2016天津考研数学二真题及答案.pdf

20162016 天津考研数学二真题及答案天津考研数学二真题及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分当 0 x时，若)(lnx21 ，11)cos(x 均是比x高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（）（A）),(2（B）),(21（C）),(121（D）),(210【详解详解】xx221)(ln，是 阶无穷小，211211xx)cos(是 2阶无穷小，由题意可知 121 所以 的可能取值范围是),(21，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A）xxysin （B）xxysin 2（C）xxy1sin （D）xxy12sin 【详解详解】对于xxy1sin ，可知1 xyxlim且01 xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy 应该选（C）3 3设函数设函数)(xf具有二阶导数，具有二阶导数，xfxfxg)()()(110 ，则在，则在,10上（上（）（A A）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（B B）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（C C）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf（D D）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然xfxfxg)()()(110 就是联接就是联接)(,(),(,(1100ff两点的直线方程两点的直线方程 故当0 )(xf时，时，曲线是凹的，也就是)()(xgxf，应该选（D）【详解详解 2 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 ，则010 )()(FF，且)()(xfxF，故当0 )(xf时，时，曲线是凹的，从而010 )()()(FFxF，即0 )()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（D）4曲线 14722ttytx,上对应于上对应于1 t的点处的曲率半径是（的点处的曲率半径是（）（）5010（）10010(）1010（）105【详解详解】曲线在点)(,(xfx处的曲率公式321)(yyK ，曲率半径KR1 本题中422 tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242 ，3222122tttdxyd ，对 应 于对 应 于1 t的 点 处的 点 处13 ,yy，所 以，所 以10101132 )(yyK，曲 率 半 径10101 KR应该选（C）5设函数xxfarctan)(，若)()(xfxf，则 220 xx lim（）（）1（）32（）21（）31【详解详解】注意（1）211xxf )(，（2）)(arctan,33310 xoxxxx 时时由于)()(xfxf 所以可知xxxxffarctan)()(211 ，22)(arctanarctanxxx ，3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim 6设),(yxu在平面有界闭区域D上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02 yxu及02222 yuxu，则（）（A A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（B B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C C）),(yxu的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D D）),(yxu的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上【详解详解】),(yxu在平面有界闭区域D上连续，所以),(yxu在 D 内必然有最大值和最小值 并 且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点),(00yx，也 就 是0 yuxu，在 这 个 点 处xyuyxuByuCxuA 222222,，由条件，显然02 BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上所以应该选（A）7行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda（D）2222cbda 【详解详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）8设321 ,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关是向量321 ,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解详解】若向量321 ,线性无关，则（31 k，32 l）Klk),(),(3213211001 ，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31 k，32 l 一定线性无关而当 000010001321 ,时，对任意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关，但321 ,线性相关；故选择（A）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9 12521dxxx【详解详解】11122832421212141521 )(|arctan)(xxdxdxxx10 设)(xf为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f【详解详解】当 20,x时，Cxxdxxxf 2122)()(，由00 )(f可知0 C，即xxxf22 )(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117 )()()(fff11 设),(yxzz 是 由 方 程4722 zyxeyz确 定 的 函 数，则 2121,|dz【详解详解】设4722 zyxezyxFyz),(，1222122 yzzyzyxyeFyzeFF,，当21 yx时，0 z，21 zxFFxz，21 zyFFyz，所 以 2121,|dzdydx2121 12 曲 线L的 极 坐 标 方 程 为 r，则L在 点 22 ,),(r处 的 切 线 方 程为【详解详解】先把曲线方程化为参数方程 sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2 处，20 yx,，222|sincoscossin|dxdy，则L在点 22 ,),(r处的切线方程为)(022 xy ，即.22 xy13一根长为 1 的细棒位于x轴的区间 10,上，若其线密度122 xxx)(，则该细棒的质心坐标 x【详解详解】质心坐标201135121112210210231010 dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(14设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf ),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是【详解详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求042 a，所以a的取值范围是 22,三、解答题15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112 xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim16（本题满分 10 分）已知函数)(xyy 满足微分方程yyyx 122，且02 )(y，求)(xy的极大值和极小值【详解详解】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy )(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：Cxxyy 333131，由02 )(y得32 C，即32313133 xxyy令01122 yxdxdy，得1 x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd ；当1 x时，可解得1 y，01 y，函数取得极大值1 y；当1 x时，可解得0 y，02 y，函数取得极小值0 y17（本题满分 10 分）设平面区域 004122 yxyxyxD.,|),(计算 Ddxdyyxyxx)sin(22【详解详解】由对称性可得432112121212022222222 DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin(18（本题满分 10 分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx 满足xxeyezyzxz222224)cos(若0000 )(,)(ff，求)(uf的表达式【详解详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx ，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos 2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf )()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221 )(其中21CC,为任意常数对应非齐次方程特解可求得为uy41 *故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221 )(将初始条件0000 )(,)(ff代入，可得16116121 CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122 )(19（本题满分 10 分）设函数)(),(xgxf在区间 ba.上连续，且)(xf单调增加，10 )(xg，证明：（1）baxaxdttgxa,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解详解】（1）证明：因为10 )(xg，所以 baxdtdttgdxxaxaxa,)(10即 baxaxdttgxa,)(0（2）令 xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且 xadttgafxgxgxfxF)()()()()(，因为,)(axdttgxa 0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa 从而0 )()()()()()()()()(xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa，bax,也是)(xF在 ba,单调增加，则0 )()(aFbF，即得到 badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20（本题满分 11 分）设函数 101,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf 1，)()(xffxf12，),()(,xffxfnn1 设nS是曲线)(xfyn，直线01 yx,所围图形的面积求极限nnnS lim【详解详解】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121 )()()(,)(，,)(xxxf313 ，利用数学归纳法可得.)(nxxxfn 1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn 11111111101010，111 nnnSnnn)ln(limlim21（本题满分 11 分）已知 函数),(yxf满足)(12 yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求 曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积【详解详解】由于函数),(yxf满足)(12 yyf，所以)(),(xCyyyxf 22，其中)(xC为待定的连续函数又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyyCln)()(21，得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222令0),(yxf，可得xxyln)()(212且当1 y时，2121 xx,曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积为 )ln(ln)()(45222121212 dxxxdxyV22（本题满分 11 分）设 302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0 AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵【详解详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0 AX同解方程组 43424132xxxxxx得到0 AX的一个基础解系 13211（2）显然 B 矩阵是一个34 矩阵，设 444333222111zyxzyxzyxzyxB对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB其中321ccc,为任意常数23（本题满分 11 分）证明n阶矩阵 111111111与 n00200100相似【详解详解】证明：设 A 111111111，B n00200100分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111 nnAE )(，所以 A 的n个特征值为0321 nn ,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 00 A；1002010 nnnBE )(所以 B 的n个特征值也为0321 nn ,；