2022届新高考数学模拟演练卷 试卷四（新高考Ⅱ）.pdf

2022届新高考数学模拟演练卷试卷四（新高考n）一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z 在复平面内对应的点为（3,4）,复数z 的 共 辗 复 数 为 那 么 z S =（）A.5 B.-7 C.I2 D.252.设全集U=-1,0,1,2,4,集合 A=-l,0,2,B=0,l,2,4,则电（4|3）=（）A-0 C.1,4 D.-1,1,4）3.抛物线y2=8x的焦点到直线x-Q y =0 的距离是（）A.273 B.2 C.y/3 D.l4.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感源自威尔弗兰泡沫，威尔一弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进.开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形）.已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1,则该多面体的表面积是（）A.9 6 +6 B.9V3+8C.12V3+6D.126+85.将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形,TT其中小扇形的圆心角为;，则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为（）A.2:lB.770:8C.4:lD.32：V706.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105,b2）（b 0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高 于 120分）的人数占总人数的g,则此次数学考试成绩在90分 到 105分之间的人数约为（）A.150 B.200 C.300 D.4007.已知4=（?）,b=2,=（；）则 Q，b,c 的大小关系为（）X.abcC.cabB.acbD.cb 2 时，函数y=/（x）是单调函数，则 满 足=-匕）的所有x 之积为（）A.3 B.-3 C.-39 D.39二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9.小赵于2021年 10月 1 日投资了一款理财产品，2021年 10月 1 日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）B.10月 2 日至10月 5 日的每日收益递增C.10月 1 日至10月 14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月 5 日的收益增加最多10.如图，在三棱锥尸ABC中，已知R4_L底面ABC,A B r B C,E,尸分别是线段PB,PC上的动点，则下列说法正确的是（）A.当小，尸 3 时，AM R 一定为直角三角形B.当A尸，PC 时，AA 一定为直角三角形C.当EF平面ABC时，一定为直角三角形D.当P C,平面AEF时，一定为直角三角形11.已知点A 是直线/:x+y-&=0 上一定点，点P,Q 是圆f +y2=1上的动点，若 NR4Q的最大值为90,则 点 A 的坐标可以是()A.(0,夜)B.(1,72-1)C.(夜,0)D.(V2-1,1)12.已知数列”的前”项和为5，数列|。,|的前项和为7；,%可看成关于的一次函数，且/q=1 2,a2=O,则下列说法正确的是()A.若 q 0,则 a“=-2 +4 B.若4 0,则 52()=-340C.对任意的 w N*,都有 0,不等式x(e*-a)-alnx-120恒成立，则实数a 取值的集合为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知数列 4 的前项和5“满足S“=2-%.(1)求数列 4 的通项公式；(2)设q,=4 a.+l,求数列 5 的前项和7；.18.(12分)在 ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,h,c,若2-sin2 B=sin AsinC+cos2 A+cos2 C.(1)求 B：(2)若。=#，ABC的面积为6，求中线8。的长.19.(12分)已知四棱锥底面ABCD为菱形，/4fiC =60。，AB=2,平面R S J_ 平面ABCD,PB=PA,E 为 AB 的中点.(1)若 F为 PD 上一点,b _ L R 4,证明：E F 1 P A；(2)若 PA=也，求二面角 -PC-3的正弦值.2 0.(1 2 分)已知椭圆C：+*=l(a b 0)的左、右焦点分别为耳，F2,离 心 率 为 且，且斜a2 b2 2率为-g的直线与椭圆C交于A,B两点，且 A8的中点为(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A ,4，点 P,Q为椭圆上异于从，片的两点，且以尸，Q 为q直径的圆过点用，设 A P Q，B/Q 的面积分别为5，与，计算幺的值.2 1.(1 2 分)为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的1 0 个景点的清单，要求每位学生选择其中的3 个景点参观游览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享.已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6 个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点.(1)求某学生选择参观的3 个景点中至少有一个红色文化类景点的概率；(2)设某学生选择参观的3 个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.2 2.(1 2 分)已知函数f(x)=e*-a l n x(a 0).(1)若对任意的xe(0,+o o),不等式f(x)a l n“恒成立，求实数a的取值范围；若函数g(x)=/x _ e*+/(x)有 两 个 不 同 的 零 点,求证：x,x2 e2.答案以及解析1 .答案：D解析：由题意得，z =3+4 i,则2.2=|2|，=及3 2 +4 1 =2 5.2 .答案：D解析：因为集合 A =-1,0,2 ,8 =0,1,2,4 ,所以 4口8 =0,2 ，因为U =7 0,1,2,4 ,所以6储口8)=-1,1,4 卜故选D.3 .答案：D解析：由抛物线方程知焦点尸(2,0),由点到直线的距离公式知，点 F 到直线x-g y=0 的距离,|2-/3 x0|.a=-7=-=1.V1 +34 .答案：C解析：本题考查多面体表面积的求解.边长为1 的正方形的面积为1 x1 =1,正六边形的面积为6 x g x l x l x 3 =.因为每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形，该多面体有2 4 个顶点，所以该多面体中正方形有2 4+4 =6 (个)，正六边形有2 4 x2+6 =8 (个)，所以该多面体的表面积为8 x空+6 =1 2 力+6,故选C.25 .答案：B解析：不妨设半圆的半径为1,用圆心角为三的扇形围成的圆锥的底面圆周长为：x l=W，设其底3 3 3面圆的半径为心 则2 叫=1,所以=9，该圆锥的高=1 一|1=叵.用圆心角为多的扇形3663围成的圆锥的底面圆周长为2与7 r xl =q2 兀 ,设其底面圆的半径为4,则2 和=亨2 7 c ，所以4=1/该圆锥的高为=/-，1=.所 以 所 求 高 的 比 为 也=廊:8.6 .答案：CI2 3 3解析：Q P(X 1 2 0)=-P(9 0 X 1 2 0)=l-=-,/.P(9 0 X 1 05)=-.此次数学考试成绩在9 0分 到 1 05 分之间的人数约为1 G O O x a=3 00.故选C.1 07 .答案：B解 析:因 为 片 印=更 工2.曾 啕=3 喈，一,9 2 4 2所以a c 0,设方程的两根分别为,x2,则x+4 x+4x,x,=-3；由4-x =l-,得/+入-13=0,A2 0,设方程的两根分别为占，x4,贝Ix+4X3X4=-13.所以占wwz=39.故选 D.9.答案：ABC解析：由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为的+121=103.5(元)，故C正确；10月8日比前一日收益增加21740=177(元)，而210月5日比前一日收益增加220-143=77(元)，故D错误.选ABC.10.答案：ACD解析：当 时，底面 ABC,A B LB C,8C J_平面尸48,:.AEA.BC,:.A E A.面PBC,.A E _LE R,;.人4户一定为直角三角形，A说法正确；当AF_LPC时，无法得出AAEF一定为直角三角形，因此B说法错误；当即平面A8C时，平面P 3C c平面ABC=BC,EFHBC,.勿 J_ 底面 ABC,:.P A B C,又 AB_L5C,r.8C _L 平面 PAB,:.B C rA E,：.E F L A E,则AAEF一定为直角三角形，故C说法正确；当PC_L平面4E尸时，可得P C V A E,易知 8 C _ L A E,，AE_L平面 P B C,二 AE_LF,.AEF一定为直角三角形，故 D 说法正确.11.答案：AC解析：原 点O到直线I的距离为d=)=l,则直线I与 圆 炉+9=1相切，当AP,AQ均为V12+12圆f+2=1的切线时，NPAQ取得最大值.连接O P,O Q,由于NPAQ的最大值为90,且ZAPO=ZAQO=90,|OPH O Q=l,故四边形 APO。为正方形，所以|。4|=&|OP|=夜，设点A的坐标为,友),由两点间的距离公式得|。41=卜+(播-=0 ,整理得2产-2万=0,解得f=0或”拉，因此，点A的坐标为(0,虚)或(a,0).故选AC.12.答案：AD解析：因为a“可看成关于的一次函数，所以数列 “是等差数列，设其公差为，则)=12解得 t或 宴室所以数列间的通项公式为。或%=2 一4,选项A正确；当4 0时，出0=36，52O=23 6X2O=34O,故选项B不正确；易知4=2,闾=2,因此(工修2 1 +4，选项C不正确；当q 0 时，4=2,an-2n+4,aASn=2 x-x n =2(3-n),选项 D 正确.故选 AD.2 213.答案：E-工=12 4解析：与双曲线与-六 有公共渐近线的双曲线的方程可设为与一 丫2川人。)，O2.双曲线过(2,-2),./=-(-2)2=-2,292 9因此三y2=2,即2 1 三=1,2 2 42 2故 答 案 为 二-三=1.2 414.答案：y=sin(2jur)(答案不唯一)解析：由题意，“/。1函数”是非零函数，且对任意x e R,都有/(x+D =/(x)恒成立，所以f(x)是周期为1的非零函数，例如非零常数函数，乃sin(2u),y=cos(2口)等.72115.答案：7U ll UllU UUU ULI U11U解析：T&OA=a,Ofi=b,OC=c,则|。4|=1,|。8|=2,U l l U t il1a b=OA OBcosAOB=2cosZAOB=-1,/.cosZAOB=一 一 ,/.ZAOB=120,2又c=Aa+(l-4 c(a-3=。，.,点C在线段A 8上，且OC_LAB.易知|AB=Q(a b)2=a2 2a b+b=Jl+2+4=v 7，i nun mni i uir mu、万 uum ./Q uum 质.FY由A3|OC|=Q4|O3|sinl20。，可得 J|O C|=二,.|OC|=,即|c|二 J.2 2 2 2 7 716.答案：1解析：由题意可知，x(ev-6/)-6/ln x-l 0,B P xe1-f/(lnx+x)-1 0.令 f M =xex-6;(ln x+x)-l(x 0),则/r(x)=(x+l)I x J当Q 0,此时函数/(x)在(0,+oo)上单调递增,当时，/(x)0 时，方程/=在(0,0)上只有一个解，X令e”=9，则当时，ev-0,:.fx)09函数/(幻在(面，”0)上单调递增;玉)x当0 c x e 为 时,ex-0,:.f(x)0,函数/(x)在(0,x0)上单调递减，X(x)min=/(%)=%e&-c(lnx0+x0)-l=a-a ln -l.令 g(a)=a-a ln a-I,贝 U g=0,g(a)=l-ln a-l=-lna,当 0 a 0,；.g(a)在(0,1)上单调递增；当 a 1 时，g(a),且A 8为平面PAB与平面4 8 c o的交线，C E u平面4BC,.CEJ 平面 PAB.R4u平面 PA8,:.CEPA.又_L%,C E c C F =C ,.1R4_L平面 CFE.EF u平面 CFE,PAA.EF.p(2)连接 P E,;PA=P B,且 E为 A B 的中点，:.PEAB.平 面平面A B C C,且 A B 为平面P A 8 与平面A B C。的交线，/=平面尸4 8,二庄_ 1 _ 平面A B C。，EB,EC,E P 两两垂直，以点E为坐标原点，丽 方向为x 轴正方向，方方向为)，轴正方向，丽 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.;PB=PA=y/5,BE=-A B =,2由勾股定理可得 PE=yjPB2-BE2=2,CE=B C2-B E1=G ,P(0,0,2),8(1,0,0),C(0,V 3,0),0(-2,石,0),.-.B C=(-l,x/3,0),P d =(0,后,-2),C D =(-2,0,0).设平面P B C 的法向量为%=(X ,y,z J ,由前=得|一大+%=0,i A =0,1 回-24 =0,向(/?取 乂=1,则 玉=石，z(=,则”|=.2 I 2,设平面P C D的法向量为%=(%,%，z?)，n2-P C=0,得.y/3y2-2z2=0,n2 C D =0,-2X2=0,取 丫 2=1，贝 UZ2=，则 2=0,1,-.二面角。-PC-8的 正 弦 值 为=噜 丫 220.答 案:(1)+/=14垦=4S?解析：设点4(石,)，B(x2,y2),2 2 2 2 2 2 2 2代入椭圆c的方程得毛+4=i,4+4=1-两 式 相 减 得 匕 豆+互/=o,a2 h2 a2 b2 a2 h2即(X|-X 2)(x +X 2)+()1-乃)()1+)2)=0a2 b2所以/+卡用SJa2=b2+c2,=,a 2解得 a?=4 ,b2=19r2所以椭圆C的方程为L +y2=i.4（2）根据题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为、=丘+6,点 （电，为），。（%了 4），X 2 _ .联立 了+）=L 消去y 并整理得（1 +4 合卜2 +8助田+4 伊 _ i）=o.y=kx+b,.=（8勘 2-4（1 +4/?卜 4 伊-1）=64 严 _ 1 62 +1 6 0,:.4 k2+lb2,8kb _ 4 伊-1）.西+XA ，为 4 =勺4 1 +4/1 +4 产（x3-2）（X4-2）+y3y4=0,则（与 一 2）（&-2）+（a +6）（5 +6）=0,整理得1 2 d+1 6妨+5/=0,解得左=6 或左=_ 9 62 6当=-夕 时，直线尸Q 的方程为y=b（-；x+l）,不符合题意；当k=-*b,直线PQ 的方程为 =-*1 ,过定点用仔,。=AiMy3-y4 ,S2=|B,M|y3-y4|,.SM|（一”飞|画 2_6-521.答案：（1）某学生选择参观的3 个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为空30（2）随机变量X 的分布列见解析，数学期望E（X）=2解析：（1）设某学生选择参观的3 个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A,由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4 个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3 个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3 个.C3 29则尸(A)=l-品Ci。30所以某学生选择参观的3 个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为三.30（2）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,C：7 CC；21尸(x=o)=T=,p(x=i)=号 =c：24 403号看尸-3)=*,所以随机变量X 的分布列为X0123p72421407401T20数学期望夙X)=0 x 工+1X A+2XZ +3X-L =2.24 40 40 120 1022.答案：（1）取值范围为（0,e）.（2）证明过程见解析.0、解析：(1)由/(%)上得-ln a ln x,即 e11-ln a ln x.a两边同时加x 得炉一“+x-lnaem +nx,令 m(t)=ez 4-r,则 m(x-ln d)m(ln x).Q m(Z)为增函数，:.xnanx,即 Ina v x-ln x.X 1令 p(x)=x-nx,则 p (x)=-x二.p(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+oo)上单调递增,二 (%焉=1，/.I n a v l,解得O v a v e,故实数。的取值范围为(0,e).(2)g(x)=a2x-ev+f(x)=0,则“=处.X令/i(x)=处，则/(力=上隼，X X-令“(X)0,得 0 cxve,令 (x)e,所以饵x)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，则(X)m a x =以 已)=L 且当 X 1 时，/?(%)0.e函数晨x)有两个不同的零点4%，即关于X的方程用(%)=在(0,+00)上有两个不相等的实根X 1,%,即直线y=a与函数以幻的图象有两个不同的交点，所以0 V 4 Le不妨设不 占，则易得1 X v e e,只需证x .为e2又工2 e ,(不)=(工2)，不/2 所以只需证令 F(x)=h(x)-h (1 x 0,4 r-V 0,所以 F(x)0,x e2则尸在(l,e)上单调递增，(2、所以尸(x)v O,即力(再).