2021年高考数学考点22正弦定理和余弦定理的应用必刷题文【含答案】.pdf

考点2 2正弦定理和余弦定理的应用1 .在 4 B C 中，（方 C +瓦 4）元=|总产，则 AB C 的形状一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形D【解析】因为（市+瓦 T）.就=（前+而）函-0）=前二-前二=|下T,所以a=-/=广，即 ABC是直角三角形，选D.2 .我国古代著名的数学家刘徽著有 海岛算经.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐,高三丈，前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1 0 0 0 步，令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行1 2 3 步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行1 2 7 步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5 步）.则海岛高度为（）A.1 0 5 5 步 B.1 2 5 5 步 C.1 5 5 0 步 D.2 2 5 5 步B55 _ 1 2 3x 1 2 3 4-y1 2 7如图，设岛高x 步，与前标杆相距V 步，则有J 1 2 7+1 0 0 0 +y 解得x =1 2 5 5 步，即海岛高度为1 2 5 5 步,故选B.asinA3.已知锐角A/B C 的三个内角4 B,C 的 对 边 分 别 为 若 B =2 A,则 丁 的 值 范 围 是（）D【解析】.B=24,.sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,.a _ 2 b 2cosA.asin4 sin 4 1.4.=-=-tanA.b 2 C O SA 2.NBBC是锐角三角形，C 0 A z：.0 B=24 7，解 得 汴 A%I 1b 4(0 C=-3/4 7 ta?44 1,36 2 2即 色 詈 的 值 范 围 是.U b a.4.如图所示，设4 B两点在河的两岸，一测量者在4所在的同侧河岸边选定一点C,测出4c的距离为50m,乙 4cB=45,N&4B=105后，就可以计算出4 B两点的距离为（），伸2 5#A.50y/2m B.50Gm Q 25yf2m D.2A【解析】在AABC 中，AC=5 0 m,Z AC B=4 5,Z C.AB=1 0 5,即/AB C=3 0 ,则 由 正 弦 定 理 土ACsinABC得.上 照 着=苧=50、m故答案为：A.5.位 于4处的雷达观测站，发现其北偏东4 5 ,与4相距2 0&海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，2 0分钟后测得该船只位于观测站A北偏东4 5 +6(0 0 /2)=-2 x 1 0&x 2 0 V 2 x ：=3 6 0 .B C =6 10,t =2 0分钟=小网v =y=1 8 y T 0.6.风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量 P，Q 两棵树和A,P 两棵树之间的距离，现可测得A,B 两点间的距离为100 m,N PAB=7 5,N QAB=45,ZPBA=6 0,ZQBA=9 0,如图所示.则P,Q 两棵树和A,P 两棵树之间的距离各为多少？50的PAB 中，ZAPB=18 0-(7 5+6 0)=45,AP 100由正弦定理得 sin60=sin45=AP=50*.QAB 中，/ABQ=9 0,.,.AQ=100/，ZPAQ=7 5-45=30,由余弦定理得 PCP=(5 0 m/+(100m)22X5(y X iQO x/ScosSO0=5000,.,.PQ=/5O00=5O&因此，P,Q两棵树之间的距离为50m m,A,P两棵树之间的距离为50mm.7.设A/BC的内角4B,C所对的边分别是a,4c,且c cost:是a cosB与b cos/的等差中项.(I)求角c；(I I)设c=2,求AABC周长的最大值.(1)6 0 ；(2)6.【解析】(1)法 一:由 题，acosB+bcosH =2ccosC,由正弦定理，sin 4cos5+sin Bcos4=2sin CcosC,即sin(R+B)=2sin CcosC,解得cost?=所以C=6 0.法二：由题，由余弦定理得：ocos5+bcosA=+丁+一+丁-=c=2ccosC,解得cost?=;，所以C=p(2)法一：由余弦定理及基本不等式，c =4=a +&*-n&=(a+&)*3ab (n +b)3(-7-)=女1,得a+b W 4,当且仅当a=b=2时等号成立，故 ABC周长a+b+，的最大值为6.法二：由正弦定理，念=高=点=4，故周长 a+b+c=今(siiM+sin B)+2=手siiM+sin(4+6 0)+2=?(7 sin R+W cos4)+2=4sin(4+300)+2 A c (0.120。)，.当1=60的，周长a+b+c的最大值为 6.法三：如图，延长BC至D使得CD=A C,则4CAD=LADC=30%于是，在4 4 8。中，由正弦定理:BD _ 工 Esinz.S4D s ik 4 D b 即缶T嬴=4,故周长 a+b+c=4sin(z4+30*)+2,月(020。)，当4=60。时,周 长 Q +b+c的最大值为68.如图，ZiABC是等边三角形，D 是 BC边上的动点(含端点)，记N B A D=a,ZADC=P.B(1)求2cosa-cos/?的最大值;八 1cosp=-(2)若 BD=1,7,求A A B D 的面积.n 2_；3 当。=6,即为花中点时，原式取最大值“3；(2)3 .7T(1)由A A B C 是等边三角形，得 B=a+3,7T/7T f W0 W a 3,故 2cosacos6=2cosacosl 3/=A/sin 3,n故 当 a=%,即 D 为 BC 中点时，原式取最大值G1空(2)由 cos B=7 ,得 sin B=7 ,上)F%故 sin a=sin J=sin P coscos B sin 3=14,A B _ B D由正弦定理s也乙408 sinZ-B A Dt473sin。3J3 8 1 1 8 J3 2J3；-X-X 1 X=-故 AB=sma BD=14 x 1 =3,故$&；D=2人 1 5 BD sin B=2 39.已知A4BC中，角4B,C所对的边分另ij为a,瓦咀acos2c+2ccos4cosC+a+b=0(1)求角C的大小；(2)若b=4sinB,求A4BC积的最大值。120；(2)G【解析】(1)v acos2C+2ccosAcosC+a+b=0.:.2acos:C 4-2ccosAcosC+b=0 白正弦定理 得 2sinAcos2C-F 2sinCcosAcosC+sinB=02cosCsin(A+C)+sinB=0,即 2cosCsinB+sinB=0v 00 B 3ab ab 4.(当且仅当a=b 时等号成立/A S-c =：absinC=a b J3S ac-tanB10.A/BC的内角4,邑 C所对的边分别为a,b,c,且A4BC的面积 4.(1)求B；3(2)若Q、b、c成等差数列，AABC的面积为2,求b.7 T后=4+2微【解析】(1)S=tacsinB =-actan B,2 4.7 sin B=即cosH =兰,V O Bn,，B=.6 2),、b、c成等差数列，.2b=a+c,两边同时平方得：nz+c2=4b*2ac,又 由(1)可知：B =-,.5=acsin B=ac=,ac=6,a2+c2=462-12,由余弦定理得，cosB=上萨=加 丁=9=号，解 二=4+2 a：.b=1+叔11.在A 4 8c 中，是 8c 边的中线，ZB2+N C2+/6xZ C =8 C2,且 乙48c 的面积为百 求 NA 4 c 的大小及A B AC的值；若/8 =4,求 的 长.27 r(1)Z B A C =,-2.3(2)AD=叵.2(1 港&必。中，由.4B2+AC1+x AC=BC?可得一0+一心-叱2x.BxX。12/r-=cos 乙%IC.故 ABAC=2 3i i 2/r因为 S L BC=SX AC sin AC=-ABx ACsin 三=2 2 3所以xX Cx走=也.解得.4BXAC=42 2所以近於=|国x国 x cos =4 x3(2)由一必=4,JB x/C =4得 AC=L在A13C中,出余弦定理得BC2=.4B2+AC2+2 一Iffx KCrosNATC 得 BC=后,由正弦定理sin Z.45C得 shiABC=JCsinZBJCBC,/0 NABC =90-/?=15,N C8Z =4-。=45。，Z 5Z)C=12 0.si n 45 r由正弦定理得C D =-5 C =2 4-8V 3.si n l2 014.在A 4BC中，内角4,B,C所对的边分别是内b,c,已知2 c c o sB=2 a-b(I )求 G(I I )当c =3时，求a+b的取值范围.71(1)3；(【)(3 同t解析】分析：(D方法一，可用正弦定理将条件2 rc o sB=2 a-b边 化 角 得2 si n Cc o sB=2 si n/1-si n B,由式子左边si n Cc o sB及两角和的正弦公式和诱导公式可将si n A变为si n(B+C),得2 si n C-c o sB=2 si n(5+C)-si n B。利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 变 形 为2 si n C 8sB=2 si n B-c o sC+2 c o sB-si n C-si n B,变 形 得2 si n S -c o sC=si n B,由si n B H 0,可得c o sC=由0 C 进 而 得 a +b =2、e(si i vl+si n B)因为/4 +3=7-9=三 所 以sinB=si n(手-4)=si n p r (7+4)=si n(，+4)。所以 a +b =2 v”(si i b 4+si n B)=2 事 si n/1+si n(A+7)再利用两角和的正弦公式与辅助角公式可得a +b =2 V 5(sh b 4+si n S)=2 (3 si n/l+si n(4+7)=2、esi n yl+兰 c o s/)=6si n(4+?)由4 6(0弓)，可得力+注 色 后)，利用正弦函数的图像与性质可得范围a +b 6(3,6.详解：(1)由正弦定理可得:2 si n Cc o sB=2 si n 4-si n B,又4=n -(B+。)，所以2 si n C-c o sB=2 sh i(8+以-si n S =2 si n B-c o sC+2 c o s8-si n C-si n B,：2 si n S -c o sC=sinB,:sinB h 0,所以c o sC=p因为0 C 7 T,所以C=(n)由正弦定理：=.得:n 2 y13si n/4,b =2 v13si n BS l l l A S 1H 5 S l U b O*所以a +b =2、后(si i M +si n S)=2 3 si n/1+si n(4+7)=2 V 3(7 si m 4+c o s?4 =6si n (j+),因为，(孑)，二月+江 仁 晋)，所以a +b e(3.6.2c 115.已知A 4BC的内角4B,C的对边分别为a,瓦c,若a c o sB+b c o s力cosC,c=4(I )求 G(ID当A/BC的面积取最大值时，求b的值.n(1)C-3；(2)6=4【解析】(I)因为(acosb+bcosA)=2ccosC,由正弦定理可得(sinRcosB 4-sinScos.4)=2sinCcosC,即sin(4+B)=2shic8sg sinC=2sinCcosC又sinC工0,即可得cosC=故C=723(n)依题意，/ABC的面积S=absinC=亍 血 故 只 需 最 大 即可；由余弦定理c二=a2+b:-2abeosC,即 16=a：+炉 ab,结合基本不等式可得ab 1 6,当且仅当a=b=4时取等号，所 以 当 的 面 积 取 最 大 值 时，&=4.C=ADB=-1 6.在4BC中，AB=2小,%,点。在4c边上，且 3.(1)若B D=4,求 tcmUBC；(2)若4。=V3 8 C,求4BC的周长.5 G(1)-三；(2)8+2邓+2.兀乙DBC=-厂解法一：由题意可得 6,则BD=C。结合余弦定理有8c=G C。(1)在aADB中，由余弦定理4B2=4D2 +BD2-24D-BDCOS D B,解方程可得4。=5J7 84_ _sin乙ABC=-COS/LABC=-在ABC中，由正弦定理可得 1 4,结合大边对大角可得 14,6,所以4c=10,5/3tanABC=-则 3(2)设CD=x,贝 ijBC=6,从而月D=3x,AC=4 x.在AABC中，由余弦定理得解方程可得x=2.故4BC 周长为 8+2 G +2 a.解法二：如图，已知乙4DB=5 所以4D B C=3 WJSD=CD.在ABCD中，根据余弦定理，BC:=BD2+CDZ-2BD-CDcos 120,所以BC=事CD.(1)在 D B 中,由余弦定理有AB=ADZ+BD:-2A D -BDcosADB,解方程可得力D=6,再次利用余弦定理可得cosBD=二，则sinUBD=.故=3,tanABC=ta n(B D +-)=-y,-3.14 14 1 6/3 LADB=6 0)故B C =ABD+乙 DBC -+-=7,3 6*.所以COSZJIBC=-V1-sin2ABC=一4，14所以=-缗(2)设CD=x,贝帖C=x,从而=V3BC=3x,故月 C=4D+DC=4x.在Ay4BC中，由余弦定理得AB：=BC二 +月 C二一2BCTCcos3(T,因为月B=2V7,所以28=(V3x)2+(4x)=-2、/”?,解得x=2.所以月D=6.故ARBC周长为8+2、疗+2V7.解法二：如图，已知 D B =J,z C=-,所以4D B C=%则BD=CD.在ABCD中，根据余弦定理,BCZ=BDZ+CDZ-2BD-CDcos 120所以BC=靠CD.(1)在A4DB中，AB=2V7,BD=4,D B =；,由余弦定理IB，=AD2+BD2-2A D -BDCOSLADB,所以28=AD：+1 6-4/1 D,解得AD=6,AB2+BD2-AD2 jcosABD=-=由余弦定理 2Z1F.AD 14,i-5-3J2l又因为 呐(。，所以=节;所以Q?I乙 4BD=3邪,tanZ-A B C =tanA B D+，所以3 广召tanA B D+y 3/3+y-1-tanzA B D 1-忑y (387)一7TZ.A B C =-17.若满足 6,4C=3,30=小 的4醺。有两个，则实数m的取值范围为(3,6)【解 析】,/Z.4BC=p AC=3,BC=t,二 由 正 弦 定 理 得:=-B-C-nsin4sinA=：,.(K Z A sin4e(1,1.若；=1=t=6,只有一解;若Mg l,即3Vm 6时，三角形就有两解;b综 上，m的范围为(3,6).故 答 案 为：3Vm则 c o s B=J4a 42 0.如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为 尺.4.55如图，已知4B+4C=20（尺），BC=6（尺），AB2-AC2=BC2=36,（AB+ACAB-AQ=3 6,解得4B-AC=1.8,（AB+AC=20 MB=10.9因此 WB-AC=1.8,解得 AC=9.1,故折断后的竹干高为尺.2 1.设锐角A4BC三个内角4、B、C所对的边分别为a、瓦 c,若#(acosB+bcosA)=2csinC=1,贝 ijc的取值范围为.【解析】分 析：由题意得c=，然后根据正弦定理得，=暇=修，结合Z L 4BC为锐角三角形可得三 B *于是可得c 的取值范围.D 一详解：由 v S c o sB+&c o s/4)=2 c si n。及余弦定理得、月(a *+二+b b+c,a)=2 c sm c,:a c 2bc.y/3c=2 c m 0,.si n C=?.又4月 BC为锐角三角形，由正弦定理得三二bsin bsinC _sins 2sinS由0 B 70 -B 工得 B 51-sinB X又,：UNB+-INC=开,AcosUNB=-cosANC,即 空 二=一 空 土，解得x=书（舍负），可得=3、；2,故答案为3、区M*M*X 1 1 X M24.四 边 形 中，AB=j2,BC=CD=DA=,设 A4 8。、M C D 的面积分别为 S2,则当S：+522取最大值时，BD=.V 1 0F设 BD=b,S：+S；=(；x l x&si M)+(g x l x l si n C)=-f|c os2?l +c os2c l =-2f，4+1 33 I 2 J 2 止 人2 5 八 V T o.H 曰一/古A/W-，当b =-,b=时,取得取大值，故填4 1 6 2 2 2A2 5.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章卷 五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段,有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.4062.5