2021年湖北省十堰市数学中考试题(解析版).pdf

湖 北 省 十 堰 市 2021 年 数 学 中 考 试 题一、选择 题（本 题有 10 个小 题，每小题 3 分，共 30 分）下面 每小 题给出 的四 个选项 中，只 有一 个是正 确的，请把 正确 选项的 字母填 涂在 答题卡 中相应的 格子 内1.12 的 相 反 数 是（）A.2 B.2 C.12 D.12【答 案】D【解 析】【详 解】因 为-12+12 0，所 以-12的 相 反 数 是12.故 选 D.2.如 图，直 线/,1 55,2 32 A B C D，则 3（）A.8 7 B.2 3 C.67 D.90【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 平 行 线 的 性 质 得 到 1 55 C，再 利 用 三 角 形 外 角 的 性 质 即 可 求 解【详 解】解：/,1 5 5 A B C D，1 55 C，3 2 87 C，故 选：A【点 睛】本 题 考 查 平 行 线 的 性 质、三 角 形 外 角 的 性 质，掌 握 上 述 基 本 性 质 定 理 是 解 题 的 关 键 3.由 5 个 相 同 的 小 立 方 体 搭 成 的 几 何 体 如 图 所 示，则 它 的 俯 视 图 为（）A.B.C.D.【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 从 上 面 看 得 到 的 视 图 是 俯 视 图，可 得 答 案【详 解】解：该 几 何 体 从 上 向 下 看，其 俯 视 图 是，故 选：A【点 睛】本 题 考 查 了 简 单 组 合 体 的 三 视 图，从 上 面 看 得 到 的 视 图 是 俯 视 图 4.下 列 计 算 正 确 的 是（）A.3 3 32 a a a B.2 2(2)4 a a C.2 2 2()a b a b D.2(2)(2)2 a a a【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 同 底 数 幂 相 乘、积 的 乘 方、乘 法 公 式 逐 一 判 断 即 可【详 解】解：A 3 3 6a a a，该 项 计 算 错 误；B 2 2(2)4 a a，该 项 计 算 正 确；C 2 2 2()2 a b a ab b，该 项 计 算 错 误；D 2(2)(2)4 a a a，该 项 计 算 错 误；故 选：B【点 睛】本 题 考 查 整 式 乘 法，掌 握 同 底 数 幂 相 乘、积 的 乘 方、乘 法 公 式 是 解 题 的 关 键 5.某 校 男 子 足 球 队 的 年 龄 分 布 如 下 表年 龄 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8人 数 2 6 8 3 2 1则 这 些 队 员 年 龄 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是（）A.8，1 5 B.8，1 4 C.1 5，1 4 D.1 5，1 5【答 案】D【解 析】【分 析】找 中 位 数 要 把 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列，位 于 最 中 间 的 一 个 数（或 两 个 数 的 平 均 数）为 中 位 数，众 数 是 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据，注 意 众 数 可 以 不 止 一 个【详 解】解：根 据 图 表 数 据，同 一 年 龄 人 数 最 多 的 是 1 5 岁，共 8 人，所 以 众 数 是 1 5 岁；2 2 名 队 员 中，按 照 年 龄 从 小 到 大 排 列，第 1 1 名 队 员 与 第 1 2 名 队 员 的 年 龄 都 是 1 5 岁，所 以，中 位 数 是（1 5 1 5）2 1 5 岁 故 选：D【点 睛】本 题 考 查 了 确 定 一 组 数 据 的 中 位 数 和 众 数 的 能 力，众 数 是 出 现 次 数 最 多 的 数 据，一 组 数 据 的 众 数可 能 有 不 止 一 个，找 中 位 数 的 时 候 一 定 要 先 排 好 顺 序，然 后 再 根 据 奇 数 和 偶 数 个 来 确 定 中 位 数，如 果 数 据有 奇 数 个，则 正 中 间 的 数 字 即 为 所 求，如 果 是 偶 数 个 则 找 中 间 两 位 数 的 平 均 数，中 位 数 不 一 定 是 这 组 数 据中 的 数 6.某 工 厂 现 在 平 均 每 天 比 原 计 划 多 生 产 5 0 台 机 器，现 在 生 产 4 0 0 台 机 器 所 需 时 间 比 原 计 划 生 产 4 5 0 台 机 器所 需 时 间 少 1 天，设 现 在 平 均 每 天 生 产 x 台 机 器，则 下 列 方 程 正 确 的 是（）A.400 450150 x x B.450 400150 x x C.400 450501 x x D.450 40051 x x【答 案】B【解 析】【分 析】设 现 在 每 天 生 产 x 台，则 原 来 可 生 产（x 5 0）台 根 据 现 在 生 产 4 0 0 台 机 器 的 时 间 与 原 计 划 生 产4 5 0 台 机 器 的 时 间 少 1 天，列 出 方 程 即 可【详 解】解：设 现 在 每 天 生 产 x 台，则 原 来 可 生 产（x 5 0）台 依 题 意 得：450 400150 x x 故 选：B【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 列 分 式 方 程 应 用，利 用 本 题 中“现 在 生 产 4 0 0 台 机 器 的 时 间 与 原 计 划 生 产 4 5 0 台机 器 的 时 间 少 1 天”这 一 个 条 件，列 出 分 式 方 程 是 解 题 关 键 7.如 图，小 明 利 用 一 个 锐 角 是 3 0 的 三 角 板 测 量 操 场 旗 杆 的 高 度，已 知 他 与 旗 杆 之 间 的 水 平 距 离 B C 为1 5 m，A B 为 1.5 m（即 小 明 的 眼 睛 与 地 面 的 距 离），那 么 旗 杆 的 高 度 是（）A.31 5 3 m2 B.5 3 mC.15 3 mD.35 3 m2【答 案】D【解 析】【分 析】先 根 据 题 意 得 出 A D 的 长，在 R t A E D 中 利 用 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 求 出 E D 的 长，由 C E C D D E 即 可 得 出 结 论【详 解】解：A B B C，D E B C，A D B C，四 边 形 A B C D 是 矩 形，B C 1 5 m，A B 1.5 m，A D B C 1 5 m，D C A B 1.5 m，在 R t A E D 中，E A D 3 0，A D 1 5 m，E D A D t a n 3 0 1 5 33 53，C E C D D E 35 3 m2 故 选：D【点 睛】本 题 考 查 的 是 解 直 角 三 角 形 在 实 际 生 活 中 的 应 用，熟 知 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 是 解 答 此 题 的 关 键，属 于 基 本 知 识 的 考 查 8.如 图，A B C 内 接 于,120,O B A C A B A C B D 是 O 的 直 径，若 3 A D，则 B C（）A.2 3B.3 3C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】首 先 过 点 O 作 O F B C 于 F，由 垂 径 定 理 可 得 B F C F 12B C，然 后 由 B A C 1 2 0，A B A C，利 用 等 边 对 等 角 与 三 角 形 内 角 和 定 理，即 可 求 得 C 与 B A C 的 度 数，由 B D 为 O 的 直 径，即 可 求 得 B A D与 D 的 度 数，又 由 A D 3，即 可 求 得 B D 的 长，继 而 求 得 B C 的 长【详 解】解：过 点 O 作 O F B C 于 F，B F C F 12B C，A B A C，B A C 1 2 0，C A B C（1 8 0 B A C）2 3 0，C 与 D 是 同 弧 所 对 的 圆 周 角，D C 3 0，B D 为 O 的 直 径，B A D 9 0，A B D 6 0，O B C A B D A B C 3 0，A D 3，B D A D c o s 3 0 3 32=23，O B 12B D 3，B F O B c o s 3 0 33232，B C 3 故 选：C【点 睛】此 题 考 查 了 圆 周 角 定 理、垂 径 定 理、等 腰 三 角 形 的 性 质、直 角 三 角 形 的 性 质 以 及 特 殊 角 的 三 角 函数 值 等 知 识 此 题 综 合 性 较 强，难 度 适 中，解 题 的 关 键 是 注 意 数 形 结 合 思 想 的 应 用，注 意 准 确 作 出 辅 助 线 9.将 从 1 开 始 的 连 续 奇 数 按 如 图 所 示 的 规 律 排 列，例 如，位 于 第 4 行 第 3 列 的 数 为 2 7，则 位 于 第 3 2 行 第1 3 列 的 数 是（）A.2 0 2 5 B.2 0 2 3 C.2 0 2 1 D.2 0 1 9【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 数 字 的 变 化 关 系 发 现 规 律 第 n 行，第 n 列 的 数 据 为：2 n(n-1)+1，即 可 得 第 3 2 行，第 3 2 列 的数 据 为：2 3 2(3 2-1)+1=1 9 8 5，再 依 次 加 2，到 第 3 2 行，第 1 3 列 的 数 据，即 可【详 解】解：观 察 数 字 的 变 化，发 现 规 律：第 n 行，第 n 列 的 数 据 为：2 n(n-1)+1，第 3 2 行，第 3 2 列 的 数 据 为：2 3 2(3 2-1)+1=1 9 8 5，根 据 数 据 的 排 列 规 律，第 偶 数 行 从 右 往 左 的 数 据 一 次 增 加 2，第 3 2 行，第 1 3 列 的 数 据 为：1 9 8 5+2(3 2-1 3)=2 0 2 3，故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 数 字 的 变 化 类，解 决 本 题 的 关 键 是 观 察 数 字 的 变 化 寻 找 探 究 规 律，利 用 规 律 解 决 问 题 1 0.如 图，反 比 例 函 数 0ky xx 的 图 象 经 过 点(2,1)A，过 A 作 A B y 轴 于 点 B，连 O A，直 线 C D O A，交 x 轴 于 点 C，交 y 轴 于 点 D，若 点 B 关 于 直 线 C D 的 对 称 点 B 恰 好 落 在 该 反 比 例 函 数 图 像 上，则 D 点 纵坐 标 为（）A.5 5 14B.52C.73D.5 5 14【答 案】A【解 析】【分 析】设 点 B 关 于 直 线 C D 的 对 称 点2,B aa，易 得/B B O A 求 出 a 的 值，再 根 据 勾 股 定 理 得 到 两 点间 的 距 离，即 可 求 解【详 解】解：反 比 例 函 数 0ky xx 的 图 象 经 过 点(2,1)A，2 k，直 线 O A 的 解 析 式 为12y x，C D O A，设 直 线 C D 的 解 析 式 为 2 y x b，则 0,D b，设 点 B 关 于 直 线 C D 的 对 称 点2,B aa，则 22221 b a ba，且/B B O A，即2112aa，解 得5 1 a，代 入 可 得5 5 14b，故 选：A【点 睛】本 题 考 查 反 比 例 函 数 的 图 象 与 性 质，掌 握 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 性 质 是 解 题 的 关 键 二、填空 题（本 题有 6 个小 题，每小题 3 分，共 18 分）1 1.2 0 2 1 年 5 月 1 1 日，第 七 次 全 国 人 口 普 查 结 果 公 布，我 国 总 人 口 大 约 为 1 4 1 2 0 0 0 0 0 0 人，把 数 字 1 4 1 2 0 0 0 0 0 0科 学 记 数 法 表 示 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】91.412 10【解 析】【分 析】直 接 利 用 科 学 记 数 法 表 示 数 的 方 法 即 可 求 解【详 解】解：1 4 1 2 0 0 0 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 为91.412 10，故 答 案 为：91.412 10【点 睛】本 题 考 查 科 学 记 数 法，掌 握 用 科 学 记 数 法 表 示 数 的 方 法 是 解 题 的 关 键 1 2.已 知 2,3 3 x y x y，则3 2 2 32 12 18 x y x y x y _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 6【解 析】【分 析】先 把 多 项 式 因 式 分 解，再 代 入 求 值，即 可【详 解】2,3 3 x y x y，原 式=222 3 2 2 3 3 6 x y x y，故 答 案 是：3 6【点 睛】本 题 主 要 考 查 代 数 式 求 值，掌 握 提 取 公 因 式 法 和 公 式 法 分 解 因 式，是 解 题 的 关 键 1 3.如 图，O 是 矩 形 A B C D 的 对 角 线 A C 的 中 点，M 是 A D 的 中 点，若 A B=5，A D=1 2，则 四 边 形 A B O M的 周 长 为 _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2 0【解 析】【详 解】A B 5，A D 1 2，根 据 矩 形 的 性 质 和 勾 股 定 理，得 A C 1 3.B O 为 R A B C 斜 边 上 的 中 线 B O 6.5 O 是 A C 的 中 点，M 是 A D 的 中 点，O M 是 A C D 的 中 位 线 O M 2.5 四 边 形 A B O M 的 周 长 为：6.5 2.5 6 5 2 0故 答 案 为 2 01 4.对 于 任 意 实 数 a、b，定 义 一 种 运 算：2 2a b a b a b，若 1 3 x x，则 x 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 或 2【解 析】【分 析】根 据 新 定 义 的 运 算 得 到 221 1 1 3 x x x x x x，整 理 并 求 解 一 元 二 次 方 程 即 可【详 解】解：根 据 新 定 义 内 容 可 得：221 1 1 3 x x x x x x，整 理 可 得22 0 x x，解 得11 x，22 x，故 答 案 为：1 或 2【点 睛】本 题 考 查 新 定 义 运 算、解 一 元 二 次 方 程，根 据 题 意 理 解 新 定 义 运 算 是 解 题 的 关 键 1 5.如 图，在 边 长 为 4 的 正 方 形 A B C D 中，以 A B 为 直 径 的 半 圆 交 对 角 线 A C 于 点 E，以 C 为 圆 心、B C 长为 半 径 画 弧 交 A C 于 点 F，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3-6【解 析】【分 析】连 接 B E，可 得 A B E 是 等 腰 直 角 三 角 形，弓 形 B E 的 面 积=2，再 根 据 阴 影 部 分 的 面 积=弓 形B E 的 面 积+扇 形 C B F 的 面 积-B C E 的 面 积，即 可 求 解【详 解】连 接 B E，在 正 方 形 A B C D 中，以 A B 为 直 径 的 半 圆 交 对 角 线 A C 于 点 E，A E B=9 0，即：A C B E，C A B=4 5，A B E 是 等 腰 直 角 三 角 形，即：A E=B E，弓 形 B E 的 面 积=21 12 2 2 24 2，阴 影 部 分 的 面 积=弓 形 B E 的 面 积+扇 形 C B F 的 面 积-B C E 的 面 积=2+245 4360-1 14 42 2=3-6 故 答 案 是：3-6【点 睛】本 题 主 要 考 查 正 方 形 的 性 质，扇 形 的 面 积 公 式，添 加 辅 助 线，把 不 规 则 图 形 进 行 合 理 的 分 割，是解 题 的 关 键 1 6.如 图，在 R t A B C 中，9 0,8,6 A C B A C B C，点 P 是 平 面 内 一 个 动 点，且 3 A P，Q 为 B P的 中 点，在 P 点 运 动 过 程 中，设 线 段 C Q 的 长 度 为 m，则 m 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】72 m 1 32【解 析】【分 析】作 A B 的 中 点 M，连 接 C M、Q M，根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 以 及 三 角 形 的 中位 线 定 理 求 得 Q M 和 C M 的 长，然 后 在 C Q M 中 根 据 三 边 关 系 即 可 求 解【详 解】解：作 A B 的 中 点 M，连 接 C M、Q M 3,A P P 在 以 A 为 圆 心，3 为 半 径 的 圆 上 运 动，在 直 角 A B C 中，A B 2 2 2 28 6 1 0 A C B C，M 是 直 角 A B C 斜 边 A B 上 的 中 点，C M 12A B 5 Q 是 B P 的 中 点，M 是 A B 的 中 点，M Q 12A P 32 在 C M Q 中，5 32 C Q 32 5，即72 m 1 32故 答 案 是：72 m 1 32【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 形 的 中 位 线 的 性 质，三 角 形 三 边 长 关 系，勾 股 定 理、直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等于 斜 边 的 一 半，作 圆，作 A B 的 中 点 M，连 接 C M、Q M，构 造 三 角 形，是 解 题 的 关 键 三、解答 题（本 题有 9 个小 题，共 72 分）1 7.计 算：112 c o s 45 33【答 案】1【解 析】【分 析】利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值、负 整 数 指 数 幂、绝 对 值 的 性 质 逐 项 计 算，即 可 求 解【详 解】解：原 式22 3 32 1【点 睛】本 题 考 查 实 数 的 运 算，掌 握 特 殊 角 的 三 角 函 数 值、负 整 数 指 数 幂、绝 对 值 的 性 质 是 解 题 的 关 键 1 8.化 简：2 22 1 42 4 4a a aa a a a a【答 案】21(2)a【解 析】【分 析】先 算 分 式 的 减 法，再 把 除 法 化 为 乘 法 运 算，进 行 约 分，即 可 求 解【详 解】解：原 式=22 1(2)(2)4a a aa a a a=2 22 2 1(2)(2)4a a a aaa a a a a=2 224(2)4a a a aa a a=24(2)4a aa a a=21(2)a【点 睛】本 题 主 要 考 查 分 式 的 化 简，掌 握 分 式 的 通 分 和 约 分，是 解 题 的 关 键 1 9.为 庆 祝 中 国 共 产 党 成 立 1 0 0 周 年，某 校 举 行 党 史 知 识 竞 赛 活 动 赛 后 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 成 绩，按 得分 划 分 为 A、B、C、D 四 个 等 级，并 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计 表 和 统 计 图 等 级 成 绩（x）人 数A 9 0 1 0 0 x 1 5B 8 0 9 0 x aC 7 0 8 0 x 1 8D 7 0 x 7根 据 图 表 信 息，回 答 下 列 问 题：（1）表 中a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；扇 形 统 计 图 中，C 等 级 所 占 的 百 分 比 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _；D 等 级 对 应 的 扇 形 圆 心 角 为_ _ _ _ _ _ _ _ 度；若 全 校 共 有 1 8 0 0 名 学 生 参 加 了 此 次 知 识 竞 赛 活 动，请 估 计 成 绩 为 A 等 级 的 学 生 共 有 _ _ _ _ _ _ _人（2）若 9 5 分 以 上 的 学 生 有 4 人，其 中 甲、乙 两 人 来 自 同 一 班 级，学 校 将 从 这 4 人 中 随 机 选 出 两 人 参 加 市级 比 赛，请 用 列 表 或 树 状 图 法 求 甲、乙 两 人 至 少 有 1 人 被 选 中 的 概 率【答 案】（1）2 0,3 0%，4 2，4 5 0 人；（2）56【解 析】【分 析】（1）先 由 A 等 级 的 圆 心 角 度 数 和 人 数，求 出 样 本 总 数，作 差 即 可 得 到 a 的 值，再 根 据 C 和 D 占 总人 数 的 比 例，求 出 百 分 比 或 圆 心 角 度 数，利 用 样 本 估 计 总 体 的 方 法 求 出 全 校 成 绩 为 A 等 级 的 人 数；（2）先 列 出 表 格，将 所 有 情 况 列 举，利 用 概 率 公 式 即 可 求 解【详 解】解：（1）总 人 数 为9015 60360 人，60 15 18 7 20 a，C 等 级 所 占 的 百 分 比18100%30%60，D 等 级 对 应 的 扇 形 圆 心 角7360 4260，若 全 校 共 有 1 8 0 0 名 学 生 参 加 了 此 次 知 识 竞 赛 活 动，成 绩 为 A 等 级 的 学 生 共 有1 51 8 0 0 4 5 06 0 人；（2）列 表 如 下：甲 乙 丙 丁甲 甲 乙 甲 丙 甲 丁乙 甲 乙 乙 丙 乙 丁丙 甲 丙 乙 丙 丙 丁丁 甲 丁 乙 丁 丙 丁共 有 1 2 种 情 况，其 中 甲、乙 两 人 至 少 有 1 人 被 选 中 的 有 1 0 种，P(甲、乙 两 人 至 少 有 1 人 被 选 中)1 0 51 2 6【点 睛】本 题 考 查 统 计 与 概 率，能 够 从 扇 形 统 计 图 和 统 计 表 中 获 取 相 关 信 息 是 解 题 的 关 键 2 0.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程24 2 5 0 x x m 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根（1）求 实 数 m 的 取 值 范 围；（2）若 该 方 程 的 两 个 根 都 是 符 号 相 同 的 整 数，求 整 数 m 的 值【答 案】（1）12m；（2）1【解 析】【分 析】（1）直 接 利 用 根 的 判 别 式 即 可 求 解；（2）根 据 韦 达 定 理 可 得1 22 5 0 x x m，1 24 x x，得 到1 52 2m，根 据 两 个 根 和 m 都 是 整 数，进 行 分 类 讨 论 即 可 求 解【详 解】解：（1）一 元 二 次 方 程24 2 5 0 x x m 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，16 4 2 5 0 m，解 得12m；（2）设 该 方 程 的 两 个 根 为1x、2x，该 方 程 的 两 个 根 都 是 符 号 相 同 的 整 数，1 22 5 0 x x m，1 24 x x，1 52 2m，m 的 值 为 1 或 2，当 1 m 时，方 程 两 个 根 为11 x、23 x；当 2 m 时，方 程 两 个 根1x 与2x 不 是 整 数；m 的 值 为 1【点 睛】本 题 考 查 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式、韦 达 定 理，掌 握 上 述 知 识 点 是 解 题 的 关 键 2 1.如 图，已 知 A B C 中，D 是 A C 的 中 点，过 点 D 作 D E A C 交 B C 于 点 E，过 点 A 作/A F B C 交 D E于 点 F，连 接 A E、C F（1）求 证：四 边 形 A E C F 是 菱 形；（2）若 2,30,45 C F F A C B，求 A B 的 长【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）6【解 析】【分 析】（1）通 过 证 明 A D F C D E 得 到 A F C E，即 四 边 形 A E C F 是 平 行 四 边 形，再 根 据 对 角 线 互相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 即 可 得 证；（2）点 A 作 A M B C，通 过 解 直 角 三 角 形 即 可 求 解【详 解】解：（1）/A F B C，F A D E C D，D 是 A C 的 中 点，D E A C，F D A E D C，A D C D，A D F C D E，A F C E，四 边 形 A E C F 是 平 行 四 边 形，D E A C，平 行 四 边 形 A E C F 是 菱 形；（2）A E C F 是 菱 形，2 A F C F，c os 30 3 A D A F，2 2 3 A C A D，过 点 A 作 A M B C，s i n 30 3 A M A C，6s i n 45A MA B【点 睛】本 题 考 查 菱 形 的 判 定 与 性 质、解 直 角 三 角 形 等 内 容，作 出 辅 助 线 构 造 直 角 三 角 形 是 解 题 的 关 键 2 2.如 图，已 知 A B 是 O 的 直 径，C 为 O 上 一 点，O C B 的 角 平 分 线 交 O 于 点 D，F 在 直 线 A B 上，且 D F B C，垂 足 为 E，连 接 A D、B D（1）求 证：D F 是 O 的 切 线；（2）若1t a n2A，O 的 半 径 为 3，求 E F 的 长【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）85E F【解 析】【分 析】（1）连 接 O D，通 过 等 边 对 等 角 和 角 平 分 线 的 定 义 得 到 O D C B C D，利 用 平 行 线 的 性 质 与 判定 即 可 得 证；（2）通 过 证 明 A D F D B F 求 出 线 段 D F 和 B F 的 长 度，再 通 过 证 明 O D F B E F，利 用 相 似 三 角形 的 性 质 即 可 求 解【详 解】解：（1）连 接 O D，O D O C，O C D O D C，C D 平 分 O C B，O C D B C D，O D C B C D，/O D B C，D F B C O D D F，D F 是 O 的 切 线；（2）9 0 A D O B D O，90 F D B B D O，A D O F D B，A D O O A D，O A D F D B，A D F D B F，1t a n2D B D F B FAA D A F D F，122D F A F B F，即 16 22B F B F，解 得 2 B F，4 D F，O D D F，B E D F，O D F B E F，22 3E F B FD F O F，解 得85E F【点 睛】本 题 考 查 圆 与 相 似 综 合，掌 握 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 是 解 题 的 关 键 2 3.某 商 贸 公 司 购 进 某 种 商 品 的 成 本 为 2 0 元/kg，经 过 市 场 调 研 发 现，这 种 商 品 在 未 来 4 0 天 的 销 售 单 价 y（元/kg）与 时 间 x（天）之 间 的 函 数 关 系 式 为：0.25 30(1 20)35(20 40)x xyx 且 x 为 整 数，且 日 销 量 kg m与 时 间 x（天）之 间 的 变 化 规 律 符 合 一 次 函 数 关 系，如 下 表：时 间 x（天）1 3 6 1 0 日 销 量 k g m 1 4 2 1 3 8 1 3 2 1 2 4 填 空：（1）m 与 x 的 函 数 关 系 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；（2）哪 一 天 的 销 售 利 润 最 大？最 大 日 销 售 利 润 是 多 少？（3）在 实 际 销 售 的 前 2 0 天 中，公 司 决 定 每 销 售 1kg 商 品 就 捐 赠 n 元 利 润（4 n）给 当 地 福 利 院，后 发 现：在 前 2 0 天 中，每 天 扣 除 捐 赠 后 的 日 销 售 利 润 随 时 间 x 的 增 大 而 增 大，求 n 的 取 值 范 围【答 案】（1）2 144 m x；（2）第 1 6 天 销 售 利 润 最 大，最 大 为 1 5 6 8 元；（3）0 2 n【解 析】【分 析】（1）设 m k x b，将 1 142,，3 138,代 入，利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 解；（2）分 别 写 出 当 1 2 0 x 时 与 当 2 0 4 0 x 时 的 销 售 利 润 表 达 式，利 用 二 次 函 数 和 一 次 函 数 的 性 质 即 可求 解；（3）写 出 在 前 2 0 天 中，每 天 扣 除 捐 赠 后 的 日 销 售 利 润 表 达 式，根 据 二 次 函 数 的 性 质 可 得 对 称 轴 16 2 20 n，求 解 即 可【详 解】解：（1）设 m k x b，将 1 142,，3 138,代 入 可 得：142138 3k bk b，解 得21 4 4kb，2 144 m x；（2）当 1 2 0 x 时，销 售 利 润 2 120 2 144 0.25 30 20 16 15682W m y m x x x，当 1 6 x 时，销 售 利 润 最 大 为 1 5 6 8 元；当 2 0 4 0 x 时，销 售 利 润20 30 2160 W m y m x，当 2 1 x 时，销 售 利 润 最 大 为 1 5 3 0 元；综 上 所 述，第 1 6 天 销 售 利 润 最 大，最 大 为 1 5 6 8 元；（3）在 前 2 0 天 中，每 天 扣 除 捐 赠 后 的 日 销 售 利 润 为：21 20 0.25 10 2 144 16 2 1440 1442W m y m nm x n x x n x n，1 2 0 x 时，W 随 x 的 增 大 而 增 大，对 称 轴 16 2 20 n，解 得 0 2 n【点 睛】本 题 考 查 二 次 函 数 与 一 次 函 数 的 实 际 应 用，掌 握 二 次 函 数 与 一 次 函 数 的 性 质 是 解 题 的 关 键 2 4.已 知 等 边 三 角 形 A B C，过 A 点 作 A C 的 垂 线 l，点 P 为 l 上 一 动 点（不 与 点 A 重 合），连 接 C P，把 线段 C P 绕 点 C 逆 时 针 方 向 旋 转 6 0 得 到 C Q，连 Q B（1）如 图 1，直 接 写 出 线 段 A P 与 B Q 的 数 量 关 系；（2）如 图 2，当 点 P、B 在 A C 同 侧 且 A P A C 时，求 证：直 线 P B 垂 直 平 分 线 段 C Q；（3）如 图 3，若 等 边 三 角 形 A B C 的 边 长 为 4，点 P、B 分 别 位 于 直 线 A C 异 侧，且 A P Q 的 面 积 等 于34，求 线 段 A P 的 长 度【答 案】（1）见 详 解；（2）见 详 解；（3）2 2 133 3【解 析】【分 析】（1）根 据 旋 转 的 性 质 以 及 等 边 三 角 形 的 性 质，可 得 C P=C Q，A C P=B C Q，A C=B C，进 而 即 可得 到 结 论；（2）先 证 明 B C Q 是 等 腰 直 角 三 角 形，再 求 出 C B D=4 5，根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质，即 可 得 到结 论；（3）过 点 B 作 B E l，过 点 Q 作 Q F l，根 据 A C P B C Q，可 得 A P=B Q，C A P=C B Q=9 0，设 A P=x，则 B Q=x，M Q=x-433，Q F=(x-433)32，再 列 出 关 于 x 的 方 程，即 可 求 解【详 解】（1）证 明：线 段 C P 绕 点 C 逆 时 针 方 向 旋 转 6 0 得 到 C Q，C P=C Q，P C Q=6 0，在 等 边 三 角 形 A B C 中，A C B=6 0，A C=B C，A C P=B C Q，A C P B C Q，A P=B Q；（2）A P A C，C A l，A C P 是 等 腰 直 角 三 角 形，A C P B C Q，B C Q 是 等 腰 直 角 三 角 形，C B Q=9 0，在 等 边 三 角 形 A B C 中，A C=A B，B A C=A B C=6 0，A B=A P，B A P=9 0-6 0=3 0，A B P=A P B=(1 8 0-3 0)2=7 5，C B D=1 8 0-7 5-6 0=4 5，P D 平 分 C B Q，直 线 P B 垂 直 平 分 线 段 C Q；（3）过 点 B 作 B E l，过 点 Q 作 Q F l，由（1）小 题，可 知：A C P B C Q，A P=B Q，C A P=C B Q=9 0，A C B=6 0，C A M=9 0，A M B=3 6 0-6 0-9 0-9 0=1 2 0，即：B M E=Q M F=6 0，B A E=9 0-6 0=3 0，A B=4，B E=122A B，B M=B E s i n 6 0=2 32=433，设 A P=x，则 B Q=x，M Q=x-433，Q F=M Q s i n 6 0=(x-433)32，A P Q 的 面 积 等 于34，12A P Q F=34，即：12x(x-433)32=34，解 得：2 2 133 3x 或2 2 133 3x（不 合题 意，舍 去），A P=2 2 133 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 边 三 角 形 的 性 质，旋 转 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，解 直 角 三 角 形，根 据题 意 画 出 图 形，添 加 辅 助 线，构 造 直 角 三 角 形，是 解 题 的 关 键 2 5.已 知 抛 物 线25 y a x b x 与 x 轴 交 于 点 1,0 A 和 5,0 B，与 y 轴 交 于 点 C，顶 点 为 P，点 N 在抛 物 线 对 称 轴 上 且 位 于 x 轴 下 方，连 A N 交 抛 物 线 于 M，连 A C、C M（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）如 图 1，当 t a n 2 A C M 时，求 M 点 的 横 坐 标；（3）如 图 2，过 点 P 作 x 轴 的 平 行 线 l，过 M 作 M D l 于 D，若3 M D M N，求 N 点 的 坐 标【答 案】（1）26 5 y x x；（2）6311；（3）3,2 6 N【解 析】【分 析】（1）将 点 1,0 A 和 点 5,0 B 代 入 解 析 式，即 可 求 解；（2）由 t a n 2 A C M 想 到 将 A C M 放 到 直 角 三 角 形 中，即 过 点 A 作 A E A C 交 C M 的 延 长 线 于 点 E，即 可 知 2A EA C，再 由 9 0 A O C E A C 想 到 过 点 E 作 E F x 轴，即 可 得 到 A O C E F C，故 点E 的 坐 标 可 求，结 合 点 C 坐 标 可 求 直 线 C E 解 析 式，点 M 是 直 线 C E 与 抛 物 线 交 点，联 立 解 析 式 即 可 求 解；（3）过 点 M 作 L 的 垂 线 交 于 点 D，故 设 点 M 的 横 坐 标 为 m，则 点 M 的 纵 坐 标 可 表 示，且 M D 的 长 度 也 可表 示，由/H M N Q 可 得 A H M A Q N 即 可 结 合 两 点 间 距 离 公 式 表 示 出 M N，最 后 由3 M D M N 即可 求 解【详 解】解：（1）将 点 1,0 A 和 点 5,0 B 代 入25 y a x b x 得5 025 5 5 0a ba b，解 得：16ab 26 5 y x x（2）点 A 作 A E A C 交 C M 的