2022～2023学年高考一轮热题不等式证明归类---导数压轴大题归类.pdf

1 0 导数压轴大题归类：不等式证明归类(2)【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型【典例分析】已知 f(x)=xl nx,g(x)=-冗2+改一3.(1)求函数“X)的单调区间；(2)对一切工0,叱)，2 f (x)N g(力恒成立,求实数Q的取值范围:(3)证明：对一切不 0,+8),都有l nx-已成立.e ex【提分秘籍】基本规律类型特征：(1)特殊技巧；(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】1 .已知,f(x)=xl nx.(1)求 函 数 的 极 值；x+(2)证明：对一切xe(O,+8),都有 nx2 成立.e xxe e2.已知函数/(x)=l nx-x.讨 论 函 数,m)=小)-?。,田的单调性;证 明：【题型二】不等式证明7:三角函数与导数不等式【典例分析】已知函数/(x)=e*-or-c os x,g(x)=/(x)-x,a eR.(1)若/(x)在 0,+巧上单调递增，求”的最大值；(2)当 a 取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在 K 上的零点个数，并证明g(x)-&.【提分秘籍】基本规律1 .证明思路和普通不等式一样。2.充分利用正余弦的有界性【变式演练】1 .设函数/(x)=xl n(l-x).(1)求y =.“x)的极值点;(2)设函数外力=河X+11-s mx.证明:F(x)2.2.已知函数x)=l nx,g(x)=e、/(1)若3 xw 0,l ,g(x)a)成立，求实数”的取值范围;(2)证明：M x)=f(x)+s i n/x有且只有一个零点七且“s i n爰卜?【题型三】不等式证明8:极值点偏移之不含参型【典例分析】.已知函数x)=xl nx.(1)求曲线y =/(x)在点(1 J)处的切线方程；(2)设王，为两个不相等的正数，且不)=)，证明：-x1+x,l.e -【提分秘籍】基本规律1.求出函数/(X)的极值点”。；2.构造一元差函数无)=/(/+%)-/(玉)一无).3.确定函数飞工)的单调性；4.结 合 判 断 尸(幻 的 符 号，从而确定/(*。+防、/(龙。一”)的大小关系【变式演练】1.已知函数 f(x)=e +c osx-a a e R).(1)当4 =1时，判断了(X)在区间(0,+8)上的单调性；(2)当a =e时，若占,(0,万)(西片&),/(西)=/(占)，且/(X)的极值在x=x()处取得，证明：+x2 2.【题型四】不等式证明9:极值点偏移之含参型【典例分析】已知函数/(x)=?+g l nxl(，e R)的两个零点为玉,(玉/)-,X j x2 e【提分秘籍】基本规律1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.【变式演练】1.已知函数 x)=lnx.(1)设函数g(x)=；-ln x(fe R),且 g(x)4 x)恒成立，求实数f 的取值范围；1 9(2)求证：/(-).;e er(3)设函数y=/(x)-a r-g(a w R)的两个零点不、%,求证：XjX2 2e2.2.已知函数f(x)=|x-a|-L +4,a R.(1)若/(I)=2,求“的值；X(2)若存在两个不相等的正实数对/，满足/(%)=/(%)，证明：2%+工 22。；1-片+1.x【题型 五】不 等 式 证 明10：三 个“极 值 点(零 点)”不等式【典例分析】已知函数/(x)=axlM+X在(e,e)处的切线方程为2 x-y-e =0.(1)求函数/*)的解析式；(2)当0 小 4 时，若函数6口)=右 静 的 3 个极值点分别为占，x,x3(xx2xi),求证:2 八x)0 2 x2 1 42.已知函数f (x)=彳 普.(1)若a=0,讨 卷%)的单调性.(2)若/(%)有三个版底点与，%2 x3.求a 的取值范围；求证：+x2+x3 -2.【题型 六】不 等 式 证 明1 1:比 值 代 换(整 体 代 换 等)【典例分析】已知函数 x)=xk)g“x-|2+(。为常数，a()且4 X 1).(1)求函数/(x)的单调区间;(2)当”=e时，若 g(x)=x)-1 加+3x有两个极值点为，%，证明:In 再 +In%0.【提分秘籍】基本规律1.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程2.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】1.已知函数f(x)=xl nx-x2-x+1,a eR.(I)若函数y=/(x)的图象在点(1 J(1)处的切线方程为y=-2 x+i,求实数。的值;(2)若函数/(X)在定义域内有两个不同的极值点玉，声.(/)求实数，的取值范围；t r i(n)当0机W 2时，证明：为+9 -.2.王和是关于x的方程x-a/+2 =0的两个不同的实数根.(1)求实数 的取值范围；(2)若-玉N l n2,求证：气A n2-2.【题型七】不等式证明1 1:非对称型(零点xl与 x2系数不一致)【典例分析】已知-a l nx,a wR.(1)讨论y=x)的单调性：(2)若y=/(x)有两个零点内,(为 4 x0.【提分秘籍】基本规律1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。2.可以利用“极值点”偏移构造新函数证明。【变式演练】1.已知函数/(x)=x-e +a.(1)讨论函数/(x)零点的个数；(2)若函数/(x)恰有两个零点玉,(西 )，证明2玉+4 x,-6 a x,2.【题型八】不等式证明1 2:韦达定理型【典例分析】已知函数 f (x)=-lnx-a x2+4 x(。0).(1)若/J)是定义域上的单调函数，求a的取值范围；(2)若/在定义域上有两个极值点5,X2,证明：4)+/(三)3 +2历2.【提分秘籍】基本规律1.题 干 条 件 大 多 数 是 与 函 数 额 极 值x1,x 2有 关。2.利用韦达定理代换：可 以 消 去x1,x 2留下参数【变式演练】1.已知函数尤)=+(a-3)x+a l nx(a eR),在定义域上有两个极值点X,x?,且王 02.已知函数f(x)=R x+x,a e R .x(1)当“=-|时，求函数 X)的单调区间；(2)若函数/(X)有两个极值点X 1,X2,且 工2,证明：当外，x2 e|,4 ,f(xl)-f(x2)a +i0.【题 型 九】不 等 式 证 明1 3:利用第一问【典例分析】已知函数/(x)=a l nx+x-(6/eR).(1)当。2.m m n【提分秘籍】基本规律1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)【变式演练】1.设函数/(x)=5-I n(a r+l)g*0).(1)讨 论 函 数 的 单 调 性；(2)当x 0时，证明：e-e空 尸2.已知函数/(x)=x(e*-a)-a(l nx-G(a 0).(1)若 =,讨 论“X)的单调性；(2)证 明:f(x)2a.【题 型 十】不 等 式 证 明1 4：含ex和I nx型【典例分析】已知函数/(x)=e“-l n(x+m).(1)若x=0是/(幻的极值点，求m，并讨论了的单调性;(2)当，=2 时,证 明：(0.【提分秘籍】基本规律1 .因为含有ex和 Inx这类超越函数,，可以借助“不确定根”(隐零点)代换放缩证明2.利用Inx求导为1/x,ex求导无限循环特性，把 Inx独立分离出，降低导函数零点寻找的计算难度。3.可以利用“同构”技巧【变式演练】1 .已知函数/()=(_ 2).0*_ 微(_ _ 1)2,g(x)=x+ln%-2 e+1.(1)讨论 x)的单调性；(2)当。=0 时,证 明：Vx 0,/(x)g(x).2.已知函数/(x)=S,g(x)=ln%+2x +1,其中aeR.XX(1)试讨论函数/(x)的单调性；(2)若4=2,证明：xf(x)g(x).【题 型 十 一】不 等 式 证 明 1 5：先放缩再证明【典例分析】设函数/(x)=lnx+T-l(aeR).(1)求函数/(x)的单调区间;(2)当x e(。,1)时，证明：x2+x-1 2.2.已知函数 x)=e 2-x.(1)求函数“X)的极值;求 证：上中【题 型 十 二】不 等 式 证 明 1 6.:切 线 放 缩 证 明 两 根 差 型(剪 刀 模 型)【典例分析】已知函数.f(x)=6 x-x 6,x e R .(1)求函数，(x)的极值；(2)设曲线y=/(x)与X 轴正半轴的交点为P,求曲线在点p 处的切线方程；(3)若方程/。)=为实数)有两个实数根%,电 且 占 求 证：x2-x,-1.【提分秘籍】基本规律本专题又称之为“剪刀模型”，可以如下图理解(其中一种思维)【变式 演 练】1.已知函数/(x)=n x-x,x w R ,其中 n e 7 V ,n 2.(I)讨 论.f(x)的单调性；(H)设曲线y=/(x)与无轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数尤,都 有了(X)gx);(III)若关于x的方程/(x)=a(a 为 实 数)有 两 个 正 实 根 与 马，求证：1%2-%,1g(x);(2)若关于X的方程/(x)=4 有两个实数根芭，x2,求证：x2-x1 0,证明:【提分秘籍】基本规律1.可以利用“对称性”构造方程同解变形2.一些题型的证法，实质是类似于“极值点偏移”【变式演练】1.已知 f(x)=x(l n x)2+x.(1)证明：/(X)是(o,+8)上的增函数,4?(2)若/(x j+f(,)=-,且.r a x?,证明：X,+x2-.e e2.已知函数/尸它 一/.(1)讨论/(x)零点的个数；(2)设/,“为两个不相等的正数，且e*-=-=0,证明：【题型十四】综合证明：x l与x2型【典例分析】已知函数/(x)=l n X.(1)判断函数g(x)=4(x)-的单调性；X(2)若对任意的x 0,不等式/(x)3xe,恒成立，求实数”的取值范围；(3)若 占 0,求证：驾泮 其7,【变式演练】1.已知函数x)=e*,g(x)=-x2+2x-a f(x)(a eR),再，是两个任意实数且西W 马.(1)求函数Ax)的图象在X =0处的切线方程；(2)若函数g(x)在R上是增函数，求。的取值范围；(3)求证：后 产)x,都有7 n x 2,(+占)2.X 一工21 0 导数压轴大题归类：不等式证明归类(2)目录【题型一】不等式证明6：凸凹翻转型.1【题型二】不等式证明7：三角函数与导数型.4【题型三】不等式证明8：极值点偏移(不含参).6【题型四】不等式证明9：极 值 点 偏 移(含 参).9【题型五】不等式证明10：三 个“极值点”(零 点)型.12【题型六】不等式证明11：比值代换(整体代换等)型.15【题型七】不等式证明11：非对称型(零点值x l 与 x 2 系数不一致).18【题型八】不等式证明12：韦达定理型.21【题型九】不等式证明13：利用第一问构造(包括泰勒展开).23【题型十】不等式证明14：含 ex 和 In x 型.26【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明型.28【题型十二】不等式证明16：切线放缩证明“两根差”型.31【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明.34【题型十四】综合证明：x l 与 x 2综合.37【题型一】不等式证明6：凹凸翻转型【典例分析】已知/(x)=x l n x,(x)=-x2+a r-3.(1)求 函 数 的 单 调 区 间；(2)对一切x e(0,+o o),2/(x)2g(x)恒成立，求实数”的取值范围；(3)证明：对一切x e 0,+8),都有 n x -已 成立.e ex【答案】(1)函数“X)在(o,j上单调递减，在+8)上单调递增(2)(-8,4 (3)证明见解析【分析】(1)求出X)的导函数，令导函数小于0,可求得函数单调递减区间，导函数大于0,可求得函数单调递增区间：a(2)把/(x)与g(x)解析式代入已知不等式，整理后设力(x)=21n x +x +a 0),求出以x)的导函数，根据导函数的正负X判断单调性，进而求出力(X)的最小值，即可确定4 的范围；(3)所证不等式两边乘以工，左边为了(X),右 边 设 为=y 2(x e(0,+8),求出左边的最小值及右边的最大值，比e e较即可得证.(1)解：因为/(x)=x l n x,所以广(x)=ln x +l(x 0),当r(*)0 ,所 以 函 数 在(0，：)上单调递减，在 上 单 调 递 增；(2)-1解：原不等式等价丁Z h u 2-V+以一3,即被2h u +x +对一切元(0,+o o)恒成立，设力(x)=21 ru +x +(x 0),贝 l j hx)=。+3),_ 2,X x当x e(0,l)时，hx)0,力(犬)单调递增，所以=4 ,所以实数a 的取值范围为(y,4 ；x 2(3)证明：原问题等价于证明工底-7-。(。,8 0),山(1)可知F(x)=x li w(x e(O,+8)的最小值是一!，当且仅当彳=2时取到，e ex 2 1 x设 w(x)=一 一(X G(O,+c o),l/l l j mx)=,e e e当x w (0,1)时，mx)0 ,M x)单调递增，当l (l,+o o)时，加(x)=-一 成立.【提分秘籍】基本规律类型特征：(4)特殊技巧；(5)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法【变式演练】1.已知 f (x)=x ln x.(1)求函数/(x)的极值；x +(2)证明：对一切x 0,+8),都有ExN-成立.户匚 e x【答案】(1)极 小 值 为 无 极 大 值(2)证明见解析【分析】(1)求导，令/(x)=0,解得x =，分别讨论x J。,1 和 仕，+二|时，f(x)的正负，可得 X)的单调区间，即可得答X+1 X+1案.(2)问题等价于证明x i n x N _ m一4,x S(0,+o o).设g(x)=利用导数求得g(x)的单调区间和极、x+e e值，分析即可得答案.解(1)由 f(x)=x ln x,x 0,得/(x尸 l n x+1,令/(x)=0,得 x =g.当时，/(x)寸，/(x)0,./(x)单调递增.所以/*)的极小值为了 臼=，无极大值.X+1 证 明：问题等价于证明X 回+由 可知码力力回。，+8)，X设g(x)=-e_,则g，(x)=,当x e 0,一 时，g(x)0,g(x)单调递增;x+i-1 p x+i-k e)ee当xeg+8)时，g(x)成立，当且仅当=-时等号成立.Q e ee ex +1-即对一切x w(O，+O,都有I n x N _ _ 工 成立.x+i-e xx e e2.已知函数/(x)=ln x-x.(1)讨论函数g(x)=f(x)-(a O,a G R)的单调性；X(2)证明：|/(x)|+.x 2【答案】(1)答案见解析.(2)证明见解析【分析】g ,令 m(x)=-x 2+x +a=-x-g)+a+；,分别讨论,忘-；，-a 0 ,解不等式”?(x)()或m(x)0 即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性.(2)设g(x)=+：分别求f(x),g(x)利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出g(x k 0 ,g,(x)=-l+-=+-v+ax x x x x-令 7(力=-产+x +4 =-(x-；)+4 +；,当时，g(X)4 0 恒成立，此时g(X)在(0,+8)上单调递减,当-“0 可得:4 V 2j 41 -Jl+4 1 +Jl+4-x 0 时，解不等式+a+可得：上 近 且 0 x 0 时，g(x)在0,匕 半 亚 上单调递增，在，岂无，+8上单调递减，/1 1 V(2)由/(x)=ln x-x 可得 r(x)=-l=L，由/。)0 可得 0 v x l,由 f(x)l,X X所以“X)在(0,1)上单调递增，在(1，位)上单调递减，所以人 初 四=/=ln l-l=-l,所以|/(叽加=1,设g(x)=g +则 yCi.j.i n x,*2 7 片-P一%2由 g (x)0 即 l-l n x 0可得0 c x e ：由 g (x)0即 l-l n x e,所以8(力=皿+；在(0，e)上单调递增，在(e,+o o)上单调递减，所以8(力 皿=8(6)=g+；=，+；1,x z e /e z所以g W ma x 一+；对任意的(0，+8)恒成立【题 型 二】不 等 式 证 明 7：三角函数与导数不等式【典例分析】已知函数 x)=e -o r-c o s x,g(x)=/(x)-x,a e R.(1)若在。,转)上单调递增，求，的最大值；(2)当。取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在 A 上的零点个数，并证明【答案】(1)1；(2)2 个，证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，转化为导函数f(x)=e -a +s i n x 2 0 在 0,+8)上恒成立，再求导求其最小值即可；(2)利用导数分析函数在x V0,x 0上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2 个零点，再由导数求出函数的最小位,求出最小值的范围即可得证.解(1)由题意可知，/(x)=e*-a +s i n x 2 0 在 0,+8)上恒成立，因为/(x)=e*+c o s x 21+c o s x 2 0,所以/(x)单调递增，所以尸(0)=1 90,解得把 1,所以。的最大值为I.(2)易知 0=1,所以 g(x)=e*-2x-c o s x,当烂0 时，g (x)=e*-2+s i n x 4-l +s i n x 40,所以 g(x)单调递减，当 x 0 时，g (x)=e*-2+s i n x ,则g (x)=e*+c o s x W 1+c o s x W 0,所以g (x)单调递增，因为 g (0)=T 0,所以存在/e (0,1),使得 g (x 0)=0,g(x)在(7 0,与)上单调递减，在(%,+)上单调递增，又g(0)=。所以g(x 0)0,所以存在玉e(x(”2),使得g(再)=。，所以g(x)有两个零点，又因为e*-2+s i n=0,所以g(x)mi n =8(*0)=1 -2%-：0$%=2-2%-5 缶/一(:(%,因为吃 -$也$-8 5%=-/11(与+?)2-夜,故g(x)-应 成 立.【提分秘籍】基本规律1 .证明思路和普通不等式一样。2.充分利用正余弦的有界性【变式演练】1.设函数/(x)=x l n(l-x).(1)求 y =x)的极值点；(2)设函数F(x)=7+,-s i n x.证明：F(x)/(x)=l n(l-x)-p-,设g(x)=l n(l-x)-金=g (x)=(；：?,因为工(-8,1),所以g(X)x 0时，g(x)f x)0J(x)单调递减，当 x g(0)=0 n f(x)0,/(x)单调递增,因此当x =0 时，函数y =/(x)有极大值，极大值为八。)=0；x 1(2)函数尸(x)=/1亍+,-s i n x 的定义域为：(e,0)U(0,D,即 F(x)=要想证明F(x)2,只需证明 n；_v)+g 2 +s i n x,11+s mx ,I n(l-x)x构造函数(x)=-+-1=x+l n(ll n(l -x)x邛。X)，由(1)可知当x w (-8,1)时，函数y =f (x)的极大值为/(0)=0,x l n(l-x)即/(x)=%l n(l-x)0,当X (-8,O)U(O/)时，x l n(l-x)x 0时,f (x)0/(x)单调递增，即有 t(x)r(0)=0,因此此时有/2(X)0成立，当x 0 时，/(x)0)=。，因此此时有力*)0 成立，所以当(Y),0)U(0,1)时，W=7 7 T-+-1 0,即-+-1,l n(I -X)x I n(l-x)x设皿x)=2+s i n x,当(F,O)U(。)时，显然有-I Vs i n x Vl,因此有 142+s i n%W 3,即此x)N l,而所以当(F,O)U(O,1)时，不等式-+1 2 +s i n x 成立，即F(x)2成立.m(l -x)x /2.已知函数/(x)=l n x,g(x)=e*-e-，(1)若 3x e 0,l ,g(x)1(2)证明见解析.【分析】(1)把已知条件转化成/(a)大于g(x)在 0 上的最小值即可解决；(2)先求导函数，判断出函数的单调区间，图像走势，再判断函数零点，隐零点问题重在转化.解 由 g(x)=e -e-，得g (x)=e +e-，0,则g(x)在。川 上单调递增，g(x)在 0 上最小值为g(0)=e -e =0若 女 0 ，g(x)0 由 a)=l n a 0,得。1故实数。的取值范围为。1T =至=4(2)司=1 门,在6m)上单调递增，且 x)l恒成立，y =s i nfx 最小正周期/一万一牝，在(e,+o)上最小值为2 e丁2 eT 由此可知Mx)=/(x)+s i n，尤在(e,+0 即(力=1 1+由自工在(0 单调递增，./.x I .n.4 八 .f 1 ,f 1|t 1 .兀 1 n 1 .7i n/?(!I=lnl4-s i n =s i n 0,h h j=-I n；=+s i n 产=+s i n 产 +s i n 0v 7 2 e 2 e (2 J 1屁)贱 2e贱 2 2e册 2 6故M M =lnx +s i n/x 在(0,e 上有唯一零点.综上可知,冗 1 JI令 I n/+s i n x0=0,则 与 G(,1),s i n x0=-lnx0 o2 e 2 2 e/?(x)=/(x)+s i nf x 在(0,+oo)上有且只有一个零点.令篦(x)=x,x G(,1),则 (x)=1 0 即(功=x(,1)上单调递减，n(x)=x n()=2 x 2 x e x 2 2故有 ggn 罢)=J_/|【题型三】不等“式证明8：极值点偏移之不含参型【典例分析】.已知函数 x)=x lnx.(1)求曲线y =x)在点(1J)处的切线方程；7(2)设王，为两个不相等的正数，且/(5)=/()，证明：-%,+/(1-阳解(1)切点为(1,0),f(x)=lnx+l,&=/(1)=1,切线方程为y =x-l,即x-y 1=0：(2)F(x)=I nx+l,令尸(x)=0=x =1,且当0 x 1 时，/(x)，时，r(x)0,单调递增.i /a)=/(X 2)，不妨设&%,.0玉 ,&-1，而x jn尤 一七 一1，-x +x2 ,只需证明：X”-X ./0X1 .e e e e eX-.X21,当时，x)单调递增，故只需证明构造函 数 尸=x e(o，B，+2 =0,.F(XI)0=/(XI)=/(X2)/|_ _ X,|=%2 _ _X,;.-xx+x,.y e )e e【提分秘籍】基本规律1 .求 出 函 数 的 极 值 点 X。；2.构造一元差函数 F(x)=/(*。+x)-f(x0-x)；3.确定函数尸(处的单调性；4.结合F()=,判断/(处的符号，从而确定“工。+幻、/一 的大小关系【变式演练】1.已知函数/(x)=e*+cos x-a(a e /?).(1)当4 =1时，判断f(x)在区间(。,长0)上的单调性；(2)当 a =e 时,若 ,赴 e(0,l)(X|W x j =且/(x)的极值在 x =x 0 处取得，证明：x,+x,2xn.【答案】(1)Ax)在(0,+。恒成立得fx)单调递增，得 r(x)r(o)=o,从而得f(x)的单调性；(2)利用导数得出/*)的极小值点及，注意/(端)=0,题设中/(再)=/()，满足0%与 万，考虑到弓|入新函数/7(X)=X)-2X0-X),0 XX0,利用导数确定(x)是单调增函数，得力(x)/?(x 0)=0,即得/(%)0 ,x 0 时,g (x)0 恒成立,所以g(x),即f(x)在(。,内)上单调递增,又/(0)=0,所以x 0 时，尸(。)0 恒成立，所以f(x)在(0,+8)上是增函数.(2)=e,f(x)=ex+cosx-ex,/r(x)=ex-si nj c-e ,由(1)知/(x)在(0,+)上是增函数，r(l)=-si nl 0,所以/(x)在(1,兀)，即在(0,万)上存在唯一零点七,_ f(x )=e&-si nx-e =0,O x X o 时，f(x)0 ,/(x)递减，或,0,/(x)递增.%是函数，(x)的唯一极小值点.若玉,占(0,打乂工尸莅),/(%)=/()，则0 c x i c/电 力，h(x)=/(%)-f(2x0-x),Q x 2-V ex-e2 bx-si nx+si n(x -2 x0)=2 eJ -si n x+si n(x -2 x0)i l l /(X o)=e。一 si nX o-e =O 得e&=si nx0+e,所以“(x)2 2 e +2 si nx(-si nx +si n(x-2 x(),由0 x%乃，得0 41,0 sinx 2 e+0-l+(-l)0,所以(尤)是增函数，当0 占 40时，/i(Xj)/i(xo)=O,所以再)0,/(x1)/(2x0-x1),又/(%)=/(%)/(2%)，0 X,x0%,又 与，/(X)在(后,+00)上单调递增，所以当 2%-再，所以+%.2.已知函数x)=ln x-；or2 +.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当。=1时，设函数x)的两个零点为%,斗，试证明：Xj+x2 2.【答案】(1)当“40时，f(x)在(0,+8)匕单调递增；当”0时，f(x)在，乎)上单调递增，在 工，+8匕单调递减；(2)证明见解析.【分析】(1)求出导函数尸(x)=g-水，讨论a的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.(2)利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设则有()41 三,构造函数网x)=f(x)-“2-x),x e(O,l),利用导数判断出函数单调递增,从而可得/6)0恒成立，即可知“X)在(0,+8)上单调递增；当a 0时，当时，/,(x)0,当卜，/(x)0,又/(|0，/(e)0,不妨设“与，则有0 芭0,尸(x)单调递增，-.-(0,1),.F(%,)=/(x,)-/(2-xl)F(l)=0,.-./(%,)/(2-x,),又.f(xJ=/(X 2)=0,二/,2-X|l,在(1,内)上单调递减，.2-芭，即玉+2.【题型四】不等式证明9:极值点偏移之含参型【典例分析】”,1已 知 函 数 到=一 +5 1 1一1(加6町 的 两 个 零 点 为/(王 .%x2 e【答案】(1)0,y j (2)见解析【详解】/(尤)=-2+；=X?X 2,，当加4 0时，/(x)0,乙 X/(尤)在(。,+8)上单调递增，不可能有两个零点；当团0时,由r(x)0可解得X2 z,由/(x)0可解得0 x 2机，所以“X)在(0,2相)上单调递减，在(2九+8)上单调递增，所以/(无)“而=/(2?)=C+；ln 2 Ll,要使得了(%)在(0,+8)上有两个零点，则;+(ln 2m 1 0,解得0(加 一x x2 e2 2 1 即证:+，2 一，即 4 -t?一令夕(x)=+-X,下面证。(x)对任意的,即证12 j,x e(),g 亘成立,9(x)=/z(x)+-1-ln-1-lnx2x2x2=/，(x)0,则夕(x)在2o,()单 调 递 增 9 4-；e e x(3)设函数y =f(x)-o x-?a e R)的两个零点不、x2,求证：龙2【答案】(1)r F ,即可证得结论成立；e e(3)分析可得l n&z)-超 土 豆=受 土 生 In 运，证得工&lnX 2,利用基本不等式可得出山国-f=l,x,x2 x2-x,玉&VX1X2构造函数(x)=l n 尤-j,分析看可知函数e(x)在(0,+e)上为增函数，分析得出s(历 力 夕(5),结合函数夕(x)的单调性可证得结论成立.解：(1)由 g(x)0,J j l i J/z/(x)=2(l +l n x),x当0 c x 1 时，”(力0,此时函数(x)单调递增，e e所以，(d i n =0=一|，所以，.4-|；1 7 X?1 I X?(2)解:要证/(力 二-已，即证xlnx,，由(1河 知，x l n x Z，当且仅当x J时，等号成立，令m(x)=W，e e r e e e e e e其中x 0,则加(x)=号，当0 x 0,此时函数?(x)单调递增，当X 1时，机(X)2,即x)-二；e e e e e e x(3)解：由题知l n x,-=g，In x,-=ax20,+得In(中?)一土土山=”(玉+多)，X X?一得I n上 +*=4(占).+得M x m)-一+)=%+In上,不妨设0 玉 l.令尸=l n f-n二则尸 -厂 工 =上2T0,芭 f+1 t（r+1）（+1）所以尸在（1,田）上单调递增，所以尸。）尸（1）=0,则In f亚 沙，即In迤 2（f）,f+1%+%2所以北（百 工2）一 三）=X +*2 l n 2 .因为 111&口2）_ 斗+）2,即 In J%/-J%2 7 1 O7=1.令9（x）=l n x-,?,（x）=-+0,则9 在（0,+8）上单调递增.，玉 工2 X X X又In（缶）=-l n 2 +l-n y le-2-i 即 e）,所以须2 02）包 2 e2.已知函数/。)=卜一。|一 +a,a R.（1）若f （1）=2,求的值;x(2)若存在两个不相等的正实数.看，满足/(%)=/&2)，证明:X.2-2%+2。：x【答案】(1)2：(2)证明过程见解析.【分析】(1)代入/(1)=2即可求出的值：(2)分情况讨论，得到xa时满足题意，根据函数单调性，不妨设0X,KX2 ,构造差函数，证明极值点偏移问题；在第一问的基础上进行放缩即可证明.解(1)由/=|1一。|-1 +。=2,化简得：|l-|=3-a,两边平方，解得：4 =2.(2)不妨令王 a时，x)=x-a-g +a=x-T在(0,+8)上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数芭也，满足/(%)=/(尤2)，舍去；当x=a时，幻=。一!为定值，不合题意；a当x l时，函数在(M)上单调递增，在(1,a)上单调递减，在(a*)上单调递增，且)=2 a-(a+升a-J即分段函数在x=a处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数不石，满足王)=/。2),则为,马有三种类型，第一种：0 1 5 4,显然演+工2 -2 +x(2-x)-2+-(-=2=vjr =0 ,即 6,(x、)在xe(,O,l、)单调递增，所以力(=0,即f(x)/(2 -x),由于所以又因为/(4)=/氏)，所以/(引 1,2-%1,而 x)在(1,+co)上单调递减，所以 2-%,即%+*2 2,综上：2x+x22a .第二种情况：0 1 为。2,接下来证明用+0,即g(x)=/(x)f(2 a-x)在xe(l,a)单调递增，所以g(x)=f(x)-f(2 a-x)vg(a)=0,又 所以/&)“，2-x,a,/(x)在(a,+0 0)上单调递增，所以*2 2“一看，即 x,+X 2 2 a,综上：2 x,+x22a；第三种情况：0%1“2,由第二种情况可知：+x22a ,则2%+X 2 2 a,综上：2x,+x2 2 a,证毕.由可知：当0%时，由f()=f(X 2)得：2a-+|=2 a-l x2+I,整理得:*=H即%X l +x?1 +才 1 0=H 7 1 +矿；X j 1 +玉 1 +玉1当0 玉 4%时，x-,-=2a-x,+-,整理得：+x2=2a +-整理得:x2XJ强=_写 _中 2 +2%+=心+上当+_2)V +(X _ 2”,因为0 a,所以+(再 2 另一+小%I 2 J 4 4 4综上:2+1,证毕.为【题型五】不等式证明10：三 个“极值点(零点)”不等式【典例分析】已知函数/(x)=axtvc+*在(e,e)处的切线方程为2x-y-e=0.(1)求函数“X)的解析式；(2)当。(机 时，若函数G(x)=W的3 个极值点分别为,x2,x(xt x2x3),求证：0 2 占%1*3.2 八x)【答案】(1)f(x)=xnx(2)证明见解析【分析】(1)由切线方程及导数的几何意义，得 岫=r(e)=2 a=2,解得a,把点(e,e)代入曲线方程，解得3 进而可得函数f(x)的解析式；(2)由(1)可得G(x)的解析式，对G Q)求导，分析G(x)的单调性，极值，推出函数G(x)的 3个极值点中，有一个为2 m,有一个小于根，有一个大于1,进而得出答案.解：(1 )1 )由 2 x-y-e =0,可得 k 切=2,fx)=a x-+a nx=a +a nx,所 以%=/(e)=a+al n e =2 a,x所以2 a=2,解得4 =1,又因为(e,e)在曲线上，所以e =e l n e +,解得A=0,所以函数/(x)的解析式为：/(x)=xl ar;(2)证明：G(x)=x(x-2m)2 _ x(x-2ni)2 _(x-2m)2f(x)一 一x麻lnx nx G(x)2(x-2tn)nx-(x-2m)2(x-2(21ILY-2m)x=x(inx)2(Inx)2h(x)=2 1 n v-(x-2m)=2 1 n x+-1,hx)=-，U,当 0 c x e m 时，(x)0 ,xxx所以(X)在(0,M 上单调递减，在(肛+8)上单调递增，所以人).=(=2 1 W%+1,因为函数在劝有 3 个极值点,所以2nm+I 0 ,所以 机 -所以当|0 机 1 时，X h(m)=2nm+1 1 +2 1 n =1 -l n 4 0 ,yle2 2/z (1)=2/-1 0 ,从而函数G(x)的3个极值点中，有一个为2加，有一个小于m,有一个大于1,又占 *3，所以0 4 I,即0 玉 +，X j =2 m 1 x3,故 0 2不 1 4.【答案】(1)1；证明见解析.【分析】(1)由导数的几何意义，知尸(0)=-6,即可求出机的值；(2)由题意f (x)=3(x-2乂襁乂/x有3个不同的零点，则有两个异于2的不等实根，令g(x)=me -x,结合导数研究g(x)的零点分布情况即可求机的取值范曲应用分析法：要 证%+%+%4仅需证办 2,而不，&是z n e*x=0的 两 个 实 根 有=专，令=,9,x,=-y,只需证 加；+电 2,t e(0,1)e e2 X t-1-t-r-1 t-上恒成立即可.【详解】(1)对 x)求导，得尸(X)=3 *(X-2)-3X2+6X,依题意，/(0)=-6%=-6,解得机=1.(2)依题意，xe(-o o,-K),r(x)=3(x-2)(me -x),令f x=0,得尤=2或me*-x=0,要 使 尸x=0有三个不等实根，需使机e,-x=0有两个异于2的不等实根，不妨设占 W，=2,令g(x)=s/-x,则 gx)=mex,当初4 0时，g x 0时，令g x=0,得x=-l n m,.当xe(-o o,一如m)时,gf x 0,故g(%)在(,T n加)上单调递减,在(一山九田)上单调递增，要使，旭，-x=0有两个异丁-2的不等实根，须使gGL=g(T n m)=l +l n/O,即0 机0,g(=tne-0,m.由函数零点存在定理知g(x)有两个零点，即又g(2)w0有m w/,二实数机的取值范围是要证不+三4,只需证 2.是me*-x=O的两个实根，且,3 =，即 工=e、f,有1 1 1五=网-工2.e e-X 2令&=f,f e(O,l),则与=皿，=皿，/e(O,l),.要证式成立，只需证网当 2，(，1)，即证工2 /1 /1 Z 1 Z 1，(0).令力=/e(O,l),则/(。=1;0 在 0,1 上恒成立,r+1 r+1 r(r+l).网)在 0,1 上单调递增，有硝)=0,.In 一 2(1)4 得证.t+2.已知函数f