2020年北京市高考理科数学试卷(含解析版).pdf

-1-绝密 本科 目考 试启用 前2020 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（北 京 卷）数 学本试 卷共 5 页，150 分，考试 时长 120 分钟 考试 务必 将答案 答在 答题卡 上，在试卷上 作答 无效 考试 结束后，将本 试卷 和答题 卡一 并交回 第一 部分（选择 题 共 40 分）一、选择 题 10 小题，每 小题 4 分，共 40 分 在每 小题列 出的 四个选 项中，选出符合 题目 要求的 一项 1.已 知 集 合 1,0,1,2 A，|0 3 B x x，则 A B（）A.1,0,1 B.0,1 C.1,1,2 D.1,2【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 交 集 定 义 直 接 得 结 果.【详 解】1,0,1,2(0,3)1,2 A B I I，故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 集 合 交 集 概 念，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.2.在 复 平 面 内，复 数z对 应 的 点 的 坐 标 是(1,2)，则 i z（）A.1 2 i B.2 i C.1 2 i D.2 i【答 案】B【解 析】【分 析】先 根 据 复 数 几 何 意 义 得z，再 根 据 复 数 乘 法 法 则 得 结 果.【详 解】由 题 意 得 1 2 z i，2 i z i.故 选：B.-2-【点 睛】本 题 考 查 复 数 几 何 意 义 以 及 复 数 乘 法 法 则，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.3.在5(2)x 的 展 开 式 中，2x的 系 数 为（）A.5 B.5 C.1 0 D.1 0【答 案】C【解 析】【分 析】首 先 写 出 展 开 式 的 通 项 公 式，然 后 结 合 通 项 公 式 确 定2x的 系 数 即 可.【详 解】52 x 展 开 式 的 通 项 公 式 为：5521 5 52 2rrr rr rrT C x C x，令522r 可 得：1 r，则2x的 系 数 为：1152 2 5 1 0 C.故 选：C.【点 睛】二 项 式 定 理 的 核 心 是 通 项 公 式，求 解 此 类 问 题 可 以 分 两 步 完 成：第 一 步 根 据 所 给 出的 条 件(特 定 项)和 通 项 公 式，建 立 方 程 来 确 定 指 数(求 解 时 要 注 意 二 项 式 系 数 中 n 和 r 的 隐 含 条件，即 n，r 均 为 非 负 整 数，且 n r，如 常 数 项 指 数 为 零、有 理 项 指 数 为 整 数 等)；第 二 步 是 根据 所 求 的 指 数，再 求 所 求 解 的 项 4.某 三 棱 柱 的 底 面 为 正 三 角 形，其 三 视 图 如 图 所 示，该 三 棱 柱 的 表 面 积 为（）A.6 3 B.6 2 3 C.12 3 D.-3-12 2 3【答 案】D【解 析】【分 析】首 先 确 定 几 何 体 的 结 构 特 征，然 后 求 解 其 表 面 积 即 可.【详 解】由 题 意 可 得，三 棱 柱 的 上 下 底 面 为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，侧 面 为 三 个 边 长 为 2 的正 方 形，则 其 表 面 积 为：13 2 2 2 2 2 s i n 6 0 1 2 2 32S.故 选：D.【点 睛】(1)以 三 视 图 为 载 体 考 查 几 何 体 的 表 面 积，关 键 是 能 够 对 给 出 的 三 视 图 进 行 恰 当 的 分析，从 三 视 图 中 发 现 几 何 体 中 各 元 素 间 的 位 置 关 系 及 数 量 关 系(2)多 面 体 的 表 面 积 是 各 个 面 的 面 积 之 和；组 合 体 的 表 面 积 应 注 意 重 合 部 分 的 处 理(3)圆 柱、圆 锥、圆 台 的 侧 面 是 曲 面，计 算 侧 面 积 时 需 要 将 这 个 曲 面 展 为 平 面 图 形 计 算，而 表面 积 是 侧 面 积 与 底 面 圆 的 面 积 之 和 5.已 知 半 径 为 1 的 圆 经 过 点(3,4)，则 其 圆 心 到 原 点 的 距 离 的 最 小 值 为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答 案】A【解 析】【分 析】求 出 圆 心 C 的 轨 迹 方 程 后，根 据 圆 心 M 到 原 点 O 的 距 离 减 去 半 径 1 可 得 答 案.【详 解】设 圆 心,C x y，则 2 23 4 1 x y，化 简 得 2 23 4 1 x y，所 以 圆 心 C 的 轨 迹 是 以(3,4)M 为 圆 心，1 为 半 径 的 圆，-4-所 以|1|O C O M 2 23 4 5，所 以|5 1 4 O C，当 且 仅 当 C 在 线 段 O M 上 时 取 得 等 号，故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 圆 的 标 准 方 程，属 于 基 础 题.6.已 知 函 数()2 1xf x x，则 不 等 式()0 f x 的 解 集 是（）A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)【答 案】D【解 析】【分 析】作 出 函 数 2xy 和1 y x 的 图 象，观 察 图 象 可 得 结 果.【详 解】因 为 2 1xf x x，所 以 0 f x 等 价 于2 1xx，在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 2xy 和1 y x 的 图 象 如 图：-5-两 函 数 图 象 的 交 点 坐 标 为(0,1),(1,2)，不 等 式2 1xx 的 解 为 0 x 或 1 x.所 以 不 等 式 0 f x 的 解 集 为：,0 1,.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 了 图 象 法 解 不 等 式，属 于 基 础 题.7.设 抛 物 线 的 顶 点 为 O，焦 点 为 F，准 线 为 l P 是 抛 物 线 上 异 于 O 的 一 点，过 P 作 P Q l 于 Q，则 线 段 F Q 的 垂 直 平 分 线（）A.经 过 点 O B.经 过 点 PC.平 行 于 直 线 O P D.垂 直 于 直 线 O P【答 案】B【解 析】【分 析】依 据 题 意 不 妨 作 出 焦 点 在x轴 上 的 开 口 向 右 的 抛 物 线，根 据 垂 直 平 分 线 的 定 义 和 抛 物 线 的 定 义可 知，线 段 F Q 的 垂 直 平 分 线 经 过 点 P，即 求 解.-6-【详 解】如 图 所 示：因 为 线 段 F Q 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 到,F Q 的 距 离 相 等，又 点 P 在 抛 物 线 上，根 据 定 义 可 知，P Q P F，所 以 线 段 F Q 的 垂 直 平 分 线 经 过 点 P.故 选：B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 定 义 的 应 用，属 于 基 础 题.8.在 等 差 数 列 na 中，19 a，31 a 记1 2(1,2,)n nT a a a n，则 数 列 nT（）A.有 最 大 项，有 最 小 项 B.有 最 大 项，无 最 小 项C.无 最 大 项，有 最 小 项 D.无 最 大 项，无 最 小 项【答 案】B【解 析】【分 析】首 先 求 得 数 列 的 通 项 公 式，然 后 结 合 数 列 中 各 个 项 数 的 符 号 和 大 小 即 可 确 定 数 列 中 是 否 存 在最 大 项 和 最 小 项.【详 解】由 题 意 可 知，等 差 数 列 的 公 差5 11 925 1 5 1a ad，则 其 通 项 公 式 为：11 9 1 2 2 11na a n d n n，注 意 到1 2 3 4 5 6 70 1 a a a a a a a，且 由50 T 可 知 0 6,iT i i N，由 11 7,iiiTa i i NT 可 知 数 列 nT 不 存 在 最 小 项，由 于1 2 3 4 5 69,7,5,3,1,1 a a a a a a，-7-故 数 列 nT 中 的 正 项 只 有 有 限 项：26 3 T，46 3 1 5 9 4 5 T.故 数 列 nT 中 存 在 最 大 项，且 最 大 项 为4T.故 选：B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式，等 差 数 列 中 项 的 符 号 问 题，分 类 讨 论 的 数 学 思想 等 知 识，属 于 中 等 题.9.已 知,R，则“存 在 k Z 使 得(1)kk”是“s i n s i n”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 充 分 条 件，必 要 条 件 的 定 义，以 及 诱 导 公 式 分 类 讨 论 即 可 判 断.【详 解】(1)当 存 在 k Z 使 得(1)kk 时，若 k 为 偶 数，则 s i n s i n s i n k；若 k 为 奇 数，则 s i n s i n s i n 1 s i n s i n k k；(2)当 s i n s i n 时，2 m 或 2 m，m Z，即 1 2kk k m 或 1 2 1kk k m，亦 即 存 在 k Z 使 得(1)kk 所 以，“存 在 k Z 使 得(1)kk”是“s i n s i n”的 充 要 条 件.故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 充 分 条 件，必 要 条 件 的 定 义 的 应 用，诱 导 公 式 的 应 用，涉 及 分 类 讨 论思 想 的 应 用，属 于 基 础 题.1 0.2 0 2 0 年 3 月 1 4 日 是 全 球 首 个 国 际 圆 周 率 日（D a y）历 史 上，求 圆 周 率的 方 法 有 多 种，与 中 国 传 统 数 学 中 的“割 圆 术”相 似 数 学 家 阿 尔 卡 西 的 方 法 是：当 正 整 数n充 分 大 时，计 算-8-单 位 圆 的 内 接 正 6 n 边 形 的 周 长 和 外 切 正 6 n 边 形（各 边 均 与 圆 相 切 的 正 6 n 边 形）的 周 长，将它 们 的 算 术 平 均 数 作 为 2 的 近 似 值 按 照 阿 尔 卡 西 的 方 法，的 近 似 值 的 表 达 式 是（）A.3 0 3 03 s i n t a n nn n B.3 0 3 06 s i n t a n nn n C.6 0 6 03 s i n t a n nn n D.6 0 6 06 s i n t a n nn n【答 案】A【解 析】【分 析】计 算 出 单 位 圆 内 接 正 6 n 边 形 和 外 切 正 6 n 边 形 的 周 长，利 用 它 们 的 算 术 平 均 数 作 为 2 的 近 似值 可 得 出 结 果.【详 解】单 位 圆 内 接 正 6 n 边 形 的 每 条 边 所 对 应 的 圆 周 角 为3 6 0 6 06 n n，每 条 边 长 为3 02 s i nn，所 以，单 位 圆 的 内 接 正 6 n 边 形 的 周 长 为3012 s i n nn，单 位 圆 的 外 切 正 6 n 边 形 的 每 条 边 长 为3 02 t a nn，其 周 长 为3 01 2 t a n nn，3 0 3 01 2 s i n 1 2 t a n3 0 3 02 6 s i n t a n2n nn nnn n，则30 303 s i n t a n nn n.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 圆 周 率的 近 似 值 的 计 算，根 据 题 意 计 算 出 单 位 圆 内 接 正 6 n 边 形 和 外 切 正6 n 边 形 的 周 长 是 解 答 的 关 键，考 查 计 算 能 力，属 于 中 等 题.第二 部分（非选 择题 共 110 分）二、填空 题共 5 小题，每 小题 5 分，共 25 分.1 1.函 数1()l n1f x xx 的 定 义 域 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】(0,)-9-【解 析】【分 析】根 据 分 母 不 为 零、真 数 大 于 零 列 不 等 式 组，解 得 结 果.【详 解】由 题 意 得01 0 xx，0 x 故 答 案 为：(0,)【点 睛】本 题 考 查 函 数 定 义 域，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.1 2.已 知 双 曲 线2 2:16 3x yC，则 C 的 右 焦 点 的 坐 标 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _；C 的 焦 点 到 其 渐 近 线 的 距离 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】(1).3,0(2).3【解 析】【分 析】根 据 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 得 出 双 曲 线 C 的 右 焦 点 坐 标，并 求 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程，利 用 点到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 得 双 曲 线 的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离.【详 解】在 双 曲 线 C 中，6 a，3 b，则2 23 c a b，则 双 曲 线 C 的 右 焦 点 坐 标为 3,0，双 曲 线 C 的 渐 近 线 方 程 为22y x，即 2 0 x y，所 以，双 曲 线 C 的 焦 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 为2331 2.故 答 案 为：3,0；3.【点 睛】本 题 考 查 根 据 双 曲 线 的 标 准 方 程 求 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 以 及 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离，考查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.1 3.已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 2，点 P 满 足1()2A P A B A C，则|P D _ _ _ _ _ _ _ _ _；P B P D _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】(1).5(2).1-1 0-【解 析】【分 析】以 点 A 为 坐 标 原 点，A B、A D 所 在 直 线 分 别 为x、y轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，求 得 点 P 的坐 标，利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 可 求 得 P D 以 及P B P D 的 值.【详 解】以 点 A 为 坐 标 原 点，A B、A D 所 在 直 线 分 别 为x、y轴 建 立 如 下 图 所 示 的 平 面 直角 坐 标 系，则 点 0,0 A、2,0 B、2,2 C、0,2 D，1 1 12,0 2,2 2,12 2 2A P A B A C，则 点 2,1 P，2,1 P D，0,1 P B，因 此，222 1 5 P D，0 2 1(1)1 P B P D.故 答 案 为：5；1.【点 睛】本 题 考 查 平 面 向 量 的 模 和 数 量 积 的 计 算，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，求 出 点 P 的 坐 标 是解 答 的 关 键，考 查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.1 4.若 函 数()s i n()c o s f x x x 的 最 大 值 为 2，则 常 数的 一 个 取 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2（2,2k k Z 均 可）【解 析】【分 析】根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 即 可 求 得 22c o s s i n 1 s i n f x x，可 得 22c o s s i n 1 2，即 可 解 出.-1 1-【详 解】因 为 22c o s s i n s i n 1 c o s c o s s i n 1 s i n f x x x x，所 以 22c o s s i n 1 2，解 得 s i n 1，故 可 取2.故 答 案 为：2（2,2k k Z 均 可）.【点 睛】本 题 主 要 考 查 两 角 和 的 正 弦 公 式，辅 助 角 公 式 的 应 用，以 及 平 方 关 系 的 应 用，考 查学 生 的 数 学 运 算 能 力，属 于 基 础 题.1 5.为 满 足 人 民 对 美 好 生 活 的 向 往，环 保 部 门 要 求 相 关 企 业 加 强 污 水 治 理，排 放 未 达 标 的 企 业要 限 期 整 改、设 企 业 的 污 水 摔 放 量 W 与 时 间 t 的 关 系 为()W f t，用()()f b f ab a的 大 小 评价 在,a b 这 段 时 间 内 企 业 污 水 治 理 能 力 的 强 弱，已 知 整 改 期 内，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量与 时 间 的 关 系 如 下 图 所 示.给 出 下 列 四 个 结 论：在 1 2,t t 这 段 时 间 内，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；在2t 时 刻，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；在3t 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 都 已 达 标；甲 企 业 在 1 1 2 2 30,t t t t t 这 三 段 时 间 中，在 10,t 的 污 水 治 理 能 力 最 强 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】【解 析】【分 析】根 据 定 义 逐 一 判 断，即 可 得 到 结 果-1 2-【详 解】()()f b f ab a表 示 区 间 端 点 连 线 斜 率 的 负 数，在 1 2,t t 这 段 时 间 内，甲 的 斜 率 比 乙 的 小，所 以 甲 的 斜 率 的 相 反 数 比 乙 的 大，因 此 甲 企 业 的 污水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强；正 确；甲 企 业 在 1 1 2 2 30,t t t t t 这 三 段 时 间 中，甲 企 业 在 1 2,t t 这 段 时 间 内，甲 的 斜 率 最 小，其相 反 数 最 大，即 在 1 2,t t 的 污 水 治 理 能 力 最 强 错 误；在2t 时 刻，甲 切 线 的 斜 率 比 乙 的 小，所 以 甲 切 线 的 斜 率 的 相 反 数 比 乙 的 大，甲 企 业 的 污 水 治理 能 力 比 乙 企 业 强；正 确；在3t 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 都 在 污 水 打 标 排 放 量 以 下，所 以 都 已 达 标；正 确；故 答 案 为：【点 睛】本 题 考 查 斜 率 应 用、切 线 斜 率 应 用、函 数 图 象 应 用，考 查 基 本 分 析 识 别 能 力，属 中档 题.三、解答 题共 6 小题，共 85 分，解答 应写出 文字 说明，演算步 骤或 证明过 程.1 6.如 图，在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，E 为1B B 的 中 点（）求 证：1/B C 平 面1A D E；（）求 直 线1A A 与 平 面1A D E 所 成 角 的 正 弦 值【答 案】（）证 明 见 解 析；（）23.-1 3-【解 析】【分 析】（）证 明 出 四 边 形1 1A B C D 为 平 行 四 边 形，可 得 出1 1/B C A D，然 后 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理可 证 得 结 论；（）以 点 A 为 坐 标 原 点，A D、A B、1A A 所 在 直 线 分 别 为x、y、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标系 A x y z，利 用 空 间 向 量 法 可 计 算 出 直 线1A A 与 平 面1A D E 所 成 角 的 正 弦 值.【详 解】（）如 下 图 所 示：在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，1 1/A B A B 且1 1A B A B，1 1 1 1/A B C D 且1 1 1 1A B C D，1 1/A B C D 且1 1A B C D，所 以，四 边 形1 1A B C D 为 平 行 四 边 形，则1 1/B C A D，1B C 平 面1A D E，1A D 平 面1A D E，1/B C 平 面1A D E；（）以 点 A 为 坐 标 原 点，A D、A B、1A A 所 在 直 线 分 别 为x、y、z轴 建 立 如 下 图 所 示 的空 间 直 角 坐 标 系 A x y z，-1 4-设 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 棱 长 为 2，则 0,0,0 A、10,0,2 A、12,0,2 D、0,2,1 E，12,0,2 A D，0,2,1 A E，设 平 面1A D E 的 法 向 量 为,n x y z，由100n A Dn A E，得2 2 02 0 x zy z，令 2 z，则 2 x，1 y，则 2,1,2 n.1114 2c os,3 2 3n A An A An A A.因 此，直 线1A A 与 平 面1A D E 所 成 角 的 正 弦 值 为23.【点 睛】本 题 考 查 线 面 平 行 的 证 明，同 时 也 考 查 了 利 用 空 间 向 量 法 计 算 直 线 与 平 面 所 成 角 的正 弦 值，考 查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.1 7.在 A B C 中，1 1 a b，再 从 条 件、条 件 这 两 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 己 知，求：（）a 的 值：（）s i n C 和 A B C 的 面 积 条 件：17,c o s7c A；条 件：1 9c o s,c o s8 1 6A B 注：如 果 选 择 条 件 和 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分【答 案】选 择 条 件（）8（）3s i n2C,6 3 S；-1 5-选 择 条 件（）6（）7s i n4C,1 5 74S.【解 析】【分 析】选 择 条 件（）根 据 余 弦 定 理 直 接 求 解，（）先 根 据 三 角 函 数 同 角 关 系 求 得 s i n A,再 根 据正 弦 定 理 求 s i n C,最 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 结 果；选 择 条 件（）先 根 据 三 角 函 数 同 角 关 系 求 得 s i n,s i n A B，再 根 据 正 弦 定 理 求 结 果，（）根 据 两 角 和 正 弦 公 式 求 s i n C，再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 结 果.【详 解】选 择 条 件（）17,c o s7c A，1 1 a b 2 2 2 2 2 212 c o s(1 1)7 2(1 1)7()7a b c b c A a a a 8 a（）21 4 3c o s(0,)s i n 1 c o s7 7A A A A，由 正 弦 定 理 得：8 7 3s i ns i n s i n s i n 2 4 37a cCA C C 1 1 3s i n(11 8)8 6 32 2 2S ba C 选 择 条 件（）1 9c o s,c o s,(0,)8 1 6A B A B，2 23 7 5 7s i n 1 c os,s i n 1 c os8 16A A B B 由 正 弦 定 理 得：1 16s i n s i n 3 7 5 78 1 6a b a aaA B（）3 7 9 5 7 1 7s i n s i n()s i n c o s s i n c o s8 1 6 1 6 8 4C A B A B B A 1 1 7 1 5 7s i n(1 1 6)62 2 4 4S b a C【点 睛】本 题 考 查 正 弦 定 理、余 弦 定 理，三 角 形 面 积 公 式，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 中 档-1 6-题.1 8.某 校 为 举 办 甲、乙 两 项 不 同 活 动，分 别 设 计 了 相 应 的 活 动 方 案：方 案 一、方 案 二 为 了 解该 校 学 生 对 活 动 方 案 是 否 支 持，对 学 生 进 行 简 单 随 机 抽 样，获 得 数 据 如 下 表：男 生 女 生支 持 不 支 持 支 持 不 支 持方 案 一 2 0 0 人 4 0 0 人 3 0 0 人 1 0 0 人方 案 二 3 5 0 人 2 5 0 人 1 5 0 人 2 5 0 人假 设 所 有 学 生 对 活 动 方 案 是 否 支 持 相 互 独 立（）分 别 估 计 该 校 男 生 支 持 方 案 一 的 概 率、该 校 女 生 支 持 方 案 一 的 概 率；（）从 该 校 全 体 男 生 中 随 机 抽 取 2 人，全 体 女 生 中 随 机 抽 取 1 人，估 计 这 3 人 中 恰 有 2 人支 持 方 案 一 的 概 率；（）将 该 校 学 生 支 持 方 案 的 概 率 估 计 值 记 为0p，假 设 该 校 年 级 有 5 0 0 名 男 生 和 3 0 0 名 女 生，除 一 年 级 外 其 他 年 级 学 生 支 持 方 案 二 的 概 率 估 计 值 记 为1p，试 比 较0p 与1p 的 大 小（结 论 不要 求 证 明）【答 案】（）该 校 男 生 支 持 方 案 一 的 概 率 为13，该 校 女 生 支 持 方 案 一 的 概 率 为34；（）1 33 6,（）0 1p p【解 析】【分 析】（）根 据 频 率 估 计 概 率，即 得 结 果；（）先 分 类，再 根 据 独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式 以 及 分 类 计 数 加 法 公 式 求 结 果；（）先 求0p，再 根 据 频 率 估 计 概 率1p，即 得 大 小.【详 解】（）该 校 男 生 支 持 方 案 一 的 概 率 为2 0 0 12 0 0+4 0 0 3，该 校 女 生 支 持 方 案 一 的 概 率 为3 0 0 33 0 0+1 0 0 4；（）3 人 中 恰 有 2 人 支 持 方 案 一 分 两 种 情 况，（1）仅 有 两 个 男 生 支 持 方 案 一，（2）仅 有 一 个-1 7-男 生 支 持 方 案 一，一 个 女 生 支 持 方 案 一，所 以 3 人 中 恰 有 2 人 支 持 方 案 一 概 率 为：2 121 3 1 1 3 1 3()(1)()(1)3 4 3 3 4 3 6C;（）0 1p p【点 睛】本 题 考 查 利 用 频 率 估 计 概 率、独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属基 础 题.1 9.已 知 函 数2()12 f x x（）求 曲 线()y f x 的 斜 率 等 于 2 的 切 线 方 程；（）设 曲 线()y f x 在 点(,()t f t 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为()S t，求()S t的 最 小 值【答 案】（）2 1 3 0 x y，（）3 2.【解 析】【分 析】（）根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 得 切 点 的 坐 标，然 后 由 点 斜 式 可 得 结 果；（）根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 切 线 方 程，再 得 到 切 线 在 坐 标 轴 上 的 截 距，进 一 步 得 到 三 角形 的 面 积，最 后 利 用 导 数 可 求 得 最 值.【详 解】（）因 为 212 f x x，所 以 2 f x x，设 切 点 为 0 0,1 2 x x，则02 2 x，即01 x，所 以 切 点 为 1,1 1，由 点 斜 式 可 得 切 线 方 程 为：11 2 1 y x，即 2 1 3 0 x y.（）显 然 0 t，因 为 y f x 在 点 2,1 2 t t 处 的 切 线 方 程 为：21 2 2 y t t x t，令 0 x，得21 2 y t，令 0 y，得21 22txt，所 以 S t 221 1 21 22 2|ttt，不 妨 设 0 t(0 t 时，结 果 一 样)，-1 8-则 4 2324 144 1 144(24)4 4t tS t t tt t，所 以 S t 4 222 21 144 3(8 48)(3 24)4 4t ttt t 2 2 22 23(4)(1 2)3(2)(2)(1 2)4 4t t t t tt t，由 0 S t，得 2 t，由 0 S t，得 0 2 t，所 以 S t 在 0,2 上 递 减，在 2,上 递 增，所 以 2 t 时，S t 取 得 极 小 值，也 是 最 小 值 为 1 6 1 62 3 28S.【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 切 线 方 程，考 查 了 利 用 导 数 求 函 数 的 最 值，属 于中 档 题.2 0.已 知 椭 圆2 22 2:1x yCa b 过 点(2,1)A，且 2 a b（）求 椭 圆 C 的 方 程：（）过 点(4,0)B 的 直 线 l 交 椭 圆 C 于 点,M N,直 线,M A N A 分 别 交 直 线 4 x 于 点,P Q 求|P BB Q的 值【答 案】（）2 218 2x y；（）1.【解 析】【分 析】()由 题 意 得 到 关 于 a,b 的 方 程 组，求 解 方 程 组 即 可 确 定 椭 圆 方 程；()首 先 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程，然 后 由 直 线 M A,N A 的 方 程 确 定 点 P,Q 的 纵 坐 标，将 线 段 长度 的 比 值 转 化 为 纵 坐 标 比 值 的 问 题，进 一 步 结 合 韦 达 定 理 可 证 得0P Qy y，从 而 可 得 两 线段 长 度 的 比 值.【详 解】(1)设 椭 圆 方 程 为：2 22 21 0 x ya ba b，由 题 意 可 得：-1 9-2 24 112a ba b，解 得：2282ab，故 椭 圆 方 程 为：2 218 2x y.(2)设 1 1,M x y，2 2,N x y，直 线 M N 的 方 程 为：4 y k x，与 椭 圆 方 程2 218 2x y 联 立 可 得：22 24 4 8 x k x，即：2 2 2 24 1 3 2 6 4 8 0 k x k x k，则：2 21 2 1 2 2 232 64 8,4 1 4 1k kx x x xk k.直 线 M A 的 方 程 为：1111 22yy xx，令 4 x 可 得：1 1 1 11 1 1 14 1 2 1 4 1 22 1 22 2 2 2Pk x k x y xyx x x x，同 理 可 得：222 1 42Qk xyx.很 明 显0P Qy y，且：PQP ByP Q y，注 意 到：1 2 2 11 21 2 1 24 2 4 24 42 1 2 12 2 2 2P Qx x x xx xy y k kx x x x，而：1 2 2 1 1 2 1 24 2 4 2 2 3 8 x x x x x x x x 2 22 26 4 8 3 22 3 84 1 4 1k kk k 2 2 2264 8 3 32 8 4 12 04 1k k kk，故0,P Q P Qy y y y.-2 0-从 而 1PQP ByP Q y.【点 睛】解 决 直 线 与 椭 圆 的 综 合 问 题 时，要 注 意：(1)注 意 观 察 应 用 题 设 中 的 每 一 个 条 件，明 确 确 定 直 线、椭 圆 的 条 件；(2)强 化 有 关 直 线 与 椭 圆 联 立 得 出 一 元 二 次 方 程 后 的 运 算 能 力，重 视 根 与 系 数 之 间 的 关 系、弦长、斜 率、三 角 形 的 面 积 等 问 题 2 1.已 知 na 是 无 穷 数 列 给 出 两 个 性 质：对 于 na 中 任 意 两 项,()i ja a i j，在 na 中 都 存 在 一 项ma，使2imjaaa；对 于 na 中 任 意 项(3)na n，在 na 中 都 存 在 两 项,()k la a k l 使 得2knlaaa()若(1,2,)na n n，判 断 数 列 na 是 否 满 足 性 质，说 明 理 由；()若12(1,2,)nna n，判 断 数 列 na 是 否 同 时 满 足 性 质 和 性 质，说 明 理 由；()若 na 是 递 增 数 列，且 同 时 满 足 性 质 和 性 质，证 明：na 为 等 比 数 列.【答 案】()详 见 解 析；()详 解 解 析；()证 明 详 见 解 析.【解 析】【分 析】()根 据 定 义 验 证，即 可 判 断；()根 据 定 义 逐 一 验 证，即 可 判 断；()解 法 一：首 先，证 明 数 列 中 的 项 数 同 号，然 后 证 明2231aaa，最 后，用 数 学 归 纳 法 证 明 数列 为 等 比 数 列 即 可.解 法 二：首 先 假 设 数 列 中 的 项 数 均 为 正 数，然 后 证 得1 2 3,a a a 成 等 比 数 列，之 后 证 得1 2 3 4,a a a a 成 等 比 数 列，同 理 即 可 证 得 数 列 为 等 比 数 列，从 而 命 题 得 证.【详 解】()232 3292,3,2naa a a Za Q 不 具 有 性 质；-2 1-()2 2*(2)1*2,2,2i j i ii j nj ja ai j N i j i j N aa aa Q具 有 性 质；2*(2)1 1,3,1,2,2 2,k l n kn nlan N n k n l a n aa Q 具 有 性 质；()【解 法 一】首 先，证 明 数 列 中 的 项 数 同 号，不 妨 设 恒 为 正 数：显 然 0*na n N，假 设 数 列 中 存 在 负 项，设 0m a x|0nN n a，第 一 种 情 况：若01 N，即0 1 2 30 a a a a，由 可 知：存 在1m，满 足12210maaa，存 在2m，满 足22310maaa，由01 N 可 知2 23 21 1a aa a，从 而2 3a a，与 数 列 的 单 调 性 矛 盾，假 设 不 成 立.第 二 种 情 况：若02 N，由 知 存 在 实 数m，满 足0210Nmaaa，由0N 的 定 义 可 知：0m N，另 一 方 面，0 0002 21N Nm NNa aa aa a，由 数 列 的 单 调 性 可 知：0m N，这 与0N 的 定 义 矛 盾，假 设 不 成 立.同 理 可 证 得 数 列 中 的 项 数 恒 为 负 数.综 上 可 得，数 列 中 的 项 数 同 号.其 次，证 明2231aaa：利 用 性 质：取 3 n，此 时 23klaa k la，由 数 列 的 单 调 性 可 知 0k la a，而3kk klaa a aa，故 3 k，此 时 必 有 2,1 k l，即2231aaa，-2 2-最 后，用 数 学 归 纳 法 证 明 数 列 为 等 比 数 列：假 设 数 列 na 的 前 3 k k 项 成 等 比 数 列，不 妨 设 111ssa a q s k，其 中10,1 a q，（10,0 1 a q 的 情 况 类 似）由 可 得：存 在 整 数m，满 足211k km kkaa a q aa，且1 1km ka a q a（*）由 得：存 在 s t，满 足：21s sk s st ta aa a aa a，由 数 列 的 单 调 性 可 知：1 t s k，由 111ssa a q s k 可 得：22 1 11 1 1s t k sk ktaa a q a a qa（*）由（*）和（*）式 可 得：2 1 11 1 1k s t ka q a q a q，结 合 数 列 的 单 调 性 有：