2003年数二真题答案速查.pdf

年全国硕士研究生招生考试试题【编者注】年到 年的数学试卷为现在的数学二（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），其中 为非零常数，则 ，（）曲线 在横坐标为 的点处的切线方程是；法线方程是（）积分中值定理的条件是，结论是（）()（）（），（）二、（本题满分 分）求极限()三、（本题满分 分）设 （），（），求，四、（本题满分 分）计算定积分 五、（本题满分 分）设 是由曲线 与三条直线 ，围成的曲边梯形，求 绕 轴旋转一周所生成的旋转体的体积六、证明题（本题满分 分）（）若（）在（，）内可导，且导数（）恒大于零，则（）在（，）内单调增加（）若（）在 处二阶导数存在，且（），（），则（）为（）的一个极大值七、（本题满分 分）计算不定积分 ，其中，是不全为 的非负常数 年真题八、（本题满分 分）（）求微分方程 满足条件 的特解（）求微分方程 的通解九、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）（）是（）（）有界函数 （）单调函数（）周期函数（）偶函数（）函数（）（）（）当 时为无穷大（）在（，）内有界（）在（，）内无界（）当 时有有限极限（）设（）在 处可导，则（）（）等于（）（）（）（）（）（）（）（）（）设 （），其中（）连续，则 的值（）（）依赖于，（）依赖于，（）依赖于，不依赖于（）依赖于，不依赖于 十、（本题满分 分）在第一象限内求曲线 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（），（），在（，）内连续，则 （）设（）()，则（）（）设（）连续，且（），则（）（）（）二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）的图形在点（，）处的切线与 轴交点的坐标是（）（），()（）（，）（），()（）（，）（）若（）与（）在（，）上皆可导，且（）（），则必有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）若函数 （），有（），则当 时，该函数在 处的微分 是（）（）与 等价的无穷小（）与 同阶的无穷小（）比 低阶的无穷小（）比 高阶的无穷小（）由曲线 （）与 轴围成的平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积为（）（）（）（）（）（）设函数 （）是微分方程 的一个解，且（），（），则（）在点 处（）（）有极大值（）有极小值（）某邻域内单调增加（）某邻域内单调减少 年真题三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）已知（），（）且（），求（）并写出它的定义域（）已知 ，求 ，（）求微分方程 （）的通解（一般解）四、（本题满分 分）作函数 的图形，并填写下表单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（）区间凸（）区间拐点渐近线五、（本题满分 分）将长为 的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分 分）设函数 （）满足微分方程 ，且其图形在点（，）处的切线与曲线 在该点处的切线重合，求函数 （）七、（本题满分 分）设 ，求（）八、（本题满分 分）设（）在（，）上有连续导数，且 （）（）求（）（）；（）证明：（）（）（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）（）曲线 （）（）在点（，）处的切线方程是（）设（）（）（）（），则（）（）设（）是连续函数，且（）（），则（）（）设（），在 处连续，则常数 与 应满足的关系是（）设 ，则 二、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）已知 ，求（）求（）求（）（）已知 （），求，（）已知（），（）及（），求（）三、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）当 时，曲线 （）（）有且仅有水平渐近线（）有且仅有铅直渐近线（）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（）既无水平渐近线，也无铅直渐近线（）若 ，则方程 （）（）无实根（）有唯一实根（）有三个不同实根（）有五个不同实根（）曲线 ()与轴所围成的图形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（）（）（）（）（）年真题（）设两函数（）和（）都在 处取得极大值，则函数（）（）（）在 处（）（）必取极大值（）必取极小值（）不可能取极值（）是否取极值不能确定（）微分方程 的一个特解应具有形式（式中，为常数）（）（）（）（）（）（）设（）在点 的某个邻域内有定义，则（）在 处可导的一个充分条件是（）（）（）（）存在（）（）（）存在（）（）（）存在（）（）（）存在四、（本题满分 分）求微分方程 （）（）满足（）的特解五、（本题满分 分）设（）（）（），其中 为连续函数，求（）六、（本题满分 分）证明方程 在区间（，）内有且仅有两个不同实根七、（本题满分 分）对函数 填写下表单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八、（本题满分 分）设抛物线 过原点，当 时，又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 试确定，的值，使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 最小历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）曲线 ，上对应于 处的法线方程是（）设 ，则 （）（）下列两个积分的大小关系是：（）设函数（），则函数 （）二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）已知 ()，其中，是常数，则（）（），（），（），（），（）设函数（）在（，）上连续，则（）等于（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）已知函数（）具有任意阶导数，且（）（），则当为大于 的正整数时，（）的阶导数（）（）是（）（）！（）（）（）（）（）（）！（）（）设（）是连续函数，且（）（），则（）等于（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设（）（），（），其中（）在 处可导，（），（），则 是（）的（）（）连续点（）第一类间断点（）第二类间断点（）连续点或间断点不能由此确定三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）已知 ()，求常数（）求由方程 （）（）所确定的函数 （）的微分 年真题（）求曲线 （）的拐点（）计算（）（）求微分方程 （）满足条件 的特解四、（本题满分 分）在椭圆 的第一象限部分上求一点，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中 ，）五、（本题满分 分）证明：当 时，有不等式 六、（本题满分 分）设（），其中 ，求（）()七、（本题满分 分）过点（，）作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形 求此平面图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积八、（本题满分 分）求微分方程 的通解，其中 为实数历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），则 （）曲线 的凸区间是（）（）质点以速度（）米 秒作直线运动，则从时刻 秒到 秒内质点所经过的路程等于米（）二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）若曲线 和 在点（，）处相切，其中，是常数，则（）（），（），（），（），（）设函数（），记（）（），则（）（）（），（）（），（）（），（）（），（）设函数（）在（，）内有定义，是函数（）的极大值点，则（）（）必是（）的驻点（）必是 （）的极小值点（）必是 （）的极小值点（）对一切 都有（）（）（）曲线 （）（）没有渐近线（）仅有水平渐近线（）仅有铅直渐近线（）既有水平渐近线又有铅直渐近线（）如图，轴上有一线密度为常数，长度为 的细杆，若质量为 的质点到杆右端的距离为，已知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小为（）年真题（）（）（）（）（）（）（）（）三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 ，求（）计算（）（）求 （）（）求（）求微分方程 满足（）的特解四、（本题满分 分）利用导数证明：当 时，（）五、（本题满分 分）求微分方程 的通解六、（本题满分 分）曲线 （）（）和 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积七、（本题满分 分）如图，和 分别是曲线 和 上的点，和 均垂直 轴，且 ，求点 和 的横坐标，使梯形 的面积最大八、（本题满分 分）设函数（）在（，）上满足（）（），且（），）计算（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），（），其中 可导，且（），则（）函数 在，上的最大值为（）（）（）（）由曲线 与直线 所围成的图形的面积 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）当 时，是 的（）（）低阶无穷小（）高阶无穷小（）等价无穷小（）同阶但非等价的无穷小（）设（），则（）（）（），（），（）（）（），（）（），（）（），（）当 时，函数 的极限（）（）等于（）等于（）为（）不存在但不为（）设（）连续，（）（），则（）等于（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）若（）的导函数是 ，则（）有一个原函数为（）（）（）（）（）三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）求 ()（）设函数 （）由方程 所确定，求 的值 年真题（）求 （）求 （）求微分方程（）的通解四、（本题满分 分）设（），求（）五、（本题满分 分）求微分方程 的通解六、（本题满分 分）计算曲线 （）上相应于 的一段弧的长度七、（本题满分 分）求曲线 的一条切线，使该曲线与切线 及直线 ，所围成的平面图形面积最小八、（本题满分 分）已知（），（），证明对任何 ，有（）（）（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）函数 （）由方程（）所确定，则（）设（）（），则函数（）的单调减少区间是（）（）已知曲线 （）过点(，)，且其上任一点（，）处的切线斜率为（），则（）二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）当 时，变量是（）（）无穷小 （）无穷大（）有界的，但不是无穷小 （）无界的，但不是无穷大（）设（），则在点 处函数（）（）（）不连续（）连续，但不可导（）可导，但导数不连续（）可导，且导数连续（）已知（），设（）（）（），则（）为（）（），（），（），（），（）设常数 ，函数（）在（，）内的零点个数为（）（）（）（）（）（）若（）（），在（，）内（），（），则（）在（，）内（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）年真题三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），其中 具有二阶导数，求（）求（）（）求 （）求（）（）求微分方程（）（）满足初值条件（）的特解四、（本题满分 分）设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 （），试确定常数，并求该方程的通解五、（本题满分 分）设平面图形 由 与 所确定，求图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积六、（本题满分 分）作半径为 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 为何值时，其体积 最小，并求出该最小值七、（本题满分 分）设 ，常数 证明：（）八、（本题满分 分）设（）在，上连续，且（），证明：（），其中 （）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）若（），在（，）上连续，则 （）设函数 （）由参数方程 （），所确定，则（）（）()（）（）微分方程 （）的通解为二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（）（），则（）（），（），（），（），（）设（），则（）在点 处的（）（）左、右导数都存在（）左导数存在，但右导数不存在（）左导数不存在，但右导数存在（）左、右导数都不存在（）设 （）是满足微分方程 的解，且（），则（）在（）（）的某个邻域内单调增加（）的某个邻域内单调减少（）处取得极小值（）处取得极大值（）曲线 （）（）的渐近线有（）（）条 （）条 （）条 （）条（）设 ，（），（），则有（）（）（）（）（）年真题三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），其中 具有二阶导数，且其一阶导数不等于，求（）计算（）（）计算()（）计算 （）如图，设曲线方程为 ，梯形 的面积为，曲边梯形 的面积为，点 的坐标为（，），证明：四、（本题满分 分）设当 时，方程 有且仅有一个解，求 的取值范围五、（本题满分 分）设 ，（）求函数的增减区间及极值；（）求函数图形的凹凸区间及拐点；（）求其渐近线；（）作出其图形六、（本题满分 分）求微分方程 的通解，其中常数 七、（本题满分 分）设（）在，上连续且递减，证明：当 时，（）（）八、（本题满分 分）求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转所得的旋转体体积历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），则 （）微分方程 的通解为（）曲线 ，在 处的切线方程为（）()（）曲线 的渐近线方程为二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（）和（）在（，）上有定义，（）为连续函数，且（），（）有间断点，则（）（）（）必有间断点（）（）必有间断点（）（）必有间断点（）（）（）必有间断点（）曲线 （）（）与 轴所围图形的面积可表示为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设（）在（，）内可导，且对任意，当 时，都有（）（），则（）（）对任意，（）（）对任意，（）（）函数（）单调增加（）函数 （）单调增加（）设函数（）在，上（），则（），（），（）（）或（）（）的大小顺序是（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设（）可导，（）（）（）若（）在 处可导，则必有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）年真题三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）求 （）（）设函数 （）由方程（）确定，其中 具有二阶导数，且 ，求（）设（），且 （），求（）（）设（），试讨论（）在 处的连续性（）求摆线 ，一拱（）的弧长（）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比（比例常数为），问 为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程四、（本题满分 分）求函数（）（）的最大值和最小值五、（本题满分 分）设 是微分方程 （）的一个解，求此微分方程满足条件 的特解六、（本题满分 分）如图，设曲线 的方程为 （），且 又，分别为该曲线在点（，）处 的 切 线 和 法 线已 知 线 段 的 长 度 为（）（其中 （），（），试推导出点（，）的坐标表达式七、（本题满分 分）设（），计算（）八、（本题满分 分）设（），且（），证明（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题（试卷）一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 （），则 （）（）（）微分方程 的通解为（）()()（）由曲线 ，及 所围图形的面积 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设当 时，（）是比 高阶的无穷小，则（）（），（），（），（），（）设函数（）在区间（，）内有定义，若当 （，）时，恒有（），则 必是（）的（）（）间断点（）连续而不可导的点（）可导的点，且（）（）可导的点，且（）（）设（）处处可导，则（）（）当（），必有（）（）当（），必有（）（）当（），必有（）（）当（），必有（）（）在区间（，）内，方程 （）（）无实根（）有且仅有一个实根（）有且仅有两个实根（）有无穷多个实根（）设（），（）在区间，上连续，且（）（）（为常数），由曲线 （），（），及 所围平面图形绕直线 旋转而成的旋转体体积为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）年真题三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）计算 （）求 （）设（），（），其中（）具有二阶导数，且（），求（）求函数（）在点 处带拉格朗日型余项的 阶泰勒展开式（）求微分方程 的通解（）设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 ()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积 四、（本题满分 分）计算不定积分（）五、（本题满分 分）设函数（），（）写出（）的反函数（）的表达式；（）（）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点六、（本题满分 分）设函数 （）由方程 所确定，试求 （）的驻点，并判别它是否为极值点七、（本题满分 分）设（）在区间，上具有二阶导数，且（）（），（）（）证明：存在 （，）和 （，），使（）及（）八、（本题满分 分）设（）为连续函数，（）求初值问题 （），的解（），其中 是正常数；（）若（）（为常数），证明：当 时，有（）（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）已知函数（）（），在 处连续，则 （）设 ，则 （）（）（）（）已知向量组（，），（，），（，）的秩为，则 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设 时，与 是同阶无穷小，则 为（）（）（）（）（）（）设在闭区间，上（），（），（）记（），（）（），（）（）（），则（）（）（）（）（）（）已知函数 （）对一切满足（）（），若（）（），则（）（）（）是（）的极大值（）（）是（）的极小值（）（，（）是曲线 （）的拐点（）（）不是（）的极值，（，（）也不是曲线 （）的拐点（）设（），则（）（）（）为正常数（）为负常数（）恒为零（）不为常数（）设函数（），（），则（）（）（），（），（），（），三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）求极限 年真题（）设函数 （）由 ，所确定，求（）计算（）（）求微分方程（）（）的通解（）已知 ，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程（）已知矩阵 ，且 ，其中 是 阶单位矩阵，求矩阵 四、（本题满分 分）取何值时，方程组 ，无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解五、（本题满分 分）设曲线的极坐标方程为 （），（，）为上任一点，（，）为上一定点 若极径，与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上，两点间弧长值的一半，求曲线 的方程六、（本题满分 分）设函数（）在闭区间，上连续，在开区间（，）内大于零，并满足（）（）（为常数），又曲线 （）与 ，所围的图形 的面积值为，求函数 （），并问 为何值时，图形 绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小七、（本题满分 分）设函数（）连续，（）（），且（）（为常数），求（）并讨论（）在 处的连续性八、（本题满分 分）就 的不同取值情况，确定方程 在开区间(，)内根的个数，并证明你的结论历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）曲线 与 轴所围成的图形的面积 （）（）（）设（）连续，则（）（）曲线 ()（）的渐近线方程为二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设数列 与 满足，则下列断言正确的是（）（）若 发散，则 必发散（）若 无界，则 必有界（）若 有界，则 必为无穷小（）若为无穷小，则 必为无穷小（）函数（）（）的不可导点的个数为（）（）（）（）（）（）已知函数 （）在任意点 处的增量 ，其中 是比（）高阶的无穷小，且（），则（）（）（）（）（）（）（）设函数（）在 的某个邻域内连续，且（）为其极大值，则存在 ，当（，）时，必有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设 是任一（）阶方阵，是其伴随矩阵，又 为常数，且 ，则必有（）（）（）（）（）（）三、（本题满分 分）求函数（）（）（）在区间（，）内的间断点，并判断其类型 年真题四、（本题满分 分）确定常数，的值，使 （）（）五、（本题满分 分）利用代换 将方程 化简，并求出原方程的通解六、（本题满分 分）计算积分 七、（本题满分 分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度 之间的函数关系 设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为（）试建立 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 （）八、（本题满分 分）设 （）是区间，上的任一非负连续函数（）试证存在（，），使得在区间，上以（）为高的矩形面积，等于在区间，上以 （）为曲边的曲边梯形面积；（）又设（）在区间（，）内可导，且（）（），证明（）中的 是惟一的九、（本题满分 分）设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积十、（本题满分 分）设 （）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（，）处的曲率为 ，且此曲线上点（，）处的切线方程为 ，求该曲线的方程，并求函数 （）的极值十一、（本题满分 分）设 （，），证明：（）（）（）；历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（）（）十二、（本题满分 分）设（），其中 是 阶单位矩阵，是 阶矩阵 的转置矩阵，求 十三、（本题满分 分）已知 （，），（，），（，），（，），问：（），取何值时，不能由，线性表示？（），取何值时，可由，线性表示？并写出此表示式 年真题 年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）曲线 在点（，）处的法线方程为（）设函数 （）由方程（）确定，则 （）（）函数 在区间，上的平均值为（）微分方程 的通解为二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（），（），其中（）是有界函数，则（）在 处（）（）极限不存在（）极限存在，但不连续（）连续，但不可导（）可导（）设（），（）（），则当 时，（）是（）的（）（）高阶无穷小（）低阶无穷小（）同阶但不等价的无穷小（）等价无穷小（）设（）是连续函数，（）是（）的原函数，则（）（）当（）是奇函数时，（）必是偶函数（）当（）是偶函数时，（）必是奇函数（）当（）是周期函数时，（）必是周期函数（）当（）是单调增函数时，（）必是单调增函数（）“对任意给定的 （，），总存在正整数，当 时，恒有”是数列 收敛于 的（）（）充分条件但非必要条件（）必要条件但非充分条件（）充分必要条件（）既非充分条件又非必要条件（）记行列式 为（），则方程（）的根的个数为（）（）（）（）（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三、（本题满分 分）求 （）四、（本题满分 分）计算 五、（本题满分 分）求初值问题（）（），的解六、（本题满分 分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深，抓斗自重，缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为 在提升过程中，污泥以 的速率从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：；，分别表示米，牛顿，秒，焦耳 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）七、（本题满分 分）已知函数 （），求（）函数的增减区间及极值；（）函数图形的凹凸区间及拐点；（）函数图形的渐近线八、（本题满分 分）设函数（）在闭区间 ，上具有三阶连续导数，且（），（），（），证明：在开区间（，）内至少存在一点，使 （）九、（本题满分 分）设函数（）（）二阶可导，且（），（）过曲线 （）上任意一点（，）作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为，区间，上以 （）为曲边的曲边梯形面积记为，并设 恒为，求此曲线 （）的方程 年真题十、（本题满分 分）设（）是区间，）上单调减少且非负的连续函数，（）（）（，），证明数列 的极限存在十一、（本题满分 分）设矩阵 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，求矩阵 十二、（本题满分 分）设向量组 （，），（，），（，），（，）（）为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 （，）用，线性表示；（）为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）（）设函数 （）由方程 所确定，则 （）（）（）曲线 （）的斜渐近线方程为（）设 ，为 阶单位矩阵，且 （）（），则（）二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设函数（）在（，）内连续，且（），则常数，满足（）（），（），（），（），（）设函数（）满足关系式（）（），且（），则（）（）（）是（）的极大值（）（）是（）的极小值（）点（，（）是曲线 （）的拐点（）（）不是（）的极值，点（，（）也不是曲线 （）的拐点（）设函数（），（）是大于零的可导函数，且（）（）（）（），则当 时，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）若 （），则 （）为（）（）（）（）（）（）具有特解 ，的 阶常系数齐次线性微分方程是（）（）（）（）（）三、（本题满分 分）设（）（），计算（）年真题四、（本题满分 分）设 平面上有正方形 （，），及直线：（）若（）表示正方形 位于直线 左下方部分的面积，试求（）（）五、（本题满分 分）求函数（）（）在 处的 阶导数（）（）（）六、（本题满分 分）设函数（），（）当 为正整数，且 （）时，证明：（）（）；（）求（）七、（本题满分 分）某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为 已知 年底湖中 的含量为，超过国家规定指标 为了治理污染，从 年初起，限定排入湖泊中含 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 的含量才可降至 以内？（注：设湖水中 的浓度是均匀的）八、（本题满分 分）设函数（）在，上连续，且（），（）试证明：在（，）内至少存在两个不同的点，使（）（）九、（本题满分 分）已知（）是周期为 的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式（）（）（），其中（）是当时比高阶的无穷小，且（）在 处可导，求曲线 （）在点（，（）处的切线方程十、（本题满分 分）设曲线 （，）与 交于点，过坐标原点 和点 的直线与曲线 围成一平面图形 问 为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、（本题满分 分）函数（）在，）上可导，（），且满足等式历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（）（）（）（）求导数（）；（）证明：当 时，不等式 （）成立十二、（本题满分 分）设 ，其中 是 的转置，求解方程 十三、（本题满分 分）已知向量组 ，与向量组 ，具有相同的秩，且 可由，线性表示，求，的值 年真题 年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）（）设函数 （）由方程 （）所确定，则曲线 （）在点（，）处的法线方程为（）（）（）过点(，)且满足关系式 的曲线方程为（）设方程组 有无穷多解，则 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（），则 （）等于（）（）（）（），（），（）设当 时，（）（）是比 高阶的无穷小，是比 高阶的无穷小，则正整数 等于（）（）（）（）（）（）曲线 （）（）的拐点个数为（）（）（）（）（）（）已知函数（）在区间（，）内具有二阶导数，（）严格单调减少，且（）（），则（）（）在（，）和（，）内均有（）（）在（，）和（，）内均有（）（）在（，）内，（），在（，）内，（）（）在（，）内，（），在（，）内，（）（）已知函数 （）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数 （）的图形为（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三、（本题满分 分）求（）四、（本题满分 分）求极限 ()，记此极限为（），求函数（）的间断点并指出其类型五、（本题满分 分）设 （）是抛物线 上任一点（，）（）处的曲率半径，（）是该抛物线上介于点（，）与 之间的弧长，计算()的值（在直角坐标系下曲率公式为 （）六、（本题满分 分）设函数（）在，）上可导，（），且其反函数为（）若（）（），求（）七、（本题满分 分）设函数（），（）满足 （）（），（）（），且（），（），求（）（）（）八、（本题满分 分）设是一条平面曲线，其上任意一点（，）（）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，且 经过点(，)（）试求曲线 的方程；（）求 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 以及两坐标轴所围图形的面积最小九、（本题满分 分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数 假设在融化过程 年真题中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 的雪堆在开始融化的 小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？十、（本题满分 分）设（）在区间 ，（）上具有二阶连续导数，（）（）写出（）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（）证明在 ，上至少存在一点，使（）（）十一、（本题满分 分）已知矩阵 ，且矩阵 满足 ，其中 是 阶单位矩阵，求 十二、（本题满分 分）已知，是线性方程组 的一个基础解系，若 ，讨论实数 满足什么关系时，也是 的一个基础解系历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设函数（），在 处连续，则 （）位于曲线 （）下方，轴上方的无界图形的面积是（）微分方程 满足初始条件 ，的特解是（）（）矩阵 的非零特征值是二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设函数（）可导，（），当自变量 在 处取得增量 时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则（）（）（）（）（）（）（）设函数（）连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设 （）是二阶常系数微分方程 满足初始条件（）（）的特解，则当 时，函数（）（）的极限（）（）不存在（）等于（）等于（）等于（）设函数 （）在（，）内有界且可导，则（）（）当（）时，必有（）（）当（）存在时，必有（）（）当（）时，必有（）（）当（）存在时，必有（）（）设向量组，线性无关，向量 可由，线性表示，而向量 不能由，线性表示，则对于任意常数，必有（）（），线性无关（），线性相关（），线性无关（），线性相关 年真题三、（本题满分 分）已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于 处的切线与法线的直角坐标方程四、（本题满分 分）设（），（），求函数（）（）的表达式五、（本题满分 分）已知函数（）在（，）内可导，（），（），且满足（）（），求（）六、（本题满分 分）求微分方程 （）的一个解 （），使得由曲线 （）与直线 ，以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小七、（本题满分 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段 所围成 当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 ，闸门矩形部分的高 应为多少（米）？八、（本题满分 分）设 ，（）（，），证明数列 的极限存在，并求此极限九、（本题满分 分）设 ，证明不等式 十、（本题满分 分）设函数（）在 的某邻域内具有二阶连续导数，且（），（），（）证明：存在唯一的一组实数，使得当 时，（）（）（）（）是比 高阶的无穷小历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）十一、（本题满分 分）已知，为 阶矩阵，且满足 ，其中 是 阶单位矩阵（）证明：矩阵 可逆；（）若 ，求矩阵 十二、（本题满分 分）已知 阶方阵 （，），均为 维列向量，其中，线性无关，如果 ，求线性方程组 的通解 年真题 年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）若 时，（）与 是等价无穷小，则 （）设函数 （）由方程 所确定，则曲线 （）在点（，）处的切线方程是（）的麦克劳林公式中 项的系数是（）设曲线的极坐标方程为 （），则该曲线上相应于 从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为（）设 为 维列向量，是 的转置，若 ，则 （）设阶方阵，满足 ，其中为阶单位矩阵，若 ，则二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设，均为非负数列，且，则必有（）（）对任意 成立（）对任意 成立（）极限不存在（）极限不存在（）设 ，则极限等于（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）已知 是微分方程 ()的解，则()的表达式为（）（）（）（）（）（）设函数（）在（，）内连续，其导函数的图形如图所示，则（）有（）（）一个极小值点和两个极大值点（）两个极小值点和一个极大值点（）两个极小值点和两个极大值点（）三个极小值点和一个极大值点（）设 ，则（）（）（）（）（）历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（）设向量组：，可由向量组：，线性表示，则（）（）当 时，向量组 必线性相关（）当 时，向量组 必线性相关（）当 时，向量组 必线性相关（）当 时，向量组 必线性相关三、（本题满分 分）设函数（）（），问 为何值时，（）在 处连续；为何值时，是（）的可去间断点？四、（本题满分 分）设函数 （）由参数方程 ，（）所确定，求 五、（本题满分 分）计算不定积分（）六、（本题满分 分）设函数 （）在（，）内具有二阶导数，且 ，（）是 （）的反函数（）试将 （）所满足的微分方程（）()变换为 （）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件（），（）的解七、（本题满分 分）讨论曲线 与 的交点个数八、（本题满分 分）设位于第一象限的曲线 （）过点(，)，其上任一点（，）处的法线与 轴的交点为，且线段 被 轴平分（）求曲线 （）的方程；（）已知曲线 在，上的弧长为，试用 表示曲线 （）的弧长 年真题九、（本题满分 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 （）（）绕轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）（）根据 时刻液面的面积，写出 与（）之间的关系式；（）求曲线 （）的方程（注：表示长度单位米，表示时间单位分）十、（本题满分 分）设函数（）在闭区间，上连续，在开区间（，）内可导，且（）若极限（）存在，证明：（）在（，）内（）；（）在（，）内存在点，使（）（）；（）在（，）内存在与（）中 相异的点，使（）（）（）十一、（本题满分 分）若矩阵 相似于对角矩阵，试确定常数 的值，并求可逆矩阵 使 十二、（本题满分 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为：，：，：试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）年全国硕士研究生招生考试试题一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）设（）（），则（）的间断点为 （）设函数（）由参数方程 ，确定，则曲线 （）向上凸的 的取值范围为（）（）设函数 （，）由方程 确定，则（）微分方程（）满足 的特解为（）设矩阵 ，矩阵 满足 ，其中 为 的伴随矩阵，是单位矩阵，则二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分）（）把 时的无穷小量 （），（）排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）（），（），（），（），（）设（）（），则（）（）是（）的极值点，但（，）不是曲线 （）的拐点（）不是（）的极值点，但（，）是曲线 （）的拐点（）是（）的极值点，且（，）是曲线 （）的拐点（）不是（）的极值点，（，）也不是曲线 （）的拐点（）()()()等于（）（）（）（）（）（）（）（）设函数（）连续，且（），则存在 ，使得（）（）（）在（，）内单调增加（）（）在（，）内单调减少（）对任意的 （，）有（）（）（）对任意的 （，）有（）（）年真题（）微分方程 的特解形式可设为（）（）（）（）（）（）（）（）设函数（）连续，区域 （，），则（）等于（）（）（）（）