2019年海南省高考文科数学试题及答案.pdf

2 0 1 9 年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学本 试 卷 共 5 页。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。注 意 事 项：1 答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 考 生 信 息 条形 码 粘 贴 区。2 选 择 题 必 须 使 用 2 B 铅 笔 填 涂；非 选 择 题 必 须 使 用 0.5 毫 米 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 书 写，字 体工 整、笔 迹 清 楚。3 请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效。4 作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5 保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 叠，不 要 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 已 知 集 合=|1 A x x，|2 B x x，则 A B=A(1，+)B(，2)C(1，2)D 2 设 z=i(2+i)，则 z=A 1+2 i B 1+2 iC 1 2 i D 1 2 i3 已 知 向 量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a b|=A 2B 2C 52D 5 04 生 物 实 验 室 有 5 只 兔 子，其 中 只 有 3 只 测 量 过 某 项 指 标，若 从 这 5 只 兔 子 中 随 机 取 出 3只，则 恰 有 2 只 测 量 过 该 指 标 的 概 率 为A 23B 35C 25D 155 在“一 带 一 路”知 识 测 验 后，甲、乙、丙 三 人 对 成 绩 进 行 预 测 甲：我 的 成 绩 比 乙 高 乙：丙 的 成 绩 比 我 和 甲 的 都 高 丙：我 的 成 绩 比 乙 高 成 绩 公 布 后，三 人 成 绩 互 不 相 同 且 只 有 一 个 人 预 测 正 确，那 么 三 人 按 成 绩 由 高 到 低 的 次序 为A 甲、乙、丙 B 乙、甲、丙C 丙、乙、甲 D 甲、丙、乙6 设 f(x)为 奇 函 数，且 当 x 0 时，f(x)=e 1x，则 当 x 0)两 个 相 邻 的 极 值 点，则=A 2 B 32C 1 D 129 若 抛 物 线 y2=2 p x（p 0）的 焦 点 是 椭 圆2 213x yp p 的 一 个 焦 点，则 p=A 2 B 3C 4 D 81 0 曲 线 y=2 s i n x+c o s x 在 点(，1)处 的 切 线 方 程 为A 1 0 x y B 2 2 1 0 x y C 2 2 1 0 x y D 1 0 x y 1 1 已 知 a（0，2），2 s i n 2=c o s 2+1，则 s i n=A 15B 55C 33D 2 551 2 设 F 为 双 曲 线 C：2 22 21x ya b（a 0，b 0）的 右 焦 点，O 为 坐 标 原 点，以 O F为直径的圆与圆 x2+y2=a2交于 P、Q 两点若|P Q|=|O F|，则 C 的离心率为A 2B 3C 2 D 5二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20 分 1 3 若 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件2 3 6 03 02 0 x yx yy，则 z=3 x y 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 4 我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进 经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 1 0 个 车 次 的 正点 率 为 0.9 7，有 2 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 8，有 1 0 个 车 次 的 正 点 率 为 0.9 9，则 经 停 该 站高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 5 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c.已 知 b s i n A+a c o s B=0，则 B=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 6 中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一 印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体或 圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）.半 正 多 面 体是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体.半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称 美 图 2是 一 个 棱 数 为 4 8 的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且 此 正 方体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有 _ _ _ _ _ _ _ _ 个 面，其 棱 长 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _（本 题 第 一空 2 分，第 二 空 3 分）三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）如 图，长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1的 底 面 A B C D 是 正 方 形，点 E 在 棱 A A 1上，B E E C 1.（1）证 明：B E 平 面 E B 1 C 1；（2）若 A E=A 1 E，A B=3，求 四 棱 锥1 1E B B C C 的 体 积 1 8（1 2 分）已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，1 3 22,2 16 a a a.（1）求 na 的 通 项 公 式；（2）设2logn nb a，求 数 列 nb 的 前 n 项 和.1 9（1 2 分）某 行 业 主 管 部 门 为 了 解 本 行 业 中 小 企 业 的 生 产 情 况，随 机 调 查 了 1 0 0 个 企 业，得 到 这 些企 业 第 一 季 度 相 对 于 前 一 年 第 一 季 度 产 值 增 长 率 y 的 频 数 分 布 表.y 的 分 组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企 业 数 2 2 4 5 3 1 4 7（1）分 别 估 计 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 4 0%的 企 业 比 例、产 值 负 增 长 的 企 业 比 例；（2）求 这 类 企 业 产 值 增 长 率 的 平 均 数 与 标 准 差 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间的 中 点 值 为 代 表）.（精 确 到 0.0 1）附：74 8.602.2 0（1 2 分）已 知1 2,F F 是 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 两 个 焦 点，P 为 C 上 一 点，O 为 坐 标 原点（1）若2P O F 为 等 边 三 角 形，求 C 的 离 心 率；（2)如 果 存 在 点 P，使 得1 2P F P F，且1 2F P F 的 面 积 等 于 1 6，求 b 的 值 和 a 的 取 值范 围.2 1.（1 2 分）已 知 函 数()(1)ln 1 f x x x x.证 明：（1）()f x 存 在 唯 一 的 极 值 点；（2）()=0 f x 有 且 仅 有 两 个 实 根，且 两 个 实 根 互 为 倒 数.（二）选 考 题：共 1 0 分 请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分 2 2 选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 极 坐 标 系 中，O 为 极 点，点0 0 0(,)(0)M 在 曲 线:4sin C 上，直 线 l 过 点(4,0)A 且 与 O M 垂 直，垂 足 为 P.（1）当0=3时，求0 及 l 的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 上 运 动 且 P 在 线 段 O M 上 时，求 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程.2 3 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知()|2|().f x x a x x x a（1）当 1 a 时，求 不 等 式()0 f x 的 解 集；（2）若(,1)x 时，()0 f x，求 a 的 取 值 范 围.1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D7 B 8 A 9 D 1 0 C 1 1 B 1 2 A1 3 9 1 4 0.9 8 1 5 341 6 2 6 2 1 1 7 解：（1）由 已 知 得 B 1 C 1 平 面 A B B 1 A 1，B E 平 面 A B B 1 A 1，故1 1B C B E.又1B E E C，所 以 B E 平 面1 1E B C.（2）由（1）知 B E B 1=9 0.由 题 设 知 R t A B E R t A 1 B 1 E，所 以1 145 A E B A E B，故 A E=A B=3，12 6 A A A E.作1E F B B，垂 足 为 F，则 E F 平 面1 1B B C C，且 3 E F A B.所 以，四 棱 锥1 1E B B C C 的 体 积13 6 3 183V.1 8 解：（1）设 na 的 公 比 为 q，由 题 设 得22 4 16 q q，即22 8 0 q q.解 得 2 q（舍 去）或 q=4.因 此 na 的 通 项 公 式 为1 2 12 4 2n nna.（2）由（1）得2(2 1)log 2 2 1nb n n，因 此 数 列 nb 的 前 n 项 和 为1 3 2 1 n n.1 9.解：（1）根 据 产 值 增 长 率 频 数 分 布 表 得，所 调 查 的 1 0 0 个 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 4 0%的企 业 频 率 为14 70.21100.产 值 负 增 长 的 企 业 频 率 为20.02100.用 样 本 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 得 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 4 0%的 企 业 比 例 为 2 1%，产 值 负 增 长 的 企 业 比 例 为 2%.（2）1(0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7)0.30100y，52211100i iis n y y 2 2 2 2 21(0.40)2(0.20)24 0 53 0.20 14 0.40 7100=0.0296，0.0296 0.02 74 0.17 s，所 以，这 类 企 业 产 值 增 长 率 的 平 均 数 与 标 准 差 的 估 计 值 分 别 为 3 0%，1 7%.2 0.解：（1）连 结1P F，由2P O F 为 等 边 三 角 形 可 知 在1 2F P F 中，1 290 F P F，2P F c，13 P F c，于 是1 22(3 1)a P F P F c，故 C 的 离 心 率 是3 1cea.（2）由 题 意 可 知，满 足 条 件 的 点(,)P x y 存 在 当 且 仅 当1|2 162y c，1y yx c x c，2 22 21x ya b，即|16 c y，2 2 2x y c，2 22 21x ya b，由 及2 2 2a b c 得422byc，又 由 知22216yc，故 4 b.由 得 22 2 22ax c bc，所 以2 2c b，从 而2 2 2 22 32,a b c b 故 4 2 a.当 4 b，4 2 a 时，存 在 满 足 条 件 的 点 P.所 以 4 b，a 的 取 值 范 围 为4 2,).2 1.解：（1）()f x 的 定 义 域 为（0，+）.1 1()ln 1 lnxf x x xx x.因 为 ln y x 单 调 递 增，1yx 单 调 递 减，所 以()f x 单 调 递 增，又(1)1 0 f，1 ln 4 1(2)ln 2 02 2f，故 存 在 唯 一0(1,2)x，使 得 00 f x.又 当0 x x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减；当0 x x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增.因 此，()f x 存 在 唯 一 的 极 值 点.（2）由（1）知 0(1)2 f x f，又 2 2e e 3 0 f，所 以()0 f x 在 0,x 内 存 在 唯 一 根 x.由01 x 得011 x.又1 1 1 1()1 ln 1 0ff，故1是()0 f x 在 00,x 的 唯 一 根.综 上，()0 f x 有 且 仅 有 两 个 实 根，且 两 个 实 根 互 为 倒 数.2 2 解：（1）因 为 0 0,M 在 C 上，当03 时，04sin 2 33.由 已 知 得|cos 23O P O A.设(,)Q 为 l 上 除 P 的 任 意 一 点.在 Rt O P Q 中 cos|23O P，经 检 验，点(2,)3P在 曲 线 cos 23 上.所 以，l 的 极 坐 标 方 程 为 cos 23.（2）设(,)P，在 Rt O A P 中，|cos 4cos,O P O A 即 4cos.因 为 P 在 线 段 O M 上，且 A P O M，故 的 取 值 范 围 是,4 2.所 以，P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 4cos,4 2.2 3 解：（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f x x x x x.当 1 x 时，2()2(1)0 f x x；当 1 x 时，()0 f x.所 以，不 等 式()0 f x 的 解 集 为(,1).（2）因 为()=0 f a，所 以 1 a.当 1 a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0 f x a x x x x a a x x.所 以，a 的 取 值 范 围 是1,).选 择 填 空 解 析2 0 1 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（全 国 卷）文 科 数 学1.设 集 合 1-|x x A，2|x x B，则 B A()A.),1(B.)2,(C.)2,1(D.答 案：C解 析：1-|x x A，2|x x B，）（2,1 B A.2.设(2)z i i，则 z()A.1 2 i B.1 2 i C.1 2 i D.1 2 i 答 案：D解 析：因 为(2)1 2 z i i i，所 以 1 2 z i.3.已 知 向 量(2,3)a，(3,2)b，则 a b（）A.2B.2C.5 2D.50答 案：A解 答：由 题 意 知(1,1)a b，所 以 2 a b.4.生 物 实 验 室 有 5 只 兔 子，其 中 只 有 3 只 测 量 过 某 项 指 标.若 从 这 5 只 兔 子 中 随 机 取 出 3 只，则 恰 有 2 只 测 量 过 该 指 标 的 概 率 为（）A.23B.35C.25D.15答 案：B解 答：计 测 量 过 的 3 只 兔 子 为1、2、3，设 测 量 过 的2只 兔 子 为A、B则 3 只 兔 子 的 种 类 有(1,2,3)(1,2,)A(1,2,)B(1,3,)A(1,3,)B(1,)A B 2,3,2,3,2,3,A B A B A B,则 恰好 有 两 只 测 量 过 的 有6种，所 以 其 概 率 为35.5.在“一 带 一 路”知 识 测 验 后，甲、乙、丙 三 人 对 成 绩 进 行 预 测.甲：我 的 成 绩 比 乙 高.乙：丙 的 成 绩 比 我 和 甲 的 都 高.丙：我 的 成 绩 比 乙 高.成 绩 公 布 后，三 人 成 绩 互 不 相 同 且 只 有 一 个 人 预 测 正 确，那 么 三 人 按 成 绩 由 高 到 低 的 次 序 为（）A 甲、乙、丙B 乙、甲、丙C 丙、乙、甲D 甲、丙、乙答 案：A解 答：根 据 已 知 逻 辑 关 系 可 知，甲 的 预 测 正 确，乙 丙 的 预 测 错 误，从 而 可 得 结 果.6.设()f x 为 奇 函 数，且 当 0 x 时，()1 xf x e，则 当 0 x 时，()f x（）A.1xeB.1xeC.1 xeD.1 xe答 案：D解 答：当 0 x 时，0 x，()1 xf x e，又()f x 为 奇 函 数，有()()1 xf x f x e.7.设,为 两 个 平 面，则/的 充 要 条 件 是()A.内 有 无 数 条 直 线 与 平 行B.内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行C.,平 行 于 同 一 条 直 线D.,垂 直 于 同 一 平 面答 案：B解 析:根 据 面 面 平 行 的 判 定 定 理 易 得 答 案.8.若1 23,4 4x x 是 函 数()sin(0)f x x 两 个 相 邻 的 极 值 点，则=A 2B.32C.1D.12答 案：A解 答：由 题 意 可 知32 4 4 2T 即T=,所 以=2.9.若 抛 物 线)0(22 p p x y 的 焦 点 是 椭 圆 132 2 pypx的 一 个 焦 点，则 p（）A.2B.3C.4D.8答 案：D解 析：抛 物 线)0(22 p p x y 的 焦 点 是)0,2(p，椭 圆 132 2 pypx的 焦 点 是)0,2(p，pp22，8 p.1 0.曲 线 2sin cos y x x 在 点(,1)处 的 切 线 方 程 为()A.1 0 x y B.2 2 1 0 x y C.2 2 1 0 x y D.1 0 x y 答 案：C解 析：因 为 2 cos sin y x x，所 以 曲 线 2sin cos y x x 在 点(,1)处 的 切 线 斜 率 为 2，故 曲 线 2sin cos y x x 在 点(,1)处 的 切 线 方 程 为 2 2 1 0 x y.1 1.已 知(0,)2，2sin 2 cos 2 1，则 sin（）A.15B.55C.33D.2 55答 案：B解 答：(0,)2，22sin 2 cos 2 1 4sin cos 2 cos，则12sin cos tan2，所 以21 2 5cos1 tan 5，所 以25sin 1 cos5.1 2.设 F 为 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 右 焦 点，0 为 坐 标 原 点，以O F为 直 径 的 圆与 圆2 2 2x y a 交 于,P Q两 点，若P Q O F,则C的 离 心 率 为:A.2B.3C.2D.5答 案：A解 析：设 F 点 坐 标 为)0,2c（，则 以 O F 为 直 径 的 圆 的 方 程 为22 22)2 cycx（-，圆 的 方 程2 2 2a y x-，则-，化 简 得 到cax2，代 入 式，求 得caby，则 设 P 点 坐 标 为),2cabca（，Q 点 坐 标 为),2ca bca（，故ca bP Q2，又 O F P Q,则,2cca b 化 简 得 到2 2 22 b a c a b，b a，故 222 2 aaab aace.故 选 A.二、填 空 题1 3.若 变 量,x y满 足 约 束 条 件2 3 6 03 02 0 x yx yy 则3 z x y 的 最 大 值 是.答 案：9解 答：根 据 不 等 式 组 约 束 条 件 可 知 目 标 函 数3 z x y 在 3,0 处 取 得 最 大 值 为9.1 4.我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进.经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有10 个 车 次 的 正 点率 为 0.97，有 20 个 车 次 的 正 点 率 为 0.98，有10 个 车 次 的 正 点 率 为 0.99，则 经 停 该 站 的 高铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为.答 案：0.98解 答：平 均 正 点 率 的 估 计 值0.97 10 0.98 20 0.99 100.9840.1 5.A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c.已 知 sin cos 0 b A a B，则 B.答 案：34解 析：根 据 正 弦 定 理 可 得 sin sin sin cos 0 B A A B,即 sin sin cos 0 A B B，显 然sin 0 A，所 以sin cos 0 B B，故34B.1 6.中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一.印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）.半 正 多 面 体 是 由两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体.半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称 美.图 2 是 一 个 棱数 为 4 8 的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1.则 该 半 正 多 面 体 共 有 个 面，其 棱 长 为.(本 题 第 一 空 2 分，第 二 空 3 分.)答 案：2 62 1 解 析：由 图 2 结 合 空 间 想 象 即 可 得 到 该 正 多 面 体 有 2 6 个 面；将 该 半 正 多 面 体 补 成 正 方 体 后，根 据对 称 性 列 方 程 求 解.