2017年全国III卷高考理科数学真题及答案.pdf

20172017 年全国年全国 IIIIII 卷高考理科数学真题及答案卷高考理科数学真题及答案注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1已知集合A=22(,)1x yxy，B=(,)x yyx，则AB中元素的个数为A3B2C1D02设复数z满足(1+i)z=2i，则z=A12B22C2D23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图学#科&网根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A-80B-40C40D805已知双曲线C：22221xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为A221810 xyB22145xyC22154xyD22143xy6设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=83对称Cf(x+)的一个零点为x=6Df(x)在(2,)单调递减7执行下面的程序框图，为使输出S的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为A5B4C3D28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为AB34C2D49等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若a2，a3，a6成等比数列，则 na前 6 项的和为A-24B-3C3D810已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A63B33C23D1311已知函数211()2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则a=A12B13C12D112在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13若x，y满足约束条件y0200 xxyy，则z34xy的最小值为_14设等比数列 na满足a1+a2=1,a1a3=3，则a4=_15设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的x的取值范围是_。16a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成 60角时，AB与b成 30角；当直线AB与a成 60角时，AB与b成 60角；直线AB与a所成角的最小值为 45；直线AB与a所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sinA+3cosA=0，a=27,b=2（1）求c；（2）设 D 为BC边上一点，且 ADAC,求ABD的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？学科*网19（12 分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值20（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程21（12 分）已知函数()f x=x1alnx（1）若()0f x，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，21111+1+)222n()(1)(m，求m的最小值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2,xmmmyk （为参数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，设l3：(cos+sin)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+1x2（1）求不等式f（x）1 的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围绝密启用前20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案理科数学试题正式答案一、选择题一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A二、填空题二、填空题13.-114.-815.1（-，+）416.三、解答题三、解答题17.解：（1）由已知得tanA=23，所 以 A=3在 ABC 中，由余弦定理得2222844 cos+2-24=03c6ccccc，即解得（舍去），=4（2）有题设可得=，所 以26CADBADBACCAD故ABD 面积与ACD 面积的比值为1sin26112AB ADAC AD又ABC 的面积为142 sin23，所以的面积为3.2BACABD18.解：（1）由题意知，X所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知2162000.290P X363000.490P X 25745000.490P X.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n当300500n时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间20，,25，则Y=6300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n当200300n 时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19.解：（1）由题设可得，,ABDCBDADDC 从而又ACD是直角三角形，所以0=90ACD取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于ABCBOAC是正三角形，故所以DOBDACB为二面角的平面角2222222220,Rt AOBBOAOABABBDBODOBOAOABBDACDABC在中，又所以，故 DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA 的方向为x轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，则(1，0，0),(0，3，0),(1，0，0),(0，0，1)ABCD由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D到平面 ABC 的距离的12，即 E 为 DB 的中点，得 E3 10，22.故3 11，0，1，2，0，0，1，22ADACAE 设=x,y,zn是平面 DAE 的法向量，则00，即3100，22xzADxyzAE nn可取3113=,n设m是平面 AEC 的法向量，则0，0，ACAE mm同理可得013,m则77cos,n mn mn m所以二面角 D-AE-C 的余弦值为7720.解（1）设11222A x,y,B x,y,l:xmy由222xmyyx可得212240 则4ymy,y y 又22212121212=故=224y yyyx,x,x x=4因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为1212-4=-14yyxx所以 OAOB故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（1）可得2121212+=2+=+4=24yym,xxm yym 故圆心 M 的坐标为2+2，mm，圆 M 的半径2222rmm由于圆 M 过点 P（4，-2），因此0AP BP ,故 121244220 xxyy即121212124+2200 x xxxy yyy由（1）可得121 2=-4，=4y yx x，所以2210mm，解得11或2mm.当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为10，圆 M的方程为223110 xy当12m 时，直线 l 的方程为240 xy，圆心 M 的坐标为91，-42，圆 M 的半径为854，圆 M 的方程为229185+4216xy21.解：（1）fx的定义域为0，+.若0a，因为11=-+2022faln，所以不满足题意；若0a，由 1axaf xxx 知，当0 x,a时，0f x；当，+xa时，0f x，所以 fx在0,a单调递减，在，+a 单调递增，故 x=a 是 fx在0，+x的唯一最小值点.由于 10f，所以当且仅当a=1 时，0fx.故a=1（2）由（1）知当1，+x时，10 xlnx 令1=1+2nx得111+22nnln，从而2211111111+1+1+=1-12222222nnnlnlnln故21111+1+1+222ne而231111+1+1+2222，所以m的最小值为 3.22.解：（1）消去参数t得l1的普通方程12l:yk x；消去参数m得l2的普通方程212l:yxk设 P（x,y）,由题设得212yk xyxk，消去k得2240 xyy.所以 C 的普通方程为2240 xyy（2）C 的极坐标方程为2224 02cossin,rqqqp qp联立2224+-2=0cossincossinrqqrqq得=2+cossincossinqqqq.故13tanq，从而2291=，=1010cossinqq代入222-=4cossinrqq得2=5r，所以交点 M 的极径为5.23.解：（1）3 1211232,xf xx,x,x 当 1x时，1f x 无解；当12x 时，由 1f x 得，211x，解得12x当2x时，由 1f x 解得2x.所以 1f x 的解集为1x x.（2）由 2fxxxm得212mxxxx，而22212+1+235=-+2454xxxxxxxxx 且当32x 时，2512=4xxxx.故m的取值范围为5-，4