 化 思 想;综 合 法;集 合【分 析】由 题 意 画 出 图 形 得 答 案;求 出 前 两 天 所 受 商 品 的 种 数,由 特 殊 情 况 得 到 三 天售 出 的 商 品 最 少 种 数【解 答】解:设 第 一 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 A,第 二 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 B,第 三 天售 出 商 品 的 种 类 集 为 C,如 图,则 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 1 6 种;由 知,前 两 天 售 出 的 商 品 种 类 为 1 9+1 3 3=2 9 种,当 第 三 天 售 出 的 1 8 种 商 品 都 是 第 一 天 或 第 二 天 售 出 的 商 品 时,这 三 天 售 出 的 商 品 种 类 最 少为 2 9 种 故 答 案 为:1 6;2 9【点 评】本 题 考 查 集 合 的 包 含 关 系 及 其 应 用,考 查 了 集 合 中 元 素 的 个 数 判 断,考 查 学 生 的 逻辑 思 维 能 力,是 中 档 题 三 解 答 题(共 6 小 题)1 5(2 0 1 6 北 京)已 知 a n 是 等 差 数 列,b n 是 等 比 数 列,且 b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 1 4=b 4(1)求 a n 的 通 项 公 式;(2)设 c n=a n+b n,求 数 列 c n 的 前 n 项 和【考 点】等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 综 合【专 题】方 程 思 想;分 析 法;等 差 数 列 与 等 比 数 列【分 析】(1)设 a n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列,b n 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列,运 用 通 项 公 式 可得 q=3,d=2,进 而 得 到 所 求 通 项 公 式;(2)求 得 c n=a n+b n=2 n 1+3n1,再 由 数 列 的 求 和 方 法:分 组 求 和,运 用 等 差 数 列 和 等 比 数列 的 求 和 公 式,计 算 即 可 得 到 所 求 和【解 答】解:(1)设 a n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列,b n 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列,由 b 2=3,b 3=9,可 得 q=3,b n=b 2 qn2=3 3n2=3n1;即 有 a 1=b 1=1,a 1 4=b 4=2 7,则 d=2,则 a n=a 1+(n 1)d=1+2(n 1)=2 n 1;(2)c n=a n+b n=2 n 1+3n1,则 数 列 c n 的 前 n 项 和 为(1+3+(2 n 1)+(1+3+9+3n1)=n 2 n+第 8 页(共 1 2 页)=n2+【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 的 运 用,同 时 考 查 数 列 的 求 和方 法:分 组 求 和,考 查 运 算 能 力,属 于 基 础 题 1 6(2 0 1 6 北 京)已 知 函 数 f(x)=2 s i n x c o s x+c o s 2 x(0)的 最 小 正 周 期 为(1)求 的 值;(2)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间【考 点】复 合 三 角 函 数 的 单 调 性;三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法【专 题】计 算 题;函 数 思 想;数 学 模 型 法;三 角 函 数 的 图 像 与 性 质【分 析】(1)利 用 倍 角 公 式 结 合 两 角 和 的 正 弦 化 积,再 由 周 期 公 式 列 式 求 得 的 值;(2)直 接 由 相 位 在 正 弦 函 数 的 增 区 间 内 求 解 x 的 取 值 范 围 得 f(x)的 单 调 递 增 区 间【解 答】解:(1)f(x)=2 s i n x c o s x+c o s 2 x=s i n 2 x+c o s 2 x=由 T=,得=1;(2)由(1)得,f(x)=再 由,得 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(k Z)【点 评】本 题 考 查 y=A s i n(x+)型 函 数 的 图 象 和 性 质,考 查 了 两 角 和 的 正 弦,属 中 档 题 1 7(2 0 1 6 北 京)某 市 居 民 用 水 拟 实 行 阶 梯 水 价,每 人 月 用 水 量 中 不 超 过 w 立 方 米 的 部 分按 4 元/立 方 米 收 费,超 出 w 立 方 米 的 部 分 按 1 0 元/立 方 米 收 费,从 该 市 随 机 调 查 了 1 0 0 0 0位 居 民,获 得 了 他 们 某 月 的 用 水 量 数 据,整 理 得 到 如 图 频 率 分 布 直 方 图:(1)如 果 w 为 整 数,那 么 根 据 此 次 调 查,为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 月 的 用 水 价 格 为 4 元/立方 米,w 至 少 定 为 多 少?(2)假 设 同 组 中 的 每 个 数 据 用 该 组 区 间 的 右 端 点 值 代 替,当 w=3 时,估 计 该 市 居 民 该 月 的人 均 水 费【考 点】频 率 分 布 直 方 图;随 机 抽 样 和 样 本 估 计 总 体 的 实 际 应 用【专 题】计 算 题;转 化 思 想;综 合 法;概 率 与 统 计 第 9 页(共 1 2 页)【分 析】(1)由 频 率 分 布 直 方 图 得:用 水 量 在 0.5,1)的 频 率 为 0.1,用 水 量 在 1,1.5)的频 率 为 0.1 5,用 水 量 在 1.5,2)的 频 率 为 0.2,用 水 量 在 2,2.5)的 频 率 为 0.2 5,用 水 量 在 2.5,3)的 频 率 为 0.1 5,用 水 量 在 3,3.5)的 频 率 为 0.0 5,用 水 量 在 3.5,4)的 频 率 为 0.0 5,用 水 量 在 4,4.5)的 频 率 为 0.0 5,由 此 能 求 出 为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元/立方 米,w 至 少 定 为 3 立 方 米(2)当 w=3 时,利 用 频 率 分 布 直 方 图 能 求 出 该 市 居 民 的 人 均 水 费【解 答】解:(1)由 频 率 分 布 直 方 图 得:用 水 量 在 0.5,1)的 频 率 为 0.1,用 水 量 在 1,1.5)的 频 率 为 0.1 5,用 水 量 在 1.5,2)的 频 率 为 0.2,用 水 量 在 2,2.5)的 频 率 为 0.2 5,用 水 量 在 2.5,3)的 频 率 为 0.1 5,用 水 量 在 3,3.5)的 频 率 为 0.0 5,用 水 量 在 3.5,4)的 频 率 为 0.0 5,用 水 量 在 4,4.5)的 频 率 为 0.0 5,用 水 量 小 于 等 于 3 立 方 米 的 频 率 为 8 5%,为 使 8 0%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元/立 方 米,w 至 少 定 为 3 立 方 米(2)当 w=3 时,该 市 居 民 的 人 均 水 费 为:(0.1 1+0.1 5 1.5+0.2 2+0.2 5 2.5+0.1 5 3)4+0.0 5 3 4+0.0 5 0.5 1 0+0.0 5 3 4+0.0 5 1 1 0+0.0 5 3 4+0.0 5 1.5 1 0=1 0.5,当 w=3 时,估 计 该 市 居 民 该 月 的 人 均 水 费 为 1 0.5 元【点 评】本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 应 用,考 查 当 w=3 时,该 市 居 民 该 月 的 人 均 水 费 的 估计 的 求 法,是 中 档 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 频 率 分 布 直 方 图 的 合 理 运 用 1 8(2 0 1 6 北 京)如 图,在 四 棱 锥 P A B C D 中,P C 平 面 A B C D,A B D C,D C A C(1)求 证:D C 平 面 P A C;(2)求 证:平 面 P A B 平 面 P A C;(3)设 点 E 为 A B 的 中 点,在 棱 P B 上 是 否 存 在 点 F,使 得 P A 平 面 C E F?说 明 理 由【考 点】空 间 中 直 线 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系;平 面 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系【专 题】综 合 题;转 化 思 想;综 合 法;立 体 几 何【分 析】(1)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 D C 平 面 P A C;(2)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 A B 平 面 P A C,即 可 证 明 平 面 P A B 平 面 P A C;(3)在 棱 P B 上 存 在 中 点 F,使 得 P A 平 面 C E F 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明【解 答】(1)证 明:P C 平 面 A B C D,D C 平 面 A B C D,P C D C,第 1 0 页(共 1 2 页)D C A C,P C A C=C,D C 平 面 P A C;(2)证 明:A B D C,D C A C,A B A C,P C 平 面 A B C D,A B 平 面 A B C D,P C A B,P C A C=C,A B 平 面 P A C,A B 平 面 P A B,平 面 P A B 平 面 P A C;(3)解:在 棱 P B 上 存 在 中 点 F,使 得 P A 平 面 C E F 点 E 为 A B 的 中 点,E F P A,P A 平 面 C E F,E F 平 面 C E F,P A 平 面 C E F【点 评】本 题 考 查 线 面 平 行 与 垂 直 的 证 明,考 查 平 面 与 平 面 垂 直 的 证 明,考 查 学 生 分 析 解 决问 题 的 能 力,属 于 中 档 题 1 9(2 0 1 6 北 京)已 知 椭 圆 C:+=1 过 点 A(2,0),B(0,1)两 点(1)求 椭 圆 C 的 方 程 及 离 心 率;(2)设 P 为 第 三 象 限 内 一 点 且 在 椭 圆 C 上,直 线 P A 与 y 轴 交 于 点 M,直 线 P B 与 x 轴 交于 点 N,求 证:四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值【考 点】椭 圆 的 标 准 方 程;直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系【专 题】综 合 题;方 程 思 想;综 合 法;圆 锥 曲 线 的 定 义、性 质 与 方 程【分 析】(1)由 题 意 可 得 a=2,b=1,则,则 椭 圆 C 的 方 程 可 求,离 心 率 为 e=;(2)设 P(x 0,y 0),求 出 P A、P B 所 在 直 线 方 程,得 到 M,N 的 坐 标,求 得|A N|,|B M|由,结 合 P 在 椭 圆 上 求 得 四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值 2【解 答】(1)解:椭 圆 C:+=1 过 点 A(2,0),B(0,1)两 点,a=2,b=1,则,椭 圆 C 的 方 程 为,离 心 率 为 e=;(2)证 明:如 图,设 P(x 0,y 0),则,P A 所 在 直 线 方 程 为 y=,第 1 1 页(共 1 2 页)取 x=0,得;,P B 所 在 直 线 方 程 为,取 y=0,得|A N|=,|B M|=1=四 边 形 A B N M 的 面 积 为 定 值 2【点 评】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程,考 查 了 椭 圆 的 简 单 性 质,考 查 计 算 能 力 与 推 理 论 证 能 力,是 中 档 题 2 0(2 0 1 6 北 京)设 函 数 f(x)=x3+a x2+b x+c(1)求 曲 线 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 方 程;(2)设 a=b=4,若 函 数 f(x)有 三 个 不 同 零 点,求 c 的 取 值 范 围;(3)求 证:a2 3 b 0 是 f(x)有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件 第 1 2 页(共 1 2 页)【考 点】利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程;函 数 零 点 的 判 定 定 理【专 题】方 程 思 想;分 析 法;函 数 的 性 质 及 应 用;导 数 的 概 念 及 应 用【分 析】(1)求 出 f(x)的 导 数,求 得 切 线 的 斜 率 和 切 点,进 而 得 到 所 求 切 线 的 方 程;(2)由 f(x)=0,可 得 c=x3+4 x2+4 x,由 g(x)=x3+4 x2+4 x,求 得 导 数,单 调 区 间 和 极值,由 c 介 于 极 值 之 间,解 不 等 式 即 可 得 到 所 求 范 围;(3)先 证 若 f(x)有 三 个 不 同 零 点,令 f(x)=0,可 得 单 调 区 间 有 3 个,求 出 导 数,由 导数 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点,运 用 判 别 式 大 于 0,可 得 a2 3 b 0;再 由 a=b=4,c=0,可 得 若 a2 3 b 0,不 能 推 出 f(x)有 3 个 零 点【解 答】解:(1)函 数 f(x)=x3+a x2+b x+c 的 导 数 为 f(x)=3 x2+2 a x+b,可 得 y=f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 斜 率 为 k=f(0)=b,切 点 为(0,c),可 得 切 线 的 方 程 为 y=b x+c;(2)设 a=b=4,即 有 f(x)=x3+4 x2+4 x+c,由 f(x)=0,可 得 c=x3+4 x2+4 x,由 g(x)=x3+4 x2+4 x 的 导 数 g(x)=3 x2+8 x+4=(x+2)(3 x+2),当 x 或 x 2 时,g(x)0,g(x)递 增;当 2 x 时,g(x)0,g(x)递 减 即 有 g(x)在 x=2 处 取 得 极 大 值,且 为 0;g(x)在 x=处 取 得 极 小 值,且 为 由 函 数 f(x)有 三 个 不 同 零 点,可 得 c 0,解 得 0 c,则 c 的 取 值 范 围 是(0,);(3)证 明:若 f(x)有 三 个 不 同 零 点,令 f(x)=0,可 得 f(x)的 图 象 与 x 轴 有 三 个 不 同 的 交 点 即 有 f(x)有 3 个 单 调 区 间,即 为 导 数 f(x)=3 x2+2 a x+b 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点,可 得 0,即 4 a2 1 2 b 0,即 为 a2 3 b 0;若 a2 3 b 0,即 有 导 数 f(x)=3 x2+2 a x+b 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点,当 c=0,a=b=4 时,满 足 a2 3 b 0,即 有 f(x)=x(x+2)2,图 象 与 x 轴 交 于(0,0),(2,0),则 f(x)的 零 点 为 2 个 故 a2 3 b 0 是 f(x)有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件【点 评】不 同 考 查 导 数 的 运 用:求 切 线 的 方 程 和 单 调 区 间、极 值,考 查 函 数 的 零 点 的 判 断,注 意 运 用 导 数 求 得 极 值,考 查 化 简 整 理 的 圆 能 力,属 于 中 档 题

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