2021年微积分初步形成性考核册题解秋.pdf

微积分初步形成性考核作业题解作 业(-)-函数，极限和持续一、填空题(每小题2 分，共 20分)1.函 数-X)二 -1定义域是_.l n(x-2)答案：2,3)U (3,+o o)提示：对 于 一1,规定分母不能为0,即l n(x 2)声0,也就是XO3：l n(x-2)对于l n(x 2),规定-2 0,即x 2；因此函数/(x)=-一1一 定 义 域 是 2,3)U (3,+8)l n(x-2)2 .函数定义域是.0,即x -2；对于“一 炉，规定4 X2N O,即XW2且XN-2；因此函数/(x)=-1+定义域是(-2-DU (-1,2 l n(x+2)4 .函数/(X-1)=X2-2X+7,则/(x)=.答案：X2+6提示：由于/(X1)=X22X+7=(X 1)2+6,因此/(X)=/+6x+2 x x0.r x0.18 .l i m xs i n =_.*T8 x答案：1.1I s i n提示：XT8 X L o 1XX八 .s i n 4 x-n l.9.右l i m-=2,则上=_.s i n kx答案：2s i n 4 x+曰 一 s i n 4 x.4%4 x、4 小 田山丁。提小：由于l i m-=l i m(音 )=2,因此=2z o s i n Z c x i o smkx kx kkx1 0.若l i m也s i n 竺3x=2,则我二_.x-。kx答案：1.5s i n 3x提示：由于l i m理 卫=l i m 3X=3 =2,因此左=1.5“f kx 10 kx k二、单项选取题(每小题2分，共2 4分)-J e1 .设函数y =-，则该函数是().A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数答案：B提示：奇函数是指/(x)=/(x),关于坐标原点对称；偶函数是指/(x)=/(x),关于x轴对e-(r)+ex+ex e7x+ev称。题中/(一 无)=&2=/(X)，因此函数丁=J y5-是偶函数。2 .设函数y u i s i n x,则该函数是().A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数答案：A提示：由于/(-x)=(-x)?s i n(-x)=(-s i n x)=i s i n x=_/(x),因此 y =/s i n x是奇函数。2V+2 r3.函数/(x)=x-图形是关于()对称.A.y-x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点答案：D2 T+2)提示：由于/(一%)=x-=-X2-x+2X T+2 T-=-/(%),是奇函数，因此/(%)=x-图形是关于坐标原点对称4 .下列函数中为奇函数是(无).A.xs i n x B.I n x C.l n(x+V 1 +x2)D.x+x2提示：A./(x)=xs i n(-x)=-x(s i n x)=xs i n x,即xs i n x是偶函数；B.I n光图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；C.I n O c +Jl +Y)图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；D.f(-x)=-x+(-x)2=-x +x2,既非奇函数，也非偶函数。因此本题没有一种待选答案是奇函数5.函数y =一+l n(x+5)定义域为().x+4A.x 5 B.x hT C.X-5且X/0 D.X 5且答案：D提示：对于 一，规定分母不能为0 ,即x hY；对于l n(x+5),规定x+5 0,即x 5。x+4因此函数y =-+l n(x+5)定义域为x -5且x。Tx+46.函 数/(x)=-定义域是().I n(x-l)A.(l,+o o)B.(0,1)u(l,+)C.(0,2)U(2,+o o)D.(1,2)u(2,+o o)答案：D提示：对 于 一,一，规定分母不能为0,即x/2；对于l n(x1),规定-1 0,即x L因l n(x-1)此函数/(X)=-定义域是(1,2)u(2,+0 0)I n(x-l)7 .设/(元+1)=/一 1,则/(%)=()A.x(x+l)B.x2C.x(x 2)D.(x+2)(x 1)答案：C提示：注意 X 比(x+D 少 1,因此 f(x)=(x-l)2-l =(x2-2 x+l)l =x(x2)8 .下列各函数对中，()中两个函数相等.A.f(x)=(V x)2,g(x)=x B.f(x)=yx,g(x)=x C.f(x)=I n x2,g(x)=2 1 n x D./(x)=I n x3,g(x)=31 n x答案：D提示：两个函数相等，必要是相应规则相似，定义域相似。上述答案中，A定义域不同；B相应规则不同；C定义域不同；D相应规则相似，定义域相似9.当X -0时，下列变量中为无穷小量是().答案：C提示：以0为极限变量称为无穷小量。上述答案中，当X -0时.，A趋向8；B极限为1；C极限为0；D趋向8。r2 4-1 X H 01 0 .当=()时，函数/(x)=1 ，在x=0处持续.k,x=0A.0 B.1 C.2 D.-1答案：B提示：当 l i m .f(x)=/(xo)时，称函数/(x)在X。持续。由于 l i m/(x)=l i m(x2+l)=lX T与 A-0 X f 0 x2 4-1 x w 0=/(0)=k,因此当 =1时，函数/(x)=1 ,在x=0处持续k,x=0e*+2 x w 01 1.当 攵=()时，函数/(x)=与 x-0 x f 0/+2 x w 0=/(。)=&，因此当k =3时,函 数/(x)=0 x Xf0 4x作业(-)-导数、微分及应用一、填空题(每小题2分，共2()分)1.曲线/(x)=+l在(1,2)点斜率是.答案：一2提 示：若 已 知 曲 线 方 程=/(X),则 它 在 任 一 点X处 斜 率 为A=f x)。题中/(x)=(+l)=；,将 x=l代入上式，得尸(x)=,2Vx 22.曲线/(x)=e在(0,1)点切线方程是.答案：y-x =1提示:若己知曲线方程y=/(x),则它在任一点x处斜率为k=/(%)。若给定曲线上一点(%,%)，则通过该点切线方程为 上 二 过=后.题中尸(x)=()=,将 x=0代入上式，得&=fx)=e =,因此通过点(0,1)切线方程为 工 二=1,即 y x=lX_23.曲线y=x 在点(1 J)处切线方程是答案：2y+x=3提示:若已知曲线方程y=/(x),则它在任一点x 处斜率为女=/(X)。若给定曲线上一点(%，%)，则 通 过 该 点 切 线 方 程 为 匕生=%。题 中/(x)=(5)，=5,将 =1 代 入 上 式，得x-x0 2k=fx)=-,因此通过点(0,1)切线方程为上二1 =4，即2y+x=32x-1 24.(2分=.答案:24 In 22 yx提示：依照复合函数求导法则计算。(2 4)=2 ln 2(4)=2 6 1 n 2 l2vx261n 22 yx5.若 y=x(x-1)。-2)。一3),则 y(0)=答案：一6提示：依照有限各种函数乘积求导法则(见P45),yf=x(x-l)(x 2)(x-3)+x(x l)(x 2)(x 3)+x(x l)(x-2)(x 3)+x(x 1)(尤一2)(%3)yf (x 1)(%2)(x 3)+x(x-2)(x 3)+x(x l)(x 3)+x(x l)(x 2)了(0)=(-1)(-2)(-3)=-66.已知 f(x)=x3+3,则 f(3)=.答案：27(1+In 3)提示：/(x)=(/)，+(3、)，=3/+3 In 3/(3)=3X32+3,In 3=27(1+In3)7 .已知/(x)=I n x ,贝(J/(x)=.答案：-x提示：/(x)=(l n x)=L /()=(与=3X X X8 .若/1(x)=xe r,则尸(0)=.答案：一29 .函数y =3(x l)2 单调增长区间是.答案：(l,+o o)1 0 .函数/(x)=a?+i 在区间(0,+8)内单调增长，则。应满足.答案：提示；当/(幻 0时，函数/(幻 单 调 增长。题中，f(x)=(ax2+1)=2 a x 0 ,因此函数f(x)=ax1+1 在区间(0,+8)内单调增长，。应满足a 0。二、单项选取题(每小题2 分，共 24分)1 .函 数 y =(x +l)2 在区间(2,2)是()A.单调增长 B.单调减少 C.先增后减 D.先减后增答案：D提示：当/(x)0 时，函 数/(x)单调增长 当/(x)0 时，函数/(x)单调减少。题中，y =2(x +l),令 y =0,得驻点x =-l。当一 2x-l时，/0,函数单调减少；当一 lx0,函数单调增长。因此函数y =(x +l)2 在区间(一 2,2)是先减后增。2 .满足方程/(x)=0点一定是函数y =/(x)().A.极值点 B.最值点 C.驻点 D.间断点答案：C提示：使/(x)=0点，成为函数/(x)驻 点(P 6 9 定理3.2)3 .若 f(x)=e T c o s x,则尸(0)=().A.2B.1C.D.-2答案：c提示：/r(x)=(e-x)cosx+ex(cos x)f=-ex cosx-ex sin 无ff(0)=-eQ cosO-e sinO=-lx 1-1x0=-l4.设y=lg 2 x,则d y=().1 1 InlO,1A.dr B.-dr C.-dr D.-d r2x xlnlO x x答案：B提示：yf=-(2x=-2=-2xln 10 2xln 10 xln 105.设y=/(x)是可微函数，则4f(cos2x)=().A.2/z(cos2x)dx B.，(cos2x)sin2xd2xC.2/r(cos2x)sin2xdx D.-/z(cos2x)sin2xd2x答案：d提示：/(cos2x)r=/(cos2x)(cos2x)=/(cos2x)(-sin 2x)(2%)=-/z(c os2x)(sin 2x)2df(cos2x)=-/(cos2X)(sin2x)2公=-f(cos2x)(-in2x)d2x6.曲 线y=e2，+l在 工=2处切线斜 率 是().A.e4 B.e2 C.2e4 D.2答案：C提示：若已知曲线方程y=/(x),则它在任一点x处斜率为后=/(x)。:(x)=(/*)2”(2x)=2e2 x，将x=2代入上式得尸 =2e2x2=2e47.若/(X)=XCOSX,则 f,r(x)=().A.cosx+xsinx B.cosx-xsinxC.-2sinx-xcosx D.2sinx+xcosx答案：C提示：/(x)=(xcosx)=xzcosx+x(cosx)r=cosx xsinx/(x)=(co sx)-(x sin x)=sin x-(x sin x)x(sin x)r=sin x-sin x-x co s=-2 sin x x co sx8 .若/(x hsin x +l,其中。是常数，则/(x)=().9A.co sx+?a B.sin x +6 a C.sin x D.co sx答案：C提示：f(x)=(sin x)z+(a3)=co sx,/(x)=(co sx)=-sin x9 .下列结论中()不对的.A./(x)在x=x()处持续，则一定在殉处可微.B./)在x =x()处不持续，则一定在与 处不可导.C.可导函数极值点一定发生在其驻点上.D.若/0)在他，句内恒有/(幻0,则在 小切内函数是单调下降.答案：C提示：极大值也许出当前：驻点(驻点 是/(x)=0点)；/(x)持续但导数不存在点。1 0.若函数/(x)在点x o处可导，则(A.函数/(x)在点x o处有定义C.函数/(x)在点向处持续)是错误.B.l im /(x)=4,但AK/(x0)XfXoD.函数/(x)在点X0处可微答案：B提示：若函数/(x)在点X。可导,则它在点与 一定 持 续(P 8 3定 理2.5)。*/(x)=A，但rf%A丰f(x0)即/(%)在点x0不持续。1 1 .下列函数在指定区间(,”)上单调减 少 是().A.sin x B.e 1 C.x2 D.3 -x答案：B提示：D是周期函数；B是单调增函数；C是偶函数，先减后增；D是单调减函数1 2 .下列结论对的有().A.刈是/(x)极值点，且/(油)存在，则 必 有:(刈)=0B.x o是/(x)极值点，则x o必是f(x)驻点C.若/(x o)=0,则x o必是/(x)极值点D.使/(X)不存在点x o,一定是“X)极值点答案：A提示：A对的；B不对的，由于驻点不一定是极值点；C不对的，/(犹)=0就是驻点，驻点不一定是极值点；D不对的，由于极大值也许出当前：驻点和/(X)持续但导数不存在点。三、解 答 题(每小题7分，共5 6分)1.设y =3%+2，求y.2 x+35、3x+2、(3+2)X&5)x 6 3 父+(2 3状+3R x 第 2(3y=)-T=S)2 x+3 (1+记 2 3)x 222.设 y =co s 6+2,求 y.解 y=(co syx+2 )、=(co s&)、+(2 )、=-sin Vx (Vx)v+2A I n 2 =-sin G +2A-I n 22 y/x3 .设丁=6 +5 1 1 1 2元，求 dy.解 y=(e*+sin 2 x)=e -()+co s 2 x-(2 x)v=v +2 co s 2 xx x4.设y =%6+l n co sx,求 dy.解 yf-(%Vx)r+(I n c o x)r=-yx-S2 c o s c5 .设丁=足(工2+1)+1 ,求有y、解y=sin(x2+1)+r-sin(九,=co s(x2+1).(x2+1)、+(1)+(1)()X_&+(i .i=2 x-co s(x2+1)+-=2 x co s(x2+1)j=+(l-x)-x 2X y/x 26 .设y =y(x)是由方程，+y 2 一孙=4拟定隐函数，求.解对方程两边求导，得2 x +2-(y +xyr)=0(2 y-x)yf=y-2 xdy=2 dx2 y-x7.设丁=y(x)是由方程e+x e，y+汇2 =4拟定隐函数，求dy.解对方程两边求导，得ex+(ey+x evy)+2 x =0 xeyyf=-(ex+2 光)fy=-ex+2 xxeydy=ex+2 x-axxey8.设y=y(x)是由方程co s(x +y)+e =1拟定隐函数,求dy.解对方程两边求导，得-sin(x+y)(l +y)+ey =0ey-sin(x+=sin(x+y)，sin(x+y)y -：ey-sin(x+y)dy =s in(x+y)dxe-sin(x+y)作业(三)-不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题2 分，共 20分)1.若/(X)一种原函数为In/,贝Ij/(x)=。2答案：、L(c为任意常数)x提示：参见教材P90,依照定义4.1,若/(x)=/(x),则称尸()为/(x)原函数，依照题意，对In 1 1 2求导成果就是 f(x),即/(X)=(In，)，=F (/y =2x=_X X X2 .若/(x)一种原函数为x e-2*,贝ij/(x)=o答案：1 +22*提示:参见教材P90,依照定义4.1,若 尸(x)=/(%),则称F(x)为f(x)原函数，依照题意，对x-e-2*求导成果就是/(x),即/(x)=(x-e-2)=l +2e-2，因此尸(x)=T e a3.若Jf(x)dx=xe+c,则/(x)=.答案：e+x/提示：/(x)=(xex+c)f=ex+xex验算：j (ex+xe)dx=j exdx+j xexdx=ex+xex-j exdx=ex+xex-ex+c=xex+c4.若J/(x)dr =s i n 2x+c，则/(%).答案：2co s x提示：/(x)=(s i n 2x+c)=2co s 2x验算：J2co s 2x办：=j co s 2xd(2x)=s i n 2x+c5 .若J/(x)dx=xl n x+c，则/(%)=-1答案：一x提示：/(x)=(xl n x+c)=l n x+x =l n x+lx/,(x)=(l n x+l),=-X6.若J/(x)dx=co s 2x+c，贝i/(x)=答案：-4con2 x提示：/(x)=(co s 2x+c)=-2s i n 2xfx)-(-2 s i n 2 x)f=-4co s 2x7.dJe-x dx=.答案：ex2dx提示：J e*d x是e-原函数，对原函数Je-*2dx求导就等于被积函数e 3 ,因此对原函数Je-2dx求 微 分 就 等 于 被 积 函 数 微 分8.J(s i n x)，dx=.答案：s i n x+c提示：j(s i n x)dr =j co s x6a=s i n x+c9.若 J f(x)dx-F(x)+C,则 J f(2 x 3)dx=.答案：|F(2X-3)+C提示：J/(2x-3)dx=g J/(2x-3)d(2 x _ 3)=g J f ；F()+c=g F(2 x-3)+c1 0 .若 J f(x)dx-F(x)+c,则 Jn(l-x 2)d v=.1 .答案：耳/7。x-)+c提示：j xf(l-x2)dx=一g j f(l-x2)d(l-x2)-f(u)du=-F(u)+c1 2=-F(1-X2)+C二、单项选取题(每小题2分，共1 6分)1 .下列等式成立是().A.J/(x)dx=/(x)B.Jf(x)dx=f(x)C.djf(x)dx=/(x)D.j d/(x)=/(x)答案：A提示：对原函数J/(x)dr求导等于被积函数自身2.3.若J/OOdxn x%?”+。，则 x)=().A.2xe2x(l +x)B.2x2e2x C.2xe2x D.xe2 x答案：A提示：/(x)=(x2e2 jc+c)=2 xe2 x+2 x2e2 x=2x(1 +x)e2 x4.若/(x)=x+(xO),则 J7(x)dr=().A.x+y/x+c B.x2+x+cc 2 3 I 1 2 2 I2 2 3答案：AL 1 -提示：fx)=(x+y/x)f=l+-x 2r 1 :11；I-J(1 +x 2)dx=x+x2+c=x+x+2即对被积函数先求导再积分等于被积函数自身(加不定常数)。5.如下计算对的是（)d3A.3 d x =-l n 3dx 2、B-*Li)C.=dV xD.In xdx=d()x答案：Ad3A 3 In 3dx提小：=-l n 3 l n 33xdx6.Jx/，/r(x)dx)A.xfx)f(x)+cB.xfr(x)+cC.gx ，(x)+cD.(x+V)fr(x)+c答案：A提示：运用分部积分法,j ujC)vx)dx=w(x)v(x)J v(x)u(x)dx设=犬，M=/(x),则=1,v=fr(x)上式中运用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数自身（加不定常数）”。7.d ja2Adx=().A.ax B.-2ax In adv答案：CC.a2xdxD.a2xdx+c提示：因此对原函数Ja-2vdr求微分就等于被积函数a%微分a2xdx_ _28.如果等式 7。)屋；也=e G+C,则/(%)=()1 1 1 1A.-B.-C.-D.x x x x答案：B 1 1 1提示：(-0)，=-0 =-_e x=f(x)e x，比较上式左右两边，可知/x)=-X 厂 X三、计 算 题（每小题7分，共35分）r3-V x+xsinx,1.-drJx解 J-+ncU=j(-Vx+sinx)Jx=31n 一cosx+c2.J(2x-l),0ck解 J(2x-l),odx=-J(2x-1)10 J(2x-1)(2x-1)+c=(2x-l)+c2 2 11 2 2.1sin3.J xin，解 f-dx=-fsin J()=cos+cJ x J x x x4.Jxsin2xdr解运用分步积分法：j uvdx=wv-j uvdxr 1设 =%，M =sin2x,则 =1,v=sin2xdx=cos2xJ2Jxsin 2xdx-；xcos2x+g Jcos2x=3-X令y=0得唯一驻点x=12(x =-1 2舍去)10分由于本问题存在最小值，且函数驻点唯一，因此，当土地一边长为1 2,另一边长为18时，所用材料最省.五、证明题(本题5分)函数f(x)=x e，在(一8,0)是单调增长.证 只 需 证 明 当x 0由于尸(x)=x ()=1 -当x 0时，ex 0因此，当x Dr+0 五1 .答案：B提示：%也=|；=才 一1发散，dx=lnM：=ln 8-发散Ji x 10J+aIOO|e-xdx=-e-x=上+l=l 收敛0 Io g 8 出 口 =2或=2而 发 散7.下列无穷积分收敛是（）.I*+8.A.sinxdxJor+8 cB-L C.I dxJi XD.r五idr答案：B+oo提示.s i n x d x =-c o s ；=-c o s o o+1 发散1 I s+=-收 敛2 21r aL d x =ln M；=l n 8-发散=2 6r=2金发散8 .下列微分方程中，()是线性微分方程.A.yx2+ny=yf B.yy+xy2=evC.y,r+xyr=ey D.y s i n x-y e)=y ln x答案：D提示：所谓：“线性”，是指在方程中具有未知数y和它导数V项都是关于y,y 一次项。9 .微分方程y =0通 解 为().A.y=C xB.y=x+CC.y-CD.y =0答案：CB.=xy+y；dxD.鼻=x(y +x)提示：由题意可知，y导数为0,因此)，必然为常数C1 0 .下列微分方程中为可分离变量方程是()A.=x+y；C.=x y +s i n 九答案：B提示；形如=/(x)g(y)方程称为可分离变量方程，包=孙+丫 可 化 为 虫=(1 +1 dx d r d r三、计算题(每小题7分，共5 6分)pin 2)1.ev(l+ev)2d A-J o1 in 2fin 2 o rln 2.I 解(e (l+ev)2c lr=(l+e )2d(l+ex)=-(l+e )3J o J o QJn1 1 Q=-(l+eln 2)3-(l+l)3 =-(l+2)3-23 =yc r e l +S ln X j2.dxJ】x解 J；1 +5 In 也 _ J；+j;51n“*=皿 R；+5,=1 +5 I n Ad (b r$5 J 5 o o 5 7l +-(ln x)2=l+-(ln e)2-(ln l)2 =l +-=-3.xexdx解 运用分部积分法uvdx=uv-uvd.设 =x ,vf ex,则 /=1,v =exj(产&=x e、_，)/公=e-=e (e 1)=14.x s i n -d rJ o 2解 运用分部积分法 Juvdx=w v -juv d.设 =x,M=s i n,贝=v =-2c o s 2 2x s i n d r =-2x c o s +2 c o s o r =0 +4 c o s t z()=4 s i n =4J。2 2 J。2 J。2 2 205.2 xsinxdxJo解 运用分部积分法uvdx=uv-uvd.设 =x,M=s i n x,则 =1,v =-c o s xj x s i n xdx=-x c o s x|2+2 cosxdx=0 +s i n J =16.求微分方程V+2 =/+1满足初始条件y(l)=2.特解.X 4解 与一阶线性微分方程原则式比较，可知(%)=,仇犬)=r+1Xpxdx=-d x =nxe-Jp(x)dx=e nx=x =1 ,e p(x)dx=e 1 nx=xxy=e),x+c=，(/+l)xdx+c=J (x3+x)djc+c1 4 2 3I,x X x X X=(+4-c)=+Cx 4 2 4 27 7将x=l,y=士代入上式，得C=l,因此原微分方程满足初始条件y(l)=，特解为4 4y上+2+1-4 27.求微分方程y，=2xsin2x通解。X解 与一阶线性微分方程原则式比较，可知p(x)=-L,q(x)=2xsin2xXj p(x)dx=J-6k=-In x xe-J Px)dx=e nx=xv Jp(x)dx c-lnx I9eJ=e=xy-e 卜)h e x)/公+c=x|j2sin2xd元+c=xJsin2(2x)+c=x(-cos2x+c)=-xcos2x+cx四、证 明 题(本题4分)证明等式。/(x)dx=/(-x)+f(x)dx o证：左 边=f(x)d x +f xlx=-d)+J；/(x g=J：/(r)+/(x)p x =右 边