《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲_中学教育-中考.pdf

优秀学习资料 欢迎下载 高等数学下册期末考试考前复习提纲 第一部分 空间解析几何与向量代数 一、向量代数 1、向量的概念（1）向量的定义 有大小有方向的线段 a（自由向量）（2）向量的表示 1）),(z y xa a a a，为向量的直角坐标表示 2）0a a a，其中 a为向量的模（大小），2 2 2z y xa a a a 0a为 a的单位向量，0(cos,cos,cos)(,)yx zaa aaa a a，)cos,cos,(cos 为 a的方向余弦，1 cos cos cos2 2 2 注：若有两点：1 1 1 2 2 2(,),(,)A x y z B x y z，则向量 AB 为 2 1 2 1 2 1(),(),()A B x x y y z z 2、向量的运算（1）线性运算),(z z y y x xb a b a b a b a),(z y xa a a a（2）数量积（标积，点积）1）cos,a b a b a b(0)2）z z y y x xb a b a b a b a 特例：当 b a 时，0 b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a，b a,与 c为右手螺旋关系 2）()()()x y z y z z y z x x z x y y xx y zi j ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a bb b b 优秀学习资料 欢迎下载 特例：当 b a/时，0 b a，或z y x z y xzzyyxxb b b a a abababa:（两向量平行的判据）3、两点的间距公式 21 221 221 2)()()(z z y y x x d 4、平面 外一点0 0 0 0(,)P x y z 到平面 的距离公式：0 0 02 2 2A x B y C z DdA B C 平面 的点法式方程为：0 Ax By Cz D 二、空间解析几何 1、空间曲面与空间曲线（1）方程 曲面方程 0),(z y x F（三元方程）曲线方程 0),(0),(21z y x Fz y x F或)(),(),(t z z t y y t x x（2）常见的曲面与曲线 1）柱面 一直线 l（母线）沿着一平面曲线 C（准线）作平行于一 定直线 L 的移动所得的曲面 母线 z/轴的柱面：0),(y x F 母线 y/轴的柱面：0),(x z F 母线 x/轴的柱面：0),(z y F 2）旋转面 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面 例2 2(,)00z y x yf y zx 绕 z 轴旋转一周不变，旋转曲面 0),(2 2 z y x f 3）空间螺旋线 t k z a y a x,c o s,s i n 4）二次曲面（三元二次方程）)(a 椭球面 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 1222222 czbyax 椭球面与平行于坐标面平面的交线：12222221z zczbyax 12122222122221)()(z zz ccbyz ccax；12222221y yczbyax 12122222122221)()(y yy bbczy bbax；12222221x xczbyax 12122222122221)()(x xx aaczx aaby 分别为在 1z z，1y y 与 1x x 平面内的椭圆。)(b 抛物面 zqypx 2 22 2椭圆抛物面；zqypx 2 22 2双曲抛物面（q p,同号）椭圆抛物面与平行于坐标面平面的交线：1121212 2z zqzypzx 为在1z z 平面内的椭圆；121 2)2(2y yqyz p x 为在1y y 平面内的抛物线 121 2)2(2x xpxz p y 为在1x x 平面内的抛物线)(c 双曲面 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 1222222 czbyax（单叶）1222222 czbyax（双叶）单叶双曲面与平行于坐标面平面的交线：122122221z zczbyax 为在 1z z 平面内的椭圆；)(1)1()1(1221 22221 22b yy ybyczbyax 为在 1y y 平面内的双曲线 b yczax0 为一对相交于（0,0 b）的直线；b yczax0为一对相交于（0,0 b）的直线；（3）空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线(,)0:(,)0(,)0 xOyzF x y zC H x yG x y z 若投影到 坐标平面两曲面方程消去法向坐标（空间曲线 C 关于xOy 面的投影柱面）(,)00H x yz（空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线）2、平面与直线（1）平面 0),(z y x F（三元一次方程）表示：1）点法式 0)()()(0 0 0 z z C y y B x x A 其中),();,(0 0 0 0z y x P C B A n 2）一般式 0 D Cz By Ax 其中)(0 0 0Cx By Ax D 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 3）截距式 1 czbyax 其中 c b a,为平面在三个直角坐标轴上的截距 注：01）通过坐标原点的平面：0 Cz By Ax，且没有截距式；02）x/轴的平面：0 Cz By；x c)(轴的平面：C x（2）直线 表示：1）对称式 nz zmy ylx x0 0 0 其中方向向量),();,(0 0 0 0z y x P n m l a 2）一般式 002 2 21 1 1z C y B x Az C y B x A 当两平面不平行，即2 2 2 1 1 1:C B A C B A 时，其交线为直线 3）参数式()()()x x ty y tz z t（3）交角 1）两平面,间的交角 即两平面法向量),(),(2 2 2 2 1 1 1 1C B A n C B A n 间的交角 2222222121212 1 2 1 2 12 12 1c o sC B A C B AC C B B A An nn n，)20(当 时，0 02 1 2 1 2 1 2 1 C C B B A A n n；/时，2 2 2 1 1 1 2 1:/C B A C B A n n；2）两直线2 1,L L 间的交角 即两直线的方向向量),(),(2 2 2 2 1 1 1 1n m l a n m l a 间的交角 2222222121212 1 2 1 2 12 12 1c o sn m l n m ln n m m l la aa a，)20(当2 1L L 时，0 02 1 2 1 2 1 2 1 n n m m l l a a；一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 2 1/L L 时，2 2 2 1 1 1 2 1:/n m l n m l a a；3）直线 L 与平面 间的交角 即直线的方向向量),(n m l a 与平面法向量),(C B A n 间的交角的余角 2 2 2 2 2 2s i nn m l C B ACn Bm Ala na n，)20(当 L 时，C B A n m l n a:/L 时，0 0 Cn Bm Al n a；第二部分 多元函数微分学 一、多元函数的极限 二元函数),(y x f z 若 A y x f Limy x y x),(),(),(0 0（确定、有限），则),(y x f 当),(y x 以任意方式（有无穷多种方式）趋于),(0 0y x 时，极限 A 存在。二、多元函数的连续性 二元函数),(y x f z 若),(),(0 0),(),(0 0y x f y x f Limy x y x，则),(y x f 在),(0 0y x 点连续。三、多元函数的可导性 二元函数),(y x f z，多元函数,.),(z y x f u 1、偏导数的定义 二元函数),(y x f z（1）一阶偏导数 xy x f y x x fL i m fxzzxx x),(),(0 yy x f y y x fLim fyzzyy y),(),(0 式中),(),(y x f y x x f z fx x，),(),(y x f y y x f z fy y 均称为偏增量 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载（2）二阶偏导数 xy x f y x x fL i mxzzx xxxx),(),(022 yy x f y y x fL i my xzz x xyxy),(),(02 xy x f y x x fL i mx yzzy yxyx),(),(02 yy x f y y x fL i myzzy yyyy),(),(022 其它多元函数偏导数的定义与上相似 2、多元函数的可导性 若在),(0 0 0y x z 点，存在偏导数00,z zz zyzxz，则称),(y x f z 在),(0 0 0y x z 点可导。注：（1）由二元函数可导性的定义可见，),(y x f z 在),(0 0 0y x z 点可导，未必在该点连续；（2）当一阶偏导数存在且连续时，则(,)z f x y 在(,)x y 处可微；可微必可导，但可导未必可微。这一点与一元函数不同。3、隐函数的偏导数（1）隐函数以一个方程表示的情形 二元函数 0),(z y x F 解法一利用如下公式求偏导数：)0(,zzyzxFFFyzFFxz；解法二对 0),(z y x F 两边对自变量 x 或 y 求偏导数，从而求出：zx或zy。（这与一元隐函数求导数的两种解法相似）（2）隐函数以方程组表示的情形(,)0(,)0F x y u vG x y u v 表明：上述方程组中的四个变量中只有两个独立变量 假如(,)F x y u v、(,)G x y u v 在点0 0 0 0 0(,)P x y u v 的某一邻域内，具有对各个变一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 量的连续偏导数，且偏导数组成的 Jacobi 行列式(,)(,)F FF Gu vJG G u vu v 在点0 0 0 0 0(,)P x y u v，0 J，则方程组(,)0(,)0F x y u vG x y u v在点0 0 0 0 0(,)P x y u v 的某一邻域内恒能够确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,),(,)u u x y v v x y，它们满足 1(,)1(,)();();(,)(,)1(,)1(,)();()(,)(,)x v u xx v u xu v u vu v u vy v u yy v u yu v u vu v u vF F F FG G G Gu F G v F GF F F Fx J x v x J u xG G G GF F F FG G G Gu F G v F GF F F Fy J y v y J u yG G G G 4、复合多元函数的偏导数 若(,),(,),(,),(,)z f u v w u u x y v v x y w w x y，则表明：二元复合函数(,),(,),(,)z f u x y v v x y w w x y 具有：三个中间变量：,u v w；二个最终自变量：,x y 二元复合函数 z 有两个对最终自变量(,)x y 偏导数公式，每个偏导数公式中包含三项，即;z f u f v f wx u x v x w xz f u f v f wy u y v y w y 终上所述，偏导数的公式数=最终自变量的数目；每个偏导数公式包含的项数=中间变量的数目 注：（1）当某个最终自变量既是最终自变量又是中间变量时，必须要分清不同场合的不同身份，例如(,(,)u f x y z x y，这是一个二元复合函数,最终自变量有两个：,x y；中间变量有三个：,x y z 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 因此，偏导数公式有两个，每个偏导数公式中含三项：即 1 31 0 2 30 1u f x f y f z f f z zf fx x x y x z x x z x xu f x f y f z f f z zf fy x y y y z y y z y y（2）复合多元函数的偏导数的求算有两种算法：1）按照上述算法求算偏导数；2）先将中间变量与最终自变量的函数关系代入多元复合函数，使其直接成为多元函数，再求偏导数 5、多元函数的全微分（1）二元函数(,)z f x y 在考察点(,)x y 可微的充分必要条件是：(,)z f x y 的偏导数z zx y、在考察点(,)x y 存在且连续（2）多元函数的全微分的表示 二元函数),(y x f z dyyzdxxzdz 三元函数),(z y x f u dzzudyyudxxudu（3）(,)(,)P x y dx Q x y dy 在区域 G 内为某一二元函数(,)u x y 的全微分的充分必要条件是：1）区域 G 是一个单连通区域；2）P Qy x 在 G 内处处成立 若已知(,)(,)P x y Q x y、，且都满足(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy du x y 的充分必要条件，则可以通过下列步骤求得(,)u x y 的形式：1)(,)(,)();(,)2)(,)()(,)u x y P x y d x g yu x yQ x y g y u x yy 通过比较 四、多元函数的极值 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 二元函数的极值),(y x f z 若),(y x f z 在),(0 0 0y x z 点可导，则极值点必为驻点：,0),(0 0 y x fx 0),(0 0 y x fy；且 2AC B),(0 0y x f 0 0 A，极大 0 A，极小 0 非极值 0 不确定，须由定义判断 其中),(),(),(0 0 0 0 0 0y x f C y x f B y x f Ayy xy xx 注：条件极值问题 目标函数),(y x f z，约束条件 0),(y x 引入 Lagrange 函数),(),(y x y x f L，（其中 称为不定乘数（子）求可能极值点（0 0,y x）：求解下列方程组 0),(00y xf Lf Ly y yx x x 得),(0 0y x。在仅有一个可能极值点的情况下，该点也就是真正的极值点；在有多个可能极值点的情况下要逐一讨论。上述做法可推广到三元或三元以上的多元函数情形，也可以推广到多个约束条 件的情形 注：在有些问题中。我们可以将条件极值问题变换成无条件极值问题处理，具体步骤如下：利用约束条件，将自变量 y化成另一自变量 x 的函数，然后代入目标函数 z，这样)(,x y x f z，成为自变量仅为 x 的复合函数了。五、多元函数微分学的其它应用 1、空间曲线的切线与法平面方程 空间曲线:(),(),()x x t y y t z z t（参数形式）一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲线的切线方程为)()()(000000t zz zt yy yt xx x 式中切线向量为)(),(),(0 0 0t z t y t x 过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲线的法平面方程为 0)()()(0 0 0 0 0 0 z z t z y y t y x x t x 2、空间曲面的法线与切平面方程 空间曲面:(,)0 F x y z（隐函数形式）过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲面的法线方程为 0000 0 0PzPyPxFz zFy yFx x 式中法线向量为),(000PzPyPxF F F n 过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲面的切平面方程为 0)()()(0 0 0000 z z F y y F x x FPzPyPx 注：若空间曲面给出的是显函数形式：(,)z f x y，则可将显函数形式化成隐函数 形式处理，即(,)(,)0,F x y z f x y z 0 0 00 0,1x x y y zP P PP PF f F f F 于是 过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲面的法线方程为 000 0 01x yPPx x y y z zf f 过定点),(0 0 0 0z y x P 的空间曲面的切平面方程为 000 0 0()()()0 x yPPf x x f y y z z 3、方向导数与梯度（1）方向导数 如果三元函数(,)u f x y z 在考察点0 0 0 0(,)P x y z 可微，则函数(,)u x y z 沿一定方一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 向(cos,cos,cos)l 的方向导数为 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0(,)(,)(,)(,)(,)c o s c o s c o sx y z x y z x y zx y zf x y z f f fl x y z（2）梯度 如果三元函数(,)u f x y z 在考察点0 0 0 0(,)P x y z 可微，则函数(,)u x y z 在考察点0 0 0 0(,)P x y z 的梯度为 0 0 0 0 0 0(,)(,)(,)0 0 0 0 0 00 0 0(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x y z x y zx y zx y z x y zf x y z f x y z f x y zgradf x y z f x y z i j kx y z 注：1o梯度是向量，方向导数是数量；2o梯度方向是函数空间变化最快的方向 3o函数(,)f x y z 在考察点0 0 0 0(,)P x y z 沿某个方向(cos,cos,cos)l 的方向导数与函数在该点梯度的关系是；0 0 00 0 0(,)(,)0 0 0 0 0 0 0 0 0(,)(,)(,)c o s(,)c o s(,)c o sx y zx y zx y zf x y zg r a d f x y z llf x y z f x y z f x y z 第三部分 重积分 一、不定积分 二元函数),(y x f z)(),(),(),(),(),(2 1x h y x F dy y x f y g y x F dx y x f 二、定积分 1、定义 二元函数),(y x f z，(,)x y D 平面积分区域 max01(,)(,),()nk k k kkDf x y d Lim f 2、几何意义 以曲面),(y x f z 为曲顶的曲顶柱体的体积 3、二重积分的计算 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载（1）在直角坐标中 面元 dxdy d 1）先对 y 再对 x 积分 作 x x 的直线（在该直线上 x 不变）21()()(,)(,)b y xa y xDf x y d dx f x y dy 其中)(),(2 1x y x y 为 x x 直线与积分（简单）区域 D 所交的先对 y 积分时的积分下限与上限 2）先对 x 再对 y 积分 作 y y 的直线（在该直线上 y 不变）21()()(,)(,)d x yc x yDf x y d dy f x y dx 其中)(),(2 1y x y x 为 y y 直线与积分（简单）区域 D 所交的先对 x 积分时 的积分下限与上限（2）在极坐标中 面元 d d d c o s,s i n x y 1）先对 再对 积分 21()()(,)(,)Df d d f d 其中)(),(2 1 为 射线与积分（简单）区域 D 所交的先对 积分时的积分下限与上限 2）先对 再对 积分 21()()(,)(,)baDf d d f d 其中)(),(2 1 为 圆弧与积分（简单）区域 D 所交的先对 积分时的积分下限与上限 注：（1）在什么情形下，需要对积分区域进行分区？一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 1）若积分区域本身就是非简单区域时；2）虽然积分区域是简单区域，但是当在(,)a b 内作直线 x x（或者在(,)c d 内作直 线 y y）时，该直线移动时，涉及到的1 2(),()y x y x（或者1 2(),()x y x y）不同时。遇到这种情况时，往往选择适当的积分次序就会避免分区问题的产生。（2）如何改变二重积分的次序？1）根据题给的积分次序先确定积分区域 D；2）确定积分区域中曲线交点的坐标；3）改变积分次序。（3）何时用极坐标计算？被积函数),(y x f 或积分区域 D 中出现)(2 2y x 因子时，用极坐标积分比较方便。4、三重积分的计算 三元函数),(z y x f u G z y x),(（1）在直角坐标中 体元 dxdydz dV()a“先一后二”的积分 21(,)(,)(,)(,)xyz x yxyz x yG Df x y z dV d f x y z dz（先对 z 积分，后对（,x y）积分）21(,)(,)(,)(,)yzx y zyzx y zG Df x y z dV d f x y z dx（先对 x 积分，后对（,y z）积分）21(,)(.)(,)(,)zxy z xzxy z xG Df x y z dV d f x y z dy（先对 y 积分（,z x）积分）其中,xy yz zxD D D 分别为积分区域 G 在 xoy 平面,yoz 平面与 zox 平面上的投影。()b“先二后一”的积分(,)(,)zdcG Df x y z dV dz f x y z dxdy 注：当(,)()f x y z g z 时，用这种积分方法比较简捷。（2）在球面坐标中 体元2sin dV r dr d d 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 s i n c o ss i n s i nc o sx ry rz r 0()0 0(,)20(,)sin(sin cos,sin sin,cos)Gf x y z dV d df r r r r dr（2,max max）（3）在柱面坐标中 体元 dz d d dV c o ss i nxyz z 2 21 1()(cos,sin)max()(cos,sin)(,)(cos,sin,),(2)zGf x y z dV d d f z dz 注：当被积函数或积分区域中出现)(2 2 2z y x 因子时，用球面坐标积分比较 方便；出现)(2 2y x 因子时，用柱面坐标积分比较方便。第四部分 曲线积分与曲面积分 一、曲线积分与曲面积分 1、曲线积分（1）对弧长的曲线积分（无向曲线）Lds y x f I),(其中弧元 dtdtdzdtdydtdxdz dy dx ds2 2 2 2 2 2)()()()()()(有三种计算方法（对平面曲线）：a)对显式函数()y y x 或者()x x y 21()dyds dxdx 或者21()dxds dydy 2,()1()badyI f x y x dxdx 或者2(),1()dcdxI f x y y dydy 一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 b)对参数式函数()()x x ty y t 2 2()()dx dyds dtdt dt,)()()(),(2 2dtdtdydtdxt y t x f I)c 在极坐标下 2 2()dds dd 2 2(),(),dI f dd 注：1o对弧长的曲线积分，下限一定小于上限 2o如果是积分曲线是空间曲线，可以此推广。特别是当空间曲线是参数形式时，dtdtdzdtdydtdxds2 2 2)()()(（2）对坐标的曲线积分（对有向曲线）dz z y x R dy z y x Q dx z y x P IL),(),(),(或者 dtdtdzt z t y t x R dtdtdyt z t y t x Q dtdtdxt z t y t x P I)(),(),()(),(),()(),(),(注：对坐标的曲线积分的向量表示 因向量),(),(),(z y x R z y x Q z y x P A，矢径元,dz dy dx r d 因此，对坐标的曲线积分也可表示为：Lr d A I 2、曲面积分（1）对面积的曲面积分（对无向曲面）(,)I f x y z d 计算的一般方法：将对空间曲面的积分变换成曲面在某个坐标面上投影的二重积分 1）将 投影到 xoy 坐标面，投影为xyD，(,)z z x y xyDy xdxdy z z y x z y x f I2 21),(,一次难得的学习和交流的平台的的领导其次感谢为我们上课的老师细心地工作使我们各位学员的每一天都觉得收获很大在培训学习中老师们互相交流以鲜活的案例和丰富的识识内涵及精湛的理论阐述给了我强烈的感染和深深的理论 学习通识课程中给我印最深的是感悟电影中的师爱魅力特别是通过观看法国电影放牛班的春天主人公马修尽管怀才不遇但当面对一群被大人放弃的野男孩时仍然以仁爱之心和为师之道用爱照亮问题学生的前进之路让每一个孩子都能 育人艺术关爱学生特别是留守儿童的健康快乐成长用润物无声的教育方式传递教育的教师职业意味着对儿童生命世界的引领和人类民族精神的薪火相传尽管我们目前的教师职业活动还很难达到这一高度但至少我们内心中应该怀有一优秀学习资料 欢迎下载 2）将 投影到 zox 坐标面，投影为zxD，(,)y y z x zxDx zdzdx y y z x z y x f I2 21),(,3）将 投影到 yoz 坐标面，投影为yzD，(,)x x y z yzDz ydydz x x z y z y x f I2 21),),(（2）对坐标的曲面积分（对有向曲面）d x d y z y x R d z d x z y x Q dz dy z y x P I),(),(),(其中 是有向曲面，曲面的方向用曲面的法线方向表示，对一般曲面有上侧与下侧（对 z 轴）或者前侧与后侧（对 x 轴），再或者右侧与左侧（对 y 轴）之分；对封闭曲面有外侧与内测之分。注：1o 曲面的上侧与下侧是对 z 轴而言的，上侧是指