2016年重庆市高考理科数学试题及答案(精校版).pdf
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2016年重庆市高考理科数学试题及答案(精校版).pdf
12 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(新 课 标)理 科数 学注 意 事 项:1.本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分.第 卷 1 至 3 页,第 卷 3 至 5 页.2.答 题 前,考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 题 相 应 的 位 置.3.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成,答 在 本 试 题 上 无 效.4.考 试 结 束 后,将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 卷一、选择 题:本大 题共 12 小题,每小 题 5 分,在每 小题 给出的 四个 选项中,只有 一项 是符合题 目要 求的.1.已 知(3)(1)i z m m 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是(A)3 1,(B)1 3,(C)1,+(D)3-,2.已 知 集 合 1,2 3 A,,|(1)(2)0 B x x x x Z,则 A B(A)1(B)1 2,(C)0 1 2 3,(D)1 0 1 2 3,3.已 知 向 量(1,)(3,2)a m b,=,且()a b b,则 m=(A)8(B)6(C)6(D)84.圆2 22 8 1 3 0 x y x y 的 圆 心 到 直 线1 0 ax y 的 距 离 为 1,则 a=(A)43(B)34(C)3(D)25.如 图,小 明 从 街 道 的 E 处 出 发,先 到 F 处 与 小 红 会 合,再 一 起 到 位 于 G 处 的 老 年 公 寓 参 加 志 愿 者活 动,则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为(A)2 4(B)1 8(C)1 2(D)96.右 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图,则 该 几 何 体 的 表 面 积 为(A)2 0(B)2 4(C)2 8(D)3 2 27.若 将 函 数 y=2 s i n 2 x 的 图 像 向 左 平 移1 2个 单 位 长 度,则 平 移 后 图 象 的 对 称 轴 为(A)2 6kx k Z(B)2 6kx k Z(C)2 1 2Zkx k(D)2 1 2Zkx k 8.中 国 古 代 有 计 算 多 项 式 值 的 秦 九 韶 算 法,右 图 是 实 现 该 算 法 的 程 序 框 图.执 行 该程 序 框 图,若 输 入 的 2 x,2 n,依 次 输 入 的 a 为 2,2,5,则 输 出 的s(A)7(B)1 2(C)1 7(D)3 49.若 3c o s4 5,则 s i n 2=(A)725(B)15(C)15(D)72 51 0.从 区 间 0,1随 机 抽 取 2 n 个 数1x,2x,nx,1y,2y,ny,构 成 n 个 数对 1 1,x y,2 2,x y,,n nx y,其 中 两 数 的 平 方 和 小 于 1 的 数 对 共 有 m 个,则 用 随 机 模 拟 的 方 法 得 到 的 圆 周 率的 近 似 值 为(A)4 nm(B)2 nm(C)4 mn(D)2 mn1 1.已 知1F,2F 是 双 曲 线 E:2 22 21x ya b 的 左,右 焦 点,点 M 在 E 上,1M F 与x轴 垂 直,s i n2 113M F F,则 E 的 离 心 率 为(A)2(B)32(C)3(D)21 2.已 知 函 数 R f x x 满 足 2 f x f x,若 函 数1 xyx 与 y f x 图 像 的 交 点为 1 1x y,2 2x y,m mx y,则 1mi iix y()(A)0(B)m(C)2 m(D)4 m第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 第 1 3 2 1 题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2 2 4 题 为选 考 题。考 生 根 据 要 求 作 答。二、选 择 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分。1 3.A B C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若4c os5A,5c os13C,1 a,则 b 1 4.,是 两 个 平 面,m,n 是 两 条 线,有 下 列 四 个 命 题:3 如 果 m n,m,n,那 么 如 果 m,n,那 么 m n 如 果a,m,那 么m 如 果 m n,那 么 m 与所 成 的 角 和 n 与所 成 的 角 相 等 其 中 正 确 的 命 题 有.(填 写 所 有 正 确 命 题 的 编 号)1 5.有 三 张 卡 片,分 别 写 有 1 和 2,1 和 3,2 和 3 甲,乙,丙 三 人 各 取 走 一 张 卡 片,甲 看 了 乙 的 卡 片后 说:“我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2”,乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说:“我 与 丙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字不 是 1”,丙 说:“我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5”,则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是1 6.若 直 线y k x b 是 曲 线l n 2 y x 的 切 线,也 是 曲 线 l n 1 y x 的 切 线,b 三、解 答 题:解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7.(本 小 题 满 分 1 2 分)nS 为 等 差 数 列 na的 前 n 项 和,且11 a,72 8 S 记 l gn nb a,其 中 x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整数,如 0.9 0,l g 9 9 1()求1b,1 1b,101b;()求 数 列 nb的 前1 0 0 0项 和 1 8.(本 小 题 满 分 1 2 分)某 险 种 的 基 本 保 费 为 a(单 位:元),继 续 购 买 该 险 种 的 投 保 人 称 为 续 保 人,续 保 人 本 年 度 的 保 费 与其 上 年 度 出 险 次 数 的 关 联 如 下:上 年 度 出 险 次 数 0 1 2 3 4 5 保 费 0.8 5 a a 1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 a设 该 险 种 一 续 保 人 一 年 内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 如 下:一 年 内 出 险 次 数 0 1 2 3 4 5 概 率 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5()求 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率;()若 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费,求 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%的 概 率;()求 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 1 9.(本 小 题 满 分 1 2 分)如 图,菱 形 A B C D 的 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O,5 A B,6 A C,点 E,F 分 别 在 A D,C D 上,454A E C F,E F 交 B D 于 点 H.将 D E F 沿 E F 折 到 D E F 的 位 置10 O D.(I)证 明:D H 平 面 A B C D;(I I)求 二 面 角 B D A C 的 正 弦 值.2 0.(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 椭 圆 E:2 213x yt 的 焦 点 在x轴 上,A 是 E 的 左 顶 点,斜 率 为(0)k k 的 直 线 交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,M A N A.(I)当 4 t,A M A N 时,求 A M N 的 面 积;(I I)当2 A M A N 时,求 k 的 取 值 范 围.2 1.(本 小 题 满 分 1 2 分)(I)讨 论 函 数2(x)e2xxfx的 单 调 性,并 证 明 当 0 x 时,(2)e 2 0;xx x(I I)证 明:当 0,1)a 时,函 数 2e=(0)xa x ag x xx 有 最 小 值.设 g x的 最 小 值 为()h a,求 函 数()h a的 值 域.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题 号2 2.(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲如 图,在 正 方 形 A B C D,E,G 分 别 在 边 D A,D C 上(不 与 端 点 重 合),且 D E=D G,过 D 点 作 D F C E,垂 足 为 F.(I)证 明:B,C,G,F 四 点 共 圆;(I I)若 1 A B,E 为 D A 的 中 点,求 四 边 形 B C G F 的 面 积.2 3.(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4 4:坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 线 坐 标 系 x O y 中,圆 C 的 方 程 为 226 2 5 x y(I)以 坐 标 原 点 为 极 点,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,求 C 的 极 坐 标 方 程;(I I)直 线 l 的 参 数 方 程 是c o ss i nx ty t(t 为 参 数),l 与 C 交 于 A、B 两 点,10 A B,求 l 的 斜 率 2 4.(本 小 题 满 分 1 0 分),选 修 4 5:不 等 式 选 讲已 知 函 数 1 12 2f x x x,M 为 不 等 式 2 f x 的 解 集.(I)求 M;(I I)证 明:当 a,b M 时,1 a b a b 52 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数学 答 案及 解析1.【解 析】A 3 0 m,1 0 m,3 1 m,故 选 A 2.【解 析】C 1 2 0 Z B x x x x,1 2 Z x x x,0 1 B,0 1 2 3 A B,故 选 C 3.【解 析】D 4 2 a b m,()a b b,()1 2 2(2)0 a b b m 解 得 8 m,故 选 D 4.【解 析】A圆2 22 8 1 3 0 x y x y 化 为 标 准 方 程 为:2 21 4 4 x y,故 圆 心 为 1 4,24 111ada,解 得43a,故 选 A 5.【解 析】BE F 有 6 种 走 法,F G 有 3 种 走 法,由 乘 法 原 理 知,共 6 3 1 8 种 走 法故 选 B 6.【解 析】C几 何 体 是 圆 锥 与 圆 柱 的 组 合 体,设 圆 柱 底 面 圆 半 径 为 r,周 长 为c,圆 锥 母 线 长 为 l,圆 柱 高 为 h 由 图 得 2 r,2 4 c r,由 勾 股 定 理 得:222 2 3 4 l,212S r c h c l 表4 1 6 8 2 8,故 选 C 7.【解 析】B平 移 后 图 像 表 达 式 为2 s i n 21 2y x,令 2+1 2 2x k,得 对 称 轴 方 程:2 6Zkx k,故 选 B 68.【解 析】C第 一 次 运 算:0 2 2 2 s,第 二 次 运 算:2 2 2 6 s,第 三 次 运 算:6 2 5 1 7 s,故 选 C 9.【解 析】D3c o s4 5,2 7s i n 2 c o s 2 2 c o s 12 4 2 5,故 选 D 1 0.【解 析】C由 题 意 得:1 2i ix y i n,在 如 图 所 示 方 格 中,而 平 方 和 小 于 1 的 点 均 在如 图 所 示 的 阴 影 中由 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 知41mn,4mn,故 选 C 1 1.【解 析】A离 心 率1 22 1F FeM F M F,由 正 弦 定 理 得1 22 1 1 22 2s i n321s i n s i n13F F MeM F M F F F 故 选 A 1 2.【解 析】B由 2 f x f x 得 f x关 于 0 1,对 称,而1 11xyx x 也 关 于 0 1,对 称,对 于 每 一 组 对 称 点 0i ix x=2i iy y,1 1 10 22m m mi i i ii i imx y x y m,故 选 B 71 3.【解 析】2 11 34c os5A,5c os13C,3s i n5A,12s i n13C,6 3s i n s i n s i n c o s c o s s i n6 5B A C A C A C,由 正 弦 定 理 得:s i n s i nb aB A 解 得2113b 1 4.【解 析】1 5.【解 析】(1,3)由 题 意 得:丙 不 拿(2,3),若 丙(1,2),则 乙(2,3),甲(1,3)满 足,若 丙(1,3),则 乙(2,3),甲(1,2)不 满 足,故 甲(1,3),1 6.【解 析】1 l n 2 l n 2 y x 的 切 线 为:111l n 1 y x xx(设 切 点 横 坐 标 为1x)l n 1 y x 的 切 线 为:222 21l n 11 1xy x xx x 1 221 221 11l n 1 l n 11x xxx xx 解 得112x 212x 1l n 1 1 l n 2 b x 1 7.【解 析】设 na 的公差为 d,7 47 2 8 S a,44 a,4 113a ad,1(1)na a n d n 1 1l g l g 1 0 b a,1 1 1 1l g l g 1 1 1 b a,1 0 1 1 0 1 1 0 1l g l g 2 b a 记 nb 的前 n 项和为nT,则1 0 0 0 1 2 1 0 0 0T b b b 1 2 1 0 0 0l g l g l g a a a 当 0 l g 1na 时,1 2 9 n,;当 1 l g 2na 时,10 11 99 n,;8当 2 l g 3na 时,100 101 999 n,;当 l g 3na 时,1 0 0 0 n 1 0 0 00 9 1 9 0 2 9 0 0 3 1 1 8 9 3 T 1 8.【解 析】设 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 为 事 件 A,()1()1(0.3 0 0.1 5)0.5 5 P A P A 设 续 保 人 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%为 事 件 B,()0.10 0.05 3()()0.55 11P A BP B AP A 解:设 本 年 度 所 交 保 费 为 随 机 变 量 X X 0.8 5 aa1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 aP 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5平 均 保 费0.8 5 0.3 0 0.1 5 1.2 5 0.2 0 1.5 0.2 0 1.7 5 0.1 0 2 0.0 5 E X a a a a a 0.2 5 5 0.1 5 0.2 5 0.3 0.1 7 5 0.1 1.2 3 a a a a a a a,平 均 保 费 与 基 本 保 费 比 值 为 1.2 3 1 9.【解 析】证 明:54A E C F,A E C FA D C D,E F A C 四 边 形 A B C D 为 菱 形,A C B D,E F B D,E F D H,E F D H 6 A C,3 A O;又 5 A B,A O O B,4 O B,9 1A EO H O DA O,3 D H D H,2 2 2 O D O H D H,D H O H 又 O H E F H I,D H 面 A B C D 建 立 如 图 坐 标 系 H x y z 5 0 0 B,1 3 0 C,0 0 3 D,1 3 0 A,4 3 0 A B u u u r,1 3 3 A D u u u r,0 6 0 A C u u u r,设 面 A B D 法 向 量 1n x y z,u r,由1100n A Bn A D 得4 3 03 3 0 x yx y z,取345xyz,13 4 5 n u r,同 理 可 得 面 A D C 的 法 向 量 23 0 1 n u u r,1 21 29 5 7 5c o s2 5 5 2 1 0n nn n u r u u ru r u u r,2 9 5s i n2 5 2 0.【解 析】当 4 t 时,椭 圆 E 的 方 程 为2 214 3x y,A 点 坐 标 为 2 0,则 直 线 A M 的 方 程 为 2 y k x 1 0联 立 2 214 32x yy k x 并 整 理 得,2 2 2 23 4 1 6 1 6 1 2 0 k x k x k 解 得 2 x 或228 63 4kxk,则22 22 28 6 1 21 2 13 4 3 4kA M k kk k 因 为 A M A N,所 以2221 12 121 14133 4 1A N kkkkk 因 为A M A N,0 k,所 以2 221 2 1 21 143 43k kkkk,整 理 得 21 4 4 0 k k k,24 4 0 k k 无 实 根,所 以 1 k 所 以 A M N 的 面 积 为22 1 1 1 2 1 4 41 12 2 3 4 4 9A M 直 线 A M 的 方 程 为 y k x t,联 立 2 213x yty k x t 并 整 理 得,2 2 2 2 23 2 3 0 t k x t t k x t k t 解 得x t 或2233t t k txt k,所 以22 22 23 61 13 3t t k t tA M k t kt k t k 所 以2613tA N ktkk 因 为2 A M A N 所 以2 226 62 1 133t tk ktt kkk,整 理 得,236 32k ktk因 为 椭 圆 E 的 焦 点 在 x 轴,所 以 3 t,即236 332k kk,整 理 得 231 202k kk 解 得32 2 k 2 1.【解 析】证 明:2e2xxf xx 22 22 4 ee22 2xxx xf xxx x 当 x 2 2,,时,0 f x 1 1 f x 在 2 2,,和 上 单 调 递 增 0 x 时,2e 0=12xxfx 2 e 2 0 xx x 24e 2 ex xa x x a x ag xx 4e 2 e 2x xx x a x ax 322 e2xxx axx 0 1 a,由(1)知,当 0 x 时,2e2xxf xx 的 值 域 为 1,只 有 一 解 使 得2e2ttat,0 2 t,当(0,)x t 时()0 g x,()g x 单 调 减;当(,)x t 时()0 g x,()g x 单 调 增 2 22e 1 ee 1 e22t tt ttta tth at t t 记 e2tk tt,在 0,2 t 时,2e 102ttk tt,k t 单 调 递 增 21 e2 4h a k t,2 2.【解 析】()证 明:D F C E R t R t D E F C E D G D F D E F B C F D F C FD G B C D E D G,C D B C D F C FD G B C G D F B C F C F B D F G 9 0 G F B G F C C F B G F C D F G D F C 1 8 0 G F B G C B B,C,G,F 四 点 共 圆 1 2()E 为 A D 中 点,1 A B,12D G C G D E,在 R t G F C 中,G F G C,连 接 G B,R t R t B C G B F G,1 1 12=2 1=2 2 2B C G B C G FS S 四 边 形2 3.【解 析】解:整 理 圆 的 方 程 得2 21 2 1 1 0 x y,由2 2 2c oss i nx yxy 可 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为21 2 c o s 1 1 0 记 直 线 的 斜 率 为 k,则 直 线 的 方 程 为 0 k x y,由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知:2261 02 521kk,即223 6 9 01 4kk,整 理 得253k,则1 53k 2 4.【解 析】解:当12x 时,1 122 2f x x x x,若112x;当1 12 2x 时,1 11 22 2f x x x 恒 成 立;当12x 时,2 f x x,若 2 f x,112x 综 上 可 得,|1 1 M x x 当 1 1 a b,时,有 2 21 1 0 a b,即2 2 2 21 a b a b,则2 2 2 22 1 2 a b ab a ab b,则 2 21 a b a b,即 1 a b a b,证 毕