2021年高考数学考点47两直线的位置关系距离公式必刷题理【含答案】.pdf

考点4 7两直线的位置关系、距离公式,x+y-l 0 x-v+2x y+1 0 z=-1.若实数x，y满足不等式组2x+y-4 W 0,则目标函数 X-3的最大值是（）1 1 3A.1 B.3 C.2 D.5B【解析】分析：画出可行域，将z =形 为2=1-三，三表示可行域内的点与月（3,5旌线的斜率，由图 知 最 小，2最大，从而可得结果.详解：，x +y -1 0画出约束条件)A-y +l 0表示的可行域，如图,2x +y -4 0 时，x 当 0 时，综上,4V=X+-X,符合定义.同理可知B,c,D不符合定义.故选A.4.已 知 满 足oO-822/-yXy-+z=ox+by(a b 0)的最大值为2,则直线ax+by-1=0过 定 点()时A.(3,1)B.(-1,3 C.(1,3)D.(-3,1)A【解析】由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系，再代入直线”+匕-1=0 由直线系方程得答案.详解:由z =n x +by(a b 0),得了=域，如图所示，数学结合可知在点B(6,2处 取得最大值，6a +2b =2,即：3过定点(3.1).故选A.5.若直线1：a x +b y+l=0 始终平分圆M：x?+y 2+4x +2y +l =0 的周长,值为()A.而 B.5 C.2 4 D.10B分析：由圆的方程得到圆心坐标(-2,-1),代入直线的方程得2a+b-1=0,(-2尸+(b -2)2的几何意义，即可求解答案.详解：由直线琉+b y +1=0始终平分圆M的周长，则直线必过圆”的圆心，由圆的方程可得圆M的圆心坐标M(-2,-1),代入直线+by+1=0的方程可得2a +b -1=0,又由(a -2)2+(b-2)2表示点(2,2)到直线2a +b -1=。的距离的平方，d_|2 x 2 +2 x l-l|_由点到直线的距离公式得/“、，所以(a -2)2+(b -2)2的最小值为d 2=(后 2=5,故选B6.两条平行线12%-5丁 +10=0与1 2%-5 b 1 6 =0的距离是()A.4 B.6 C.2 D.5；*+：(-：=一1),画出可行O O X 0/+b =1,直线 a x +b y -1=0则(a 2)2+(b 2)2 的最小再由表达式C分析：根据两条平行线之间的距离公式，即可求解两条平行线之间的距离.详解：由两条平行线12丫-5丫+10=0与12*_ 5丫_16=0,|10-(-16)|a=；-=2由两条平行线之间的距离公式可得,122+(-5)2，故选C.2 2L_L=i7.已知双 曲 线b2(a 0,b 0)的离心率为依，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之 比 为()J 史 坦 坦A.2 B.2 C.3 D.2C【解析】分析：过双曲线的顶点A、焦 点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C,运用离心率公式计算即可得到所求值.详解：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C,一 一 指 生 _ 一 3 1 -9-匹，一、力.叫 一 回 二 一 3,故答案为：C8.己知点P是直线%+丫-6=0上的动点，由点P向圆O：/+y 2=i引切线，切点分别为M,N,且4M P N =90,若满足以上条件的点P有且只有一个，则6=()A.2 B.2 C.*D.士媳B【解析】分析：先分析得到四边形P M O N是正方形，再分析出O P _ U,再根据点到直线的距离求出b的值.详解：由题得4M。=d N O =S O N=9 0。.M。=O N =1,二.四边形P M O N是正方形，.|P O|=、.满足以上条件的点P有目只有一个，：.OPLl,V2=L.L.:.b=2.vl+l故选B.追 上9.已知招尸满足约束条件U+y-m s o,若 +1的最大值为2,则加的值为A.4 B.5 C.8 D.9B根据几何意义，羊即 为 点(x,y)与(-1,0)连线的斜率y因 为 干 的最大一值为2,即可行域内与(-1,0)连线的斜率的最大值为2画出可行域由图可知，定点M 与 A 点连名戋斜率最大，则 A 点坐标为I +：=0 交点解得交点A(L m-l)所以斜率女=3=2所以m=5所以选B2x+y-4 0,1 0.已 知 满 足 不 等 式 组 x-y -2 W 0,则z=k+一1|的最小值为()歹-3 4 0,A.2 B.C.&D.12D不等式组对应的可行域如图所示,因为Z二 及Jx+二)所以Z 表示可行域内一点到直线x+y-l=o 距离的V2倍,由可行域可知点A (2,0)到直线x+y-l=0 的距离最短,故Z m M =1.故选D.1 1.已 知 直 线 人 a x-y +2 a-l =0 和 办 3 x-(a-2)y +5 =平行，则实数a的值为-1；f a(Q -2)=-3当两直线平行时，有1 5 a H 3(2 a-l),解得a =-1,故答案是-L1 2 .已知a 0,b 0,若直线(。-1)+2 丫-1 =0 与直线4 +力=0 互相垂直，则岫的最大值是18【解析】分析：根据两直线垂直的条件，求出b满足的关系式，再利用基本不等式求出岫的最大值。详解：因为直线S-l)x+2 y-l =0与直线x +by=。互相垂直，所以(a -1)x 1 +2 5 =0,a +2&=1,又a 0,6 0,所以a b =：(a x 2b)0,2x+y-3 0,详解：画出X,y满足约束条件2x+y-3 1,目标函数=青的几何意义为动点P(x,y)到定点Q(-2,-D的斜率,当P位于A(-1,1)时，此 时QA的斜率最大，此时Zmax=g12,当P位于B(1,1)时，此时直线的斜率最小，目标函数片处的最小值是故答案为：-2 x +1 y?o,1 7.设约束条件I 组成的集合为。，对于。里任意点(“0 都在余 率为2的两条平行线之间,则 这 两 条 平 行 线 间 的 距 离 的 最 小 值 为.6非5(x2-2x+1-y2 0由题意，作出约束条件 0 x 2 所表示的平面区域,如图所示，对于。里任意点(x，y)都在斜率为2 的两条平行线方程为2 x-y+b=O,当直线过点4(0 1)和B(2,-1)时，解得b =1 和b =-5,止匕时直线2 x _ y +1 =o和2 x _ y _ 5 =0之间的距离最小,|l-(-5)|=6 g其最小值为M+f 5.1 31 8.（河南省洛阳市2 0 1 8届三模）已知抛物线c：y=-f,点4 B在抛物线上，且横坐标分别为-2,2,抛物线c上的点p在4 B之 间（不包括点4.点B）,过点B作直线4 P的垂线，垂足为Q.（1）求直线力P斜率k的取值范围；（2）求|P川,P Q I的最大值.2 7（TJ）;比.1解析】分析：（D设（X pL X p：）,得出“关于X p的函数，根据A p的范围得出k的范围；（2）根据月P,B Q的方程得出Q点坐标，根据距离公式计算P/l|,P Q I,得出IP川 P Q I关于k的函数，再根据函数单调性得出最大值.详解：（1）由题可知8（：,-：）,设P（X pL X p，），-xp 所以k=*=f+加（-1.1）,故直线”斜率k的取值范围是（Tl）.（2）直线月P：），=k x +k-；,直线取：犬+。+，一；=0,联立直线”，B Q方程可知点Q的横坐标为?=姿 券 政 1=仇一=不（m+1）=（kf e）PA=V l +f c(X p+7)=y/l+k-(l-k),所以|P川 j P Q|=(1 -k)%l +k),令f(x)=(1-x).l +x),-1 x 0 ,当一:xl时/（灯 0,故f（x）在（一 1.一上单调递增，在（一1 1）上单调递减.故f （X）m a x =f（-Z）=3 即IP川 IP Q I的最大值为？X2 y2E:-1-1 -1 9.设尸1、2 分 别 是 椭 圆4 b2 的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，P 0.P F 2 的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线 =的-1 与椭圆芯交于4 B 两点，点4关于*轴的对称点为/（4 与B 不重合），则直线4B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.x2 F y2=1（1）4;（2）见解析.分 析:由 题 意 可 得 入（-4-b，o）,F 2（7 口，0）,设尸（即0,根据P 耳.的最大值可得b =1,从而得到桶圆的方程.（2）将直线方程代入椭圆方程消去x 后得到关于y 的二次方程，设4a l 必），可 勺 ），则y+yi _ xf1（*1，-y。，则可得经过点1,B 的直线方和为乃+乃 乂 2-4，令y =0,结合根与系数的关系可得X=-4,从而可得直线与冷由交于定点（-4,0）.详解：（1）由题意得。=2,c=b,后 0.设月（A，九），则故 刈+於=悬？y 於=品 ,B(xg的 直 线 方 和 为 寓=生,令）,=0,贝 以=署1力+/=。鬻3=甯产，又x，=ky1-1 x；=ky1一1,6k 2k_*必 +32_（3 2-1）丫1 +（%-1）丫2 _ 2 3必-仇+丫2）_ k2+4 f c2+4y i+y2 y i +y2 2k 2kk2+4 k2+4即当x=-4时，y =0.，直线4B与x轴交于定点（-4,0）.2 0.选修4-4：坐标系与参数方程(X=+tcoscty=tsina(t为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P?-2 pc o s O-4ps i M+4=0.(1)若直线 与C相切，求1的直角坐标方程；(2)若ta n a =2,设，与C的交点为4 B,求A 04B的面积.2(1)y =3(x-1)(2)5【解析】分析：(1)先根据直线与C相切得到k的值，再写出直线的直角坐标方程42冼 求AB的长，再求点C到直线AB的距离，最 后 求 的 面 积 一详解：(D由工=08$/)，=Q小仇可得(?的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y +4=0,即(x -I)2+(y 2)2=1,F y =:s；鬻。消去参数乙可得)=ta n a(x-1)，设k =ta n a,则直线I的方程为y =k(x-1),由题意，圆心直线I的距离虑=悟!=1,解得k =b 0)的左右顶点分别为公，冬，点P(2,l)在椭圆C上，且的面积为(1)求椭圆C的方程；3(2)设直线 不经过点P且与椭圆C交于4 B两点，若直线P 4与直线P B的斜率之积为&证明：直线1过顶点.x2 y2+=18 2 .(2)见解析.【解析】分析：第一问利用三角形的面积求得。所满足的关系，结合点在椭圆上，以及椭圆中。也。的关系,求得其值，得到椭圆的方程，第二问涉及直线与椭圆相交，需要设出直线的方程，先去蛉证直线的斜率是存在的，设出方程之后，与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到其两根和与两根积，利用题中所给的斜率的关系，得出等量关系式，从而求得直线过定点.详解：(D由题意可设椭圆的半焦距为一所以椭圆C的方程为：；+4=1二 +己=1 _(2)8 2 当直线/的斜率不存在时，可设其方程为r =x；(-2、二乙2、氏且打工2),不妨设月(A M),B(X D Z)且放+?=1故人 -kPB=7,就？=3巴)1代换化简得：-6 2+8 =0=xx=2,xx=4不合题意X2 y2.-+-=I8 2 设直线/的方程为y =k x +m,4(x-%)，A(xz,y )xy2=k x +7nty2,n (4k2+l)x2+Bkmx+4?n:-8 =0一+=1B 2(4k:+l)x=+8 f c?n x +4m2 8 =0=J =1 6(8 f r2+2 -?n2)0=8 f c-+2 -?n2 0,由八,X二是上方程的两个根可知：”(3二=获 年“=笠，%=铝=”=；X 1.X2 JTI 4 2 4|-4化简整理得：8代+6km+?n2+?n -2 =0即(4k +7 n +2)(2 k +m -1)=0故m =-4k -2或m =-2 k +1 (舍去，因为此时直线经过点P(2)把?n =-4k-2 代入 得 4k。-8 k +1 0=k 二二所以直线方程为y =kx-4k-2(fc 0)的焦点到直线1：x-y +2 =0的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)若直线4B是经过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交于4 B两点，过定点Q作4B的垂心与抛物线交于G,0两点，求四边形4G B D面积的最小值.(1)y2=2 x；(2)2 05分析：(1)根据焦点到直线4 x-y+2 =0的距离为丁求出p的值得到抛物线E的方程.(2)先求出四边形S=2 M+2 .1 4(/+g +34G B D面积的表达式 1 m m,再换元求函数的最小值.P7(-,0)详解：(1)由题意，y2=2Px,焦点坐标为2 ,由点到直线的距离公式粤=手，得P=1或P=-9 (舍去)，所以抛物线的标准方程是尸=2x.(2)设直线月B的方程为x=my+2(m*0),设4 B(x2,ys),联立(2 得尸 一 2 m y-4=0,则)、+y:=2m,)口七=一4,|4B|=V1+?712|-y21 =V1+?n:v4?n:+16=2v 1 4-m2 v)n2+4,设Ga?,%),D(x4.y4),同理得|GD|=2、哈二+1 J(；)二 +4,则四边形AGBD的面积S=7|?1S|-GD=2门+而.J(打+1 7 加 一4 4=2/M +2 卜(小二+白 +17,令而+言=2),见|5=2心 +2)(4+17)=4J 4*+25+34,S=2 J 4*+25+34是关于的增函数,故5m hi=2 0,当且仅当m=IB寸取得最小值20.+4=1 巫2 3.己知 椭 圆 b2(a b 0)的焦距为2,离心率为2,右顶点为4(I)求该椭圆的方程；(I I)过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q,求证：直线4P,4Q的斜率之和为定值.x2 Fy2=1(I)2.(I I)见解析.分析：(I)由椭圆的焦距和离心率可得c=l,a=A 故b=l,从而可得椭圆的方程.(I I)讨论直线PQ的斜率，当斜率存在时设其方程为y=展-/k-娘，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得心P+&Q=L即得结论成立.详解：(D由题意可知2 c =2,故c =1,又 e=：,a.a =.椭圆方程为9+尸=1.(I I)由题意得，当直线P Q的斜率不存在时，不符合题意；当直线P Q的斜率存在时，设直线P Q的方程为y+收=k(x-vl),即)，=kx-y!2k-y!2.y=kx 2.k v 2由卜 小 一 消去 y 整理得(1 +2 M)/-4、2 k:+k)x+4k:+8 k+2 =0,+y-=1.直线与椭圆交于两点，：.A=-4(8 k +i)0,解得设P(xM)，Q(4，%)，贝氏+*:=，又由v2 0),.kr.1 r.-yi 1 yz _ k(xlMt2)/2.v3(X|+x2)-4 AP+kA Q-+-x)_v%+47H -2 k-八八 _几+川+；-1-即直线4P,A Q的斜率之和为定值.2 4.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点?在V轴的正半轴上,点4是抛物线上的一点，以4为圆心,2 为半径的圆与V轴相切，切点为E(I)求抛物线的标准方程：(11)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线血的方程.1 1y=-X+6 y=1+6(1 )无2 =4y.(H)直线m的方程为 2 或 2.【解析】试题分析:(D设抛物线方程为代=2 p y(p 0),由以A为圆心，2为半径的圆与)轴相切，切点为F,可得p=2,故所求方程为x：=4y.(H)由题意设出直线 i的方程为y=k x+6,并设P(XQ，J，Q(X，),由导数的几何意义可得抛物线在点P(h?)处 的 切 线 方 程 为=&x-x j,令)，=一 1,可得处宅,一1).根据QER三4 4 1 X 点共线得%尸=kF R,整理得Cx1Xz)-4(xx+x2)=-2x1Xz+1 6 +16x,xz=0,然后结合根与系数的关系可解得k =于是可得直线?n的方程.试题解析：(I)设抛物线方程为犬=2py(p 0),:以月为圆心，2为半径的圆与.玮由相切，切点为F,，p=2,该抛物线的标准方程为好=4y.0.设P(X i,yi)，Q(x：y2)则ZJ-24-抛物线在点P g 1 处的切线方程为y-3 =r d令y=-L得、=三 卜 可 得 点 R(土3 一1),由Q,F.R二点共线得尸=kpR,-=左三即(入彳-4)(x：-4)+16x_x：=0,*2 J X 乙2X j整理得 6 0）的 离 心 率 为 等，且 点 一 等）在椭圆。上.（1）求椭圆C的方程;（I I）已知不经过/点的直线/:少=方-+，与椭圆C交于P,。两点，。关于原点的对称点为火（与点/不 重 合），直线40,Z R与y轴分别交于两点,N,证明：A M =A N .(1)+/=1 (2)见解析4-试题分析：（1）第（1）问，根据已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程即得椭圆。的方程.（2）第（2）问，转化成证明N O A/Z =N。乂4,再转化成证明七N+E”=0,再利用韦达定理证明KAN+3M=0-试题解析:L-L(1)由 =且 可 得2 =_L,所以 a 2a 2 a 2 1 3 ,-1-=1a2 4b2a=2，解得b-1所以椭圆的方程为：+y2=l.44y=x+r设尸孙.1，2）出1-.”），联立方程，得,2 4-V 2 =11解得Y+A/5ZX+尸一 1=0所以A=4户 0：即一2，2,xx4-x2=-y/3t,Aj-x2=r:-1,=y/3xx2+r（再+电）+（/*_ 11 +r I -y/3t|+3=0.NOM4=/ONA,AM=AN.