2019年福建省高考文科数学卷试题及其参考答案.pdf

-1-绝密 启用 前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写在 本 试 卷 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 设3 i1 2iz，则 z=A 2 B 3C 2D 12 已 知 集 合 1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7 U A B，则UB A A 1,6 B 1,7 C 6,7 D 1,6,73 已 知0.2 0.32log 0.2,2,0.2 a b c，则A a b c B a c b C c a b D b c a 4 古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12（5 120.618，称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是5 12 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割比 例，且 腿 长 为 105cm，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26cm，则 其 身 高 可 能 是-2-A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190cm5 函 数 f(x)=2sincosx xx x在，的 图 像 大 致 为A B C D 6 某 学 校 为 了 解 1 000 名 新 生 的 身 体 素 质，将 这 些 学 生 编 号 为 1，2，1 000，从 这 些 新 生中 用 系 统 抽 样 方 法 等 距 抽 取 100 名 学 生 进 行 体 质 测 验.若 46 号 学 生 被 抽 到，则 下 面 4 名 学生 中 被 抽 到 的 是A 8 号 学 生 B 200 号 学 生 C 616 号 学 生 D 815 号 学 生7 tan255=A 2 3B 2+3C 2 3D 2+38 已 知 非 零 向 量 a，b 满 足 a=2 b，且（a b）b，则 a 与 b 的 夹 角 为A 6B 3C 23D 569 如 图 是 求112122的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入-3-A A=12 A B A=12A C A=11 2 A D A=112 A10 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 130，则 C 的 离 心 率 为A 2sin40 B 2cos40 C 1sin50 D 1cos50 11 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 asin A bsin B=4 csin C，cos A=14，则bc=A 6 B 5 C 4 D 312 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为1 2(1,0),(1,0)F F，过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点.若2 2|2|A F F B，1|A B B F，则 C 的 方 程 为A 2212xy B 2 213 2x y C 2 214 3x y D 2 215 4x y 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20 分。13 曲 线2)3(exy x x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14 记 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和.若1 3314a S，则 S4=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 函 数3()sin(2)3cos2f x x x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16 已 知 A C B=90，P 为 平 面 A B C 外 一 点，P C=2，点 P 到 A C B 两 边 A C，B C 的 距 离 均为3，那 么 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 70 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721 题 为 必 考 题，-4-每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：60 分。17（12 分）某 商 场 为 提 高 服 务 质 量，随 机 调 查 了 50 名 男 顾 客 和 50 名 女 顾 客，每 位 顾 客 对 该 商 场 的服 务 给 出 满 意 或 不 满 意 的 评 价，得 到 下 面 列 联 表：满 意 不 满 意男 顾 客 40 10女 顾 客 30 20（1）分 别 估 计 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率；（2）能 否 有 95%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异？附：22()()()()()n a d b cKa b c d a c b d P（K2 k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818（12 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和，已 知 S9=a5（1）若 a3=4，求 a n 的 通 项 公 式；（2）若 a10，求 使 得 S n a n 的 n 的 取 值 范 围 19（12 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A1 B1 C1 D1 的 底 面 是 菱 形，A A1=4，A B=2，B A D=60，E，M，N 分 别 是 B C，B B1，A1 D 的 中 点.-5-（1）证 明：M N 平 面 C1 D E；（2）求 点 C 到 平 面 C1 D E 的 距 离 20（12 分）已 知 函 数 f（x）=2sin x xcos x x，f（x）为 f（x）的 导 数（1）证 明：f（x）在 区 间（0，）存 在 唯 一 零 点；（2）若 x 0，时，f（x）a x，求 a 的 取 值 范 围 21.（12 分）已 知 点 A，B 关 于 坐 标 原 点 O 对 称，A B=4，M 过 点 A，B 且 与 直 线 x+2=0 相 切（1）若 A 在 直 线 x+y=0 上，求 M 的 半 径；（2）是 否 存 在 定 点 P，使 得 当 A 运 动 时，M A M P 为 定 值？并 说 明 理 由（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分。22 选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程（10 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2221141txttyt，（t 为 参 数），以 坐 标 原 点 O 为极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值-6-23 选 修 45：不 等 式 选 讲（10 分）已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c=1 证 明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学 参 考 答 案一、选 择 题1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C7 D 8 B 9 A 10 D 11 A 12 B二、填 空 题13 y=3 x14 5815 4 16 2三、解 答 题17 解：-7-（1）由 调 查 数 据，男 顾 客 中 对 该 商 场 服 务 满 意 的 比 率 为400.850，因 此 男 顾 客 对 该 商 场服 务 满 意 的 概 率 的 估 计 值 为0.8 女 顾 客 中 对 该 商 场 服 务 满 意 的 比 率 为300.650，因 此 女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率 的估 计 值 为0.6（2）22100(40 20 30 10)4.76250 50 70 30K 由 于 4.762 3.841，故 有95%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异.18 解：（1）设 na 的 公 差 为 d 由9 5S a 得14 0 a d 由 a3=4 得12 4 a d 于 是18,2 a d 因 此 na 的 通 项 公 式 为 10 2na n（2）由（1）得14 a d，故(9)(5),2n nn n da n d S.由10 a 知 0 d，故n nS a 等 价 于211 10 0 n n，解 得1 n10 所 以 n 的 取 值 范 围 是|1 10,n n n N 19 解：（1）连 结1,B C M E.因 为 M，E 分 别 为1,B B B C 的 中 点，所 以1 M E B C，且112M E B C.又 因 为 N 为1A D 的 中 点，所 以112N D A D.由 题 设 知1 1=A B D C，可 得1 1=B C A D，故=M E N D，因 此 四 边 形 M N D E 为 平 行 四 边形，M N E D.又 M N 平 面1C D E，所 以 M N 平 面1C D E.（2）过 C 作 C1 E 的 垂 线，垂 足 为 H.由 已 知 可 得 D E B C，1D E C C，所 以 D E 平 面1C C E，故 D E C H.从 而 C H 平 面1C D E，故 C H 的 长 即 为 C 到 平 面1C D E 的 距 离，-8-由 已 知 可 得 C E=1，C1 C=4，所 以117 C E，故4 1717C H.从 而 点 C 到 平 面1C D E 的 距 离 为4 1717.20 解：（1）设()()g x f x，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x.当(0,)2x 时，()0 g x；当,2x 时，()0 g x，所 以()g x 在(0,)2单 调 递 增，在,2 单 调 递 减.又(0)0,0,()22g g g，故()g x 在(0,)存 在 唯 一 零 点.所 以()f x 在(0,)存 在 唯 一 零 点.（2）由 题 设 知(),()0 f a f，可 得 a0.由（1）知，()f x 在(0,)只 有 一 个 零 点，设 为0 x，且 当 00,x x 时，()0 f x；当 0,x x 时，()0 f x，所 以()f x 在 00,x 单 调 递 增，在 0,x 单 调 递 减.又(0)0,()0 f f，所 以，当 0,x 时，()0 f x.-9-又 当 0,0,a x 时，a x0，故()f x a x.因 此，a 的 取 值 范 围 是(,0.21 解：（1）因 为 M 过 点,A B，所 以 圆 心 M 在 A B 的 垂 直 平 分 线 上.由 已 知 A 在 直 线+=0 x y上，且,A B 关 于 坐 标 原 点 O 对 称，所 以 M 在 直 线 y x 上，故 可 设(,)M a a.因 为 M 与 直 线 x+2=0 相 切，所 以 M 的 半 径 为|2|r a.由 已 知 得|=2 A O，又 M O A O，故 可 得2 22 4(2)a a，解 得=0 a 或=4 a.故 M 的 半 径=2 r 或=6 r.（2）存 在 定 点(1,0)P，使 得|M A M P 为 定 值.理 由 如 下：设(,)M x y，由 已 知 得 M 的 半 径 为=|+2|,|=2 r x A O.由 于 M O A O，故 可 得2 2 24(2)x y x，化 简 得 M 的 轨 迹 方 程 为24 y x.因 为 曲 线2:4 C y x 是 以 点(1,0)P 为 焦 点，以 直 线 1 x 为 准 线 的 抛 物 线，所 以|=+1 M P x.因 为|=|=+2(+1)=1 M A M P r M P x x，所 以 存 在 满 足 条 件 的 定 点 P.22 解：（1）因 为2211 11tt，且 222 222 221 412 11y t txtt，所 以 C 的 直 角 坐标 方 程 为221(1)4yx x.l 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 3 11 0 x y.（2）由（1）可 设 C 的 参 数 方 程 为cos,2sinxy（为 参 数，）.C 上 的 点 到 l 的 距 离 为4cos 11|2cos 2 3 sin 11|37 7.当23 时，4cos 113 取 得 最 小 值7，故 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 为 7.-1 0-23 解：（1）因 为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又 1 a b c，故 有2 2 21 1 1 a b b c c aa b c a b b c c aa b c a b c.所 以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因 为,a b c 为 正 数 且 1 a b c，故 有3 3 3 3 3 33()()()3()()()a b b c c a a b b c a c=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)a b b c a c=24.所 以3 3 3()()()24 a b b c c a.-1 1-选 择 填 空 解 析1.设31 2izi，则 z（）A.2B.3C.2D.1答 案：C解 析：因 为3(3)(1 2)1 71 2(1 2)(1 2)5i i i izi i i 所 以 z 2 21 7()()5 5 2 2.已 知 集 合 7,6,5,4,3,2,1 U，5 4 3 2，A，7 6 3 2，B，则 A C BU（）A.6,1 B.7,1 C.7,6 D.7,6,1 答 案：C解 析：7,6,5,4,3,2,1 U，5 4 3 2，A，则 7 6 1，A CU，又 7 6 3 2，B，则7 6，A C BU，故 选 C.3.已 知2log 0.2 a，0.22 b，0.30.2 c，则（）A.a b c B.a c b C.c a b D.b c a-1 2-答 案：B解 答：由 对 数 函 数 的 图 像 可 知：2log 0.2 0 a；再 有 指 数 函 数 的 图 像 可 知：0.22 1 b，0.30 0.2 1 c，于 是 可 得 到：a c b.4.古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是21 5（618.021 5称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此.此 外，最 美 人 体 的 头顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是21 5.若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 cm 105，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 cm 26，则 其 身 高 可 能 是（）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 190答 案：B解 析：方 法 一：设 头 顶 处 为 点 A，咽 喉 处 为 点 B，脖 子 下 端 处 为 点 C，肚 脐 处 为 点 D，腿 根 处 为 点 E，足 底处 为 F，t B D，21 5，根 据 题 意 可 知 B DA B,故 t A B；又 t B D A B A D)1(，D FA D，故t D F 1；所 以 身 高 t D F A D h2)1(，将618.021 5 代 入 可 得 t h 24.4.根 据 腿 长 为 cm 105，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 cm 26 可 得 A C A B，E F D F；-1 3-即 26 t，1051t，将618.021 5 代 入 可 得 42 40 t所 以 08.178 6.169 h，故 选 B.方 法 二：由 于 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 极 为 接 近，故 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 cm 26 可估 值 为 头 顶 至 咽 喉 的 长 度；根 据 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 是21 5（618.021 5称 为 黄 金 分 割 比 例）可 计 算 出 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 约 为 cm 42；将 人 体 的 头 顶至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 相 加 可 得 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 为 cm 68，头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是21 5 可 计 算 出 肚 脐 至 足 底 的 长 度 约 为110；将 头 顶 至 肚 脐 的 长 度与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 相 加 即 可 得 到 身 高 约 为 cm 178，与 答 案 cm 175 更 为 接 近，故 选 B.5.函 数2sin()cosx xf xx x在,的 图 像 大 致 为（）A.B.C.D.答 案：D-1 4-解 答：2sin()cosx xf xx x 2sincosx xx x()f x，()f x 为 奇 函 数，排 除 A.又 2 2sin4 22 2()02cos2 2f，排 除 C，2 2sin()01cosf，排 除 B，故 选 D.6.某 学 校 为 了 解1000 名 新 生 的 身 体 素 质，将 这 些 学 生 编 号 为1,2,3,1000，从 这 些 新 生 中用 系 统 抽 样 方 法 等 距 抽 取100 名 学 生 进 行 体 质 测 验，若 46 号 学 生 被 抽 到，则 下 面 4 名 学 生 中被 抽 到 的 是（）.A.8 号 学 生B.200 号 学 生C.616 号 学 生D.815 号 学 生答 案：C解 答：从 1000 名 学 生 中 抽 取 100 名，每 10 人 抽 一 个，46 号 学 生 被 抽 到，则 抽 取 的 号 数 就 为10 6(0 99,)n n n N，可 得 出 616 号 学 生 被 抽 到.7.tan 255（）A.2 3 B.2 3 C.2 3 D.2 3 答 案：D解 析：因 为 tan 255 tan(180 75)tan 75 tan 45 tan 30tan(45 30)1 tan 45 tan 30 化 简 可 得tan 255 2 3-1 5-8.已 知 非 零 向 量 a，b满 足|2|b a，且 b b a)(，则 a与b的 夹 角 为（）A.6B.3C.32 D.65 答 案：B解 答：|2|b a，且 b b a)(，0)(b b a，有 0|2 b b a，设 a与b的 夹 角 为，则 有 0|cos|2 b b a，即 0|cos|22 2 b b，0)1 cos 2(|2 b，0|b，21cos，3，故 a与b的 夹 角 为3，选 B.9.右 图 是 求112+12+2的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）A.12AAB.12 AA C.112AA D.11 2AA答 案：A解 答：-1 6-把 选 项 代 入 模 拟 运 行 很 容 易 得 出 结 论选 项 A 代 入 运 算 可 得1=12+12+2A，满 足 条 件，选 项 B 代 入 运 算 可 得1=2+12+2A,不 符 合 条 件，选 项 C 代 入 运 算 可 得12A,不 符 合 条 件，选 项 D 代 入 运 算 可 得11+4A,不 符 合 条 件.1 0.双 曲 线)0,0(12222 b abyaxC：的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 130，则 C 的 离 心 率 为（）A.40 sin 2B.40 cos 2C.50 sin1D.50 cos1答 案：D解 答：根 据 题 意 可 知 130 tanab，所 以 50 cos50 sin50 tanab，离 心 率 50 cos150 cos150 cos50 sin 50 cos50 cos50 sin1 12 22 22222abe.1 1.A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c，已 知 sin sin 4 sin a A b B c C，1cos4A，则bc（）A.6B.5C.4D.3答 案：A解 答：由 正 弦 定 理 可 得 到：2 2 2sin sin 4 sin 4 a A b B c C a b c，即2 2 24 a c b，又 由 余 弦 定 理 可 得 到：2 2 21cos2 4b c aAbc，于 是 可 得 到 6bc-1 7-1 2.已 知 椭 圆 C 的 焦 点 坐 标 为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点，若2 22 A F F B，1A B B F，则 C 的 方 程 为（）A.2212xy B.2 213 2x y C.2 214 3x y D.2 215 4x y 答 案：B解 答：由2 22 A F F B，1A B B F，设2F B x，则22 A F x，13 B F x，根 据 椭 圆 的 定 义2 1 2 12 F B B F A F A F a，所 以12 A F x，因 此 点 A 即 为 椭 圆 的 下 顶 点，因 为2 22 A F F B，1 c 所 以 点 B 坐 标 为3(,)2 2b，将 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 得29 114 4 a，解 得2 23,2 a b，故 答 案 选 B.1 3.曲 线23()xy x x e 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.答 案：3 y x 解 答：23(2 1)3()x xy x e x x e 23(3 1)xx x e，结 合 导 数 的 几 何 意 义 曲 线 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 的 斜 率 3 k，-1 8-切 线 方 程 为 3 y x.1 4.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和，若11 a，334S，则4S.答 案：58解 析：11 a，3 1 2 334S a a a 设 等 比 数 列 公 比 为q21 1 134a a q a q 12q 所 以4S 581 5 函 数3()sin(2)3cos2f x x x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 答 案：4 解 答：23()sin(2)3cos cos 2 3cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x，因 为 cos 1,1 x，知 当 cos 1 x 时()f x 取 最 小 值，则3()sin(2)3cos2f x x x 的 最 小 值 为 4 1 6.已 知 90 A C B，P 为 平 面 A B C 外 一 点，2 P C，点 P 到 A C B 两 边,A C B C 的 距离 均 为3，那 么 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为.答 案：2解 答：如 图，过 P 点 做 平 面 A B C 的 垂 线 段，垂 足 为 O，则 P O 的 长 度 即 为 所 求，再 做,P E C B P F C A，由 线 面 的 垂 直 判 定 及 性 质 定 理 可 得 出,O E C B O F C A，在R t P C F 中，由 2,3 P C P F，可 得 出 1 C F，同 理 在 R t P C E 中 可 得 出 1 C E，结合 90 A C B，,O E C B O F C A 可 得 出 1 O E O F，2 O C，2 22 P O P C O C-1 9-