2021年广西贵港市港北区中考数学二模试卷（附答案详解）.pdf

2021年广西贵港市港北区中考数学二模试卷一、选 择 题（本大题共12小题，共 36.0分）1.一3的相反数是（）A.3 B.0C.3D.兀2.纳米是表示微小距离的单位，符号是r u n,已知l n z n =0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 m,则数据1 4纳米用科学记数法表示为（）A.1.4 x 1 0-1。米 B.1.4 x 1 0-9 米 C.1 4 x 1 0-8 米 D.1.4 x 1 0-8 米3.下列计算正确的是（）A.a2+3 a 2 =4 a4 B.a2b-2b3=2a6bC.(3 a)2=9 a2 D.ab b=a4.某市今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：）：2 0,1 7,1 8,2 0,1 8,1 8,2 2.对这组数据，下列说法正确的是（）A.平均数为1 8 B.众数为1 8C.中位数为2 0 D.极差为45.在平面直角坐标系中，有4（-2,a +2）,B（a-3,4）两点，若4 B x轴，则4,B两点间的距离为（）6.A.2B.1C.4D.3下列说法错误的是（）A.同旁内角相等，两直线平行B.旋转不改变图形的形状和大小C.对角线相等的平行四边形是矩形D.菱形的对角线互相垂直7.抛物线y =_（x -I）2-3是由抛物线y =-/经过怎样的平移得到的（）8.A.B.C.D.先向右平移1个单位,先向左平移1个单位,先向右平移1个单位,先向左平移1个单位,再向上平移3个单位再向下平移3个单位再向下平移3个单位再向上平移3个单位已知关于久的一元二次方程炉+2x+m-2 =0有两个实数根，机为正整数,且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数小的和为（）9.A.3B.4C.5如图，正方形4 B C D的边长为6,4 c为对角线，取4 8中点E,DE 与 AC交于点 F.则 si n/DF C =()D.6BC3710 10C.在D-T1 0 .如图，点A,D,B,C 是圆。上的四个点，连接4 B,C D相交于点E,若乙B OD =38,AAOC =1 3 2,贝此4 E C 的度数为（）A.95 B.90 C.85 D.80 1 1 .如图，在矩形A B C D 中，AB=4,B C =8,点E 为C D 中点，P、Q 为B C 边上两个动点，且P Q =2,当四边形4 P Q E周长最小时，B P 的长为（）A.2B.3C.4D.51 2 .如图，菱形4 B C D 中，B AD =6 0 ,AC 与B D 交于点0,E 为C D延长线上的一点，且C D=DE,连结B E,分别交4 c,4。于点F、G,连结。G,则下列结论:O G =B；SCD=6SAB 0 F；由点4、B、D、E 构成的四边形是菱形；S 四边物DGF ABF-其中正确的结论是（）八 GA.c D EB.C.D.二、填 空 题（本大题共6 小题，共 1 8.0 分）1 3 .在0,1,n,一竽这些数中，无理数是第2页，共28页1 4.分解因式：3 y 2 -1 2 =.1 5 .某人沿着坡度i =l：国的山坡向上走了4 0 0 m,则他上升的高度为 m.1 6 .若关于 的分式方程三-三=1有增根，则a 的值_ _ _ _X 5 5-X1 7 .如图，在R t A A C B 中，AAC B =9 0 ,N B=3 0。，BC=4 百，以点C 为圆心，4 c 的长为半径画弧，分别交AB,BC于点D,E,以点E 为圆心，CE 的长为半径画弧，交4 B 于点F,交前于点G,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.1 8 .规定:在平面直角坐标系xO y 中，如果点P 的坐标为(a,b),那么向量而可以表示为:而 =(a,b)，如果函与而互相垂直，OA=诟=(冷?)那么看r+y，2=0 若而与前互相垂直，O M =(t a na,l)-ON=(1.-V3).则锐角z.a =.三、解答题(本大题共8小题，共 6 6.0 分)1 9 .(1)计算：3-1+|V2-1|-2s in4 5 +(2-7 r);(2)解分式方程：三+3=3.20 .尺规作图：如图，在A A B C 中，ZC=9 0 .求作：在A C 边上作一点。，在4 8 边上作一点E,使CD =D E,且D E 1 AB.(不写作法，保留作图痕迹)CB21.如图，直线y=x+4,y 2=：x+b都与双曲线y=三交于点4(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.(1)求y与x之间的函数关系式；|(2)若点P在x轴上，连接力P把 ABC的面积分成1：4两部分，求点P的坐标.22.某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查B 要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以 下 是 I 20%根据调查结果绘制的统计图表的一部分.根据以上的信息，/C回答下列问题：被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为,统计图中n的值为(2)在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为第4页，共28页(3)喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？类别ABCDE节目类型新闻体育动画娱乐戏曲人数2460m1081823.某超市经营款新电动玩具进货单价是15元.在 1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件.根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件.(1)若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？(2)若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元,且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y(y为正整数)元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？24.如图，乙4cB=90。，。为BC上一点，AO=B O,R A C2=B C-C O,以OC为半径作圆0,4。交圆。于点E,延长40交圆。于点D,连接CD.(1)求证：AB是圆0 的切线.(2)若tanND=9，圆。的半径为3,求AC的长.2 5.如图抛物线y=aM+b x,过点42,0)和点8(3,遮)，四边形OCB力是平行四边形,点M(t,O)为边。A上的点，点N为边4B上的点，且4V=0 M,点。为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式，并直接写出点。的坐标；(2)当AAMN的周长最小时，求t 的值；(3)如图2,过点M作M E，轴，交抛物线丫=a/+枚 于点E,连接4 E,当以4、“、E为顶点的三角形与 DOC相似时.请直接写出所有符合条件的M点坐标.2 6.如图，在 ABC中，AB =AC,AB AC =a,过A作4D_LBC于D,点E为直线4。上的一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转a,得到线段E F,连接FC,F B,直线AD与BF相交于点G,与CF交于点M.第6页，共28页(1)【发现】如图1,当a=60。时，填空：黑 的值为：D r乙4GB的度数为:(2)【探究】如图2,当a=120。时，请写出臂的值及乙4GB的度数，并就图2的情形BF给出证明；(3)【应用】如图3,当a=90。时，若4B=4 U，/.ACE=1 5,请 直 接 写 出 的面积.图1图2图3答案和解析1.【答案】c【解析】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此-3的相反数为3.故选：C.根据相反数的概念求解即可.本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并正确应用是解题的关键.2.【答案】D【解析】解：14nm=14x 0.000000001m=1.4 x 10-8ni.故选：D.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x l(T ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a x 1 0-,其中lW|a|0,解得MW 3,V TH 为正整数，:.m为 1、2、3,当m=l 时，4=8,所以方程的根为无理数；当m=2时，方程化为/+2x=0,方程有两个整数解；当m=3时，方程化为/+2尤+1=0,方程有两个相等整数解；所以符合条件的所有正整数6 的和为2+3=5.故选：C.利用判别式的意义得到mW 3,则m为1、2、3,然后分别计算nt为、2、3时方程的解，从而得到满足条件的m 的值，最后计算符合条件的所有正整数小的和.本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+法+c=0(a H 0)的根与=b2-4ac有如下关系：当()时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实第10页，共28页数根；当/0时，方程无实数根.9.【答案】A【解析】解：连接BD与力C交于点。,四边形4BCC为正方形，Z.EAD=90,AC 1 BD,OD=BD,AB/CD,AD=AB=CD=6,/.DOF=90,/.EAF=/.DCF,OD=3近,v E为AB中点，AE-AB=-CD=3,2 2由勾股定理得，DE=y/AD2+AE2=3V5.Z-EAF=乙DCF,Z.AFE=乙DFC,AFE/s.CFD,EF AE i_ _ _FD CD 2 DF=|DE=2V5,c i n/D _ OD _ 3V2 _ 3V10 S in z./r c 7=-，DF 2 遍 10故选：4连接8。与4c交于点。，利用勾股定理求得。E,。，根据正方形的性质证明A M ESACFD,然后根据相似三角形的性质求得。F,进而可求.本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键：（1）连接8D构造直角三角形，（2）证明AFEsACFD,然后利用相似的性质求DF.10.【答案】c【解析】解：连接BC,B.前 对 的圆周角是乙4 B C,圆心角是乙4 0 C,乙4。=132。，：.AABC=-AOC=66,2同理可得：/-DCB=Z-BOD=i x 38=19,:.乙AEC=Z-ABC+乙DCB=66+19=85,故选：C.连接B C,根据圆周角定理和已知条件求出N4BC和NDCB的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可.本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的外角性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键.11.【答案】C【解析】解：如图，在4D上截取线段4F=PQ=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过4 点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.GH=DF=6,EH=2+4=6,4H=90,乙 GEH=45,乙 CEQ=45,设 BP=%,贝 IJCQ=B C-B P-P Q =8-x-2 =6-在ACQE中，ZQCE=90。，“EQ=45,CQ=EC,A 6%=2,解得=4.故选：C.要使四边形4PQE的周长最小，由于4E与PQ都是定值，只需4P+EQ的值最小即可.为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段4/=Z)E=2,作尸点关于8c第12页，共28页的对称点G,连接EG与8 c交于一点即为Q点，过4点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明NGEH=45。，再由CQ=EC即可求出BP的长度.本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求.12.【答案】B【解析】解：.四边形ABCD是菱形，AB/CD,AB=CD,BO=OD,Z-ABG=Z.GED,Z-BAG=乙GDE,v CD=DE,:.AB=DE,ABGADEG(44S),.BG=GE,OG=AB,.正确；由知 ABG=A DEG,:.AG GD,四边形/BCD是菱形，:.AB=AD,AO 1 BO,v 4BAD=60,AB BD=AD,BG 1 AD,:.Z-FBO=3 0 ,(ABO=60,BAO=30,O F O B V3 BO OA 3SBOF：S“O B=()2=3,SACD=SBC =2sABO,S&BOF=%SACD，正确由知4 ABG=h DEG,AB DE，-AB/DE,四边形4BDE是平行四边形，由知：AB =B D,四边形4BDE是菱形，.正确.v B O=D O,AG =D G,OG/AB,0 G尸 AB F fOF OG i:、=AF AB 2:，SAFG-2 sAOFG S&AOG =SAF G+S。尸G，:SOFG=WSAOG，SDOG：=1：4,SPQG：S F A B=1：4,F AB=4 sMOG=5 sF O G，v AG =G D,:，S O G =S G OD 1 4,S 四边形ODGF=SAGOD+SAOFG=SAAOG+ROG=卢AOG，,S四边形QDGF=SM A B,1 不正确综上所述正确.故 选:B.由菱形的性质可得4BCD,AB=C D,B O=0 D,由平行线的性质可得乙48G=LG E D,AB AC =/.G D E,证明A/IBG三 ZiD EG,得到BG=G E,据此判断；由全等三角形的性质可得AG=G D,由菱形的性质可得AB=AD,AO 1 B 0,结合Z_B4D=60。可得2B=BD=A D,证明B O F-A A O B,由相似三角形的性质可判断；由全等三角形的性质可得力8=0 E,推出四边形ABDE是平行四边形，结合4B=BD可判断；由三角形的中位线定理和相似三角形的性质可得，OFG=SAAOG，据此判断.本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，证得a/IBG三 4DEG是解题的关键.13.【答案】n第14页，共28页【解析】解：0,1是整数，属于有理数；一?是分数，属于有理数.无理数是加故答案为：n分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如兀，V 2.0.8080080008.(每两个8之间依次多1个0)等形式.14 .【答案】3(y +2)(y-2)【解析】解：3 y 2 -12=3(y 2 -4)=3(y +2)(y-2),故答案为：3(y +2)(y-2).先提公因式，在利用平方差公式因式分解.本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式因式分解的一般步骤是解题的关键.15 .【答案】2 00【解析】解：如图所示.某人沿着坡度t =l：遮的山坡向上走，B C：AB =1：V 3.A RZ A=3 0.v AC=4 00m,B C=4 00 x s 讥3 00=2 00(m).故答案为：2 00.先作出直角力B C,可得力C=4 00m,B C：AB =1：6，然后再解直角三角形即可求解.本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用三角函数的知识求解.16.【答案】6【解析】解：.大 一 总=1，X 5 5-Xx 4-(%a)=%3,Q=%+3,原式有增根，,3=0,x=3为增根，Q=6,故答案为：6.将原分式方程化简为整式方程，再根据“增根”得出3=0,即增根 =3,再代回整式方程即可求得a.本题考查了分式方程的增根，关键是理解“增根”其实是最简公分母等于0的解.17.【答案】4TT 43【解析】解：如图，连接GC,GE.在RtZkACB中，乙4cB=90。，Z.B=30,BC=4年 AC=BC tan30=4,AB=2AC=8,.CG=CE=EG=CA=4,.ECG是等边三角形，:.Z-GCE=乙ACD=60,乙4CG=Z-GCD=乙 DCB=30,c c .c 、307rx42,607TX42 1 4.於、,彳 nz S 阴=S 扇开处 CD+G 扇形8G SACEG)=360+-X4 x 4 Xy)=4 7 T-4 V 3,故答案为：4TT 4V3-第16页，共28页如图，连接CG,G E,眼 据S阴=S扇 熟CD+G扇 敝EG-SACEG),求解即可.本题考查扇形的面积公式，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积.18.【答案】600【解析】解：.丽 与 丽 互相垂直，丽=(t a n a,l),O N =(1,-V 3).tana x 1+1 x (V 3)=0.：tana=V 3.J 2 1 y2+1_ 1=3；(2)+=3,J X-l 2-2XY 1原方程化为：土 一 借 5=3，方程两边都乘2(x-1),得2%-1=6(x-1),解得：%=;,4检验：当时，2(%-1)力0,所以x 是原方程的解，4 4即原方程的解是工=不4【解析】(1)先根据负整数指数基，绝对值，特殊角的三角函数值和零指数幕进行计算，再算乘法，最后算加减即可；(2)方程两边都乘2。-1)得出2%-1=6。-1),求出方程的解，再进行检验即可.本题考查了零指数累，负整数指数基，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键.20.【答案】解：如图，点。和点E即为所求.A【解析】先作N4BC的平分线B D,交4 c 于点D,然后过点。作4B的垂线，垂足为E.本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.21.【答案】解：(1)把A(l,m)代入yi=x+4,得?n=1+4=3,4(1,3).,双曲线y-:过点4,fc=1 x 3=3,.y与x之间的函数关系式为：y=l.(2)在%=X+4,令y=0,则 =4,点 8 的坐标为(4,0),把4(1,3)代入丫2=|刀 +6 3=：x l +b,解得b=p43,972=/+7令y=0,则x=-3,即C(-3,0),B C =7,第18页，共28页4P把ABC的面积分成1：4部分,17 1 7 CP=(或BP=BC=pOP=3-1 g或OP=(=，P(Y，O)或小,0).【解析】(1)利用力=-x +4求得4 的坐标，然后根据待定系数法即可求得y与x之间的函数关系式；(2)分两种情况进行讨论，力 把4 4BC的面积分成1：4两部分，则CP=加=(或BP=即可得到OP=3-：=;或OP=4-5=与，进而得出点P的坐标.O O O O 3 O本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键.22.【答案】300 90 36 21.6【解析】解：(1)被调查的学生总数为：60+20%=300(人),则m=300-(24+60 4-108+18)=90,n%=x 100%=36%,300 n=36,故答案为：300,90,36；(2)E类所对应扇形的圆心角的度数为360。x 券=21.6,故答案为：21.6。；(3)画树状图如图：开始Zl ZI/N/N乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种,则甲丙被同时选中的概率是1Z O(1)用B类别人数除以其所占百分比可得被调查学生的总数，即可解决问题；(2)用360。乘以E类别人数所占比例即可；(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可.本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.23.【答案】解：(1)设销售单价为x元。20),则。-15)(200-5(x-20)=2250,解得，30,x2 45,30 18022 y 1480 1330,第三种方案利润最大.【解析】(1)根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；(2)根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为正整数得出三种方案.本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.第20页，共28页24.【答案】（1）证明：过点。作。尸1 4 B于 尸,AC2=BC-CO,AC BC ,CD AC 乙A CB=Z.OCA=90,OAC,乙B=Z.OAC,v AO=BO,4 B=Z-BAOf Z-OAC=Z.BAO,。4为 血C的平分线，v OF L A B,OC LAC,：.OF=OC,OC是。的半径，.AB为圆。的切线；(2)连接C凡,:ED是圆。的直径，乙 ECD=90,:tanzD=2CE 1=一,CD 2v Z.ACB=90,Z.ACE+乙 ECO=90,v/.ECO+Z.OCD=90,Z.ACE=乙OCD,v OC=OD,：Z.OCD=Z-ODC,二 Z.ACE=Z.ODC,Z.C AE =Z-C AE,AC E L AD C t.AE _ CE _ AC _ 1,AC DC AD 2：.AC2=AE-AD,设4 E =x,AC 2x,(2 x)2=x(x +6),解得：=2或x =0(不合题意，舍去),AC=2 x =4,4 c的长为4.【解析】(1)过点。作。F 1 4 B于尸，根据已知可得 A B C M OAC,从而可得N B =Z.OAC,再根据等腰三角形的性质可得。4为N B A C的平分线，然后利用角平分线的性质定理即可解答；(2)连接C F,根据直径所对的圆周角是直角可得N E C。=9 0 ,从而可得Z J 1 C E =Z.OC D,=然后可证A C E s A A D C,即可得至I L 4 c 2 最后设A E =X,AC =2x,列出关于x的方程进行计算即可解答.本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.2 5.【答案】解：(1)把4(2,0)和B(3,代 入y =a/+b x,得 匿+2b=0+3 b =V T解得V3a=b=-也3二 抛物线解析式为y =当2 -2-V-3%，3点。的坐标为(1,一日)；(2)连接A C,如图1,图1第22页，共28页AB=J(2 3/+(遮 产=2.:.OA=AB=2,二 平行四边形。CBA为菱形，:.0C=BC=2,C(1,V3)，AC=J(1-2 尸 +(遮)2=2，A OC OA=AC=AB=BC,ZlOCfOA力 C8都是等边三角形，AOC=Z.CAB=AOCA=60,而OC=AC,OM=AN,OCMACNSAS),CM=CN,Z.OCM=Z.ACN,:NOCM+/.ACM=60,Z.ACN+/.ACM=60CMN为等边三角形,MN=CM,AMN 的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=2+CM,当CM 1。4时，CM的值最小，4MN的周长最小，此时。M=C。=1,A t=1；(3)v C(1,V 3).。(1,一泉，nC D=4 V S，3V OD=J 12+(1)2=。=2，A OD2+OC2=CD2,.OCO为直角三角形，(COD=90,设贝一竽v Z-AME=乙COD,.当 段=需 时，A M E F C 0 D,即|t 一 2|：2=|t2-1|：OC OD 1 1 1 3 3 1 3解方程*2-|t =：(t-2)得0 =2(舍去)，t2=1，此时M点坐标为(1,0)；解方程 严一|t=|(t 2)得t=2(舍去)，t2 1(舍去)；当,=翳 时，AMESA D O C,即|t-2|：竿=|争 2一苧叶：2,解 方 程?2-|t =t-2 得口=2(舍去)，12=3,此时M点坐标为(3,0)；解方程3 2 -1 1=-2)得0 =2(舍去)，t2=-3(舍去)；综上所述，M点的坐标为(1,0)或(3,0).【解析】利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；(2)连接4 C,如图，先计算出AB=2,则判断平行四边形0CB4为菱形，再证明A40C和A 4cB都是等边三角形，接着证明4 OCM为 ACN得到CM=C N,乙OCM=乙ACN,则判断 CMN为等边三角形得到MN=C M,于是 4MN的周长=OA+C M,由于CM 1。力 时，CM的值最小，aAM N的周长最小，从而得到t 的值；(3)先利用勾股定理的逆定理证明AOCD为直角三角形，4C0D=90。，设M(t,O),则E也苧尸_ 竽),根据相似三角形的判定方法，列方程，然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标.本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；熟练掌握相似三角形的判定方法；会运用分类讨论的思想解决数学问题.26.【答案】1 60【解析】解：,a=60。，Z.BAC=Z-CEF=60,-A B=A C,线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF(CE=EF),4 8 c和4 EFC是等边三角形，BC=AC,FC=E C,乙BCA=(FCE=Z.ACB=60,:.Z-FCB=Z.ECA,.FCB三A EC4(SAS),BE=AE,第 24页，共 28页AE.=1；BF故 答 案 为：1；60；（2）些=在，AACB=30,证 明 如 下：如 图2,a=120,ABAC=乙CEF=120,-A B=A C,EF=CE,/,ABC=乙ACB=3 0 ,乙EFC=乙ECF=30ABC s EFC.AC BCA=一.EC FCAC BC 一=一.BC FC 乙 ACB=乙 ECF=30,：乙ACB-Z.ACF=乙ECF-乙ACF.:.Z-ACE=乙BCF.ACEL BCF.AE _ AC BF-FC,A AD 1 BC.在R M 4C D中，ACD=30,cosACD=cos30=.AC 2.些=百，些=3.AC BF BC 3由BCF,:.Z.AEC=乙BFC.Z.CME=乙 FMG,Z.AGB=乙ECF=30.当E在 线 段4D上 时，连 接F D,过尸作FK LA G于K,如 图:a=90。,AB=A C,线段CE绕点E顺时针旋转a,得到线段E凡 ABC EFC是等腰直角三角形，Z.ACB=45,A ACE=15,:.乙DCE=30,AB=46，AC=4百，BC=4V6，,:AD 1 BC,BD=CD=2V6.在ECD中，cos30=CE=4V2=EF，v 乙DEC=90-乙DCE=60.乙FEK=30,A FK=EF=2V2,登=M，乙BCF=45-乙BCE=Z.ACE,A C E C B C F A C E,乙FBC=Z.EAC=45,AD 1 BC,BDG时等腰直角三角形，:.DG=BD=2V6，DFG的面积为=I x 2V6 x 2V2=4V3；当E在。A延长线上时，连接F O,过F作FT 1 4。于7,如图：第26页，共28页E Z.ACE=15,Z.ACD=45,LECD=60,ADEC=3 0 ,4EFD=60,CD=2限,CE=FE=4后在Rt EFT中，FT=FE sin60=6&,泊.，乙BCF=45-乙ACF=Z.ACE=15,BCFA ACE,Z.BFC=Z-AEC=30,:.Z.DGB=Z.BFC+Z-BCF=45,.BOG是等腰直角三角形，DG=BG=BC=2V6,DFG的面积为 DG-FT=i x 2V6 x=1273；综上所述，A PFG的面积为48 或12遍.(1)由a=6 0 ,可得 ABCAL EFC是等边三角形，即可证明仆FCB三4 ECA(SAS),BF=A E,故箓=1；由AFCB三EC4 得NFBC=NE4C,ffijzBDG=A A D C,即得44GB=60；(2)设CF与AD交于M,首先推知ABCsEFC,AFCBFE C A,由相似三角形的性质nJ#=空，4BFC=Z.A E C,而NFMG=/.E M C,即得NAGB=乙FCE=3 0 ,在Rt BF BC皿中调故祭若=蒜(3)当E在线段4D上时，连接F D,过产作F K 1 A G 于K,由a=90。知 4BC和 EFC是等腰直角三角形，又乙4CE=15。，可得NDCE=30。，根据4B=4百，即得AC、BC的长度，在RtZiEC。中，有CE=2V2=EF，故 FK=2E F,禾 I 用 ABCFSAACE,可证 B D G时等腰直角三角形，得D G =BD,故ADFG的面积为DG-FK；当E在ZM延长线上时，连接FD,过F作FT 1 4。于T,根据乙4CE=15,A.AC D=45,得4ECD=60。，C E =F E,在RtZEFT中，F T=F E -sin6 0,而 BDG是等腰直角三角形，可得DG=B G=：B C,故 DFG的面积为OG-FT=3 6.本题属于几何变换综合题，主要考查三角形综合应用，涉及旋转变换、等边三角形、等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是证明ABCF与A4CE全等或相似.第28页，共28页