2021考研数学（二）真题答案.pdf

2021考研数学试卷答案速查（数学二）一、选择题(1)(C)(6)(C)(2)(7)(D)(B)(3)(C)(8)(B)(4)(A)(9)(D)(5)(D)(10)(C)二、填空题,、1(11)In 3(12)23(13)1(14)7 12c o s2 兀(15)y=Cj C*+e 2C2c o s x+C3s in x(16)5三、解答题）【解析】原式已吧1+e dtxx-ex+1(e -l)si n x（2分）q i n +l si n xf erdtl i m s n e+1+.2 1 1 I。(e*1)si n x-。(eA-1)si n x（4分）=l i mx-0X+o(x“)+1 -1 +X +)xe2dtJ +l i m-X（7分）=l i m-2；炉+心2）X2+l i m e*(9 分)A-0（10 分）（18）【解析】/（%）=2x+x20,2 x+x2(1+4 x 0 x=0,f(x)=0凹区间：（一 8,-1）2（0,+8）；凸区间：（-1,0）（6 分）l i m f(x)=l i m x+l x 1+x2(1+X)3 2(1+4=8,垂直渐近线：x=-l.（7分）x 0./（x）.X2 1 1./、1 v X2-X-X2 1 /c 八、hm-=hm-=I,h m f（x）-x=hm-=-l,（9 分）X-+8 X X f+8+元）X f+8 L +8 1 +xvf（x）r x2 v r 2*/i v f+x +Jl i m -=l i m-=-1,l i m I f（x）+x I =l i m-=1,（11 分）37 x SF x（l +x）a-0 0 XT-00 1+x斜渐近线：y =%1和 y =X+1.（12分）（19）【解析】等式左右两边对x 求导，华=,x-l,6 31 2 1/（X）=_X2_X2（2 分）长度 s-J：1 1 +f2（x）dx=J：J1+g dx=1H-X2i 25公（5 分）r9（1 1 1 -I （1 9-22=f *2+上x 2 心=上 三+%2=三.分）林2 2广13 儿3面积 A =J；2 1 f （x l +f2（x）dx=J：f l 2 2 M-x2-x23dx（10 分）二万 4 2.2 1 卜=/、33 厂（9-x2+x3 J4425乃.（12分）9（20）【解析】（1）求解微分方程：y-y=-,（1 分）X Xr 6则：y=eJx匕J，d x+C=x6=C?+1,（4 分）且 y（g）=1 0,故：y（x）=；f+i,（犬0）.（6 分）（2）设 p点的坐标为：（x,y）,法线：Y-y =（X-x）,y （x）过 p点的法线方程为：Y-y =一 一!（X-x）,（8分）2xX=o时，y轴上的截距：/0=y =T+y =7+!x6+,（9 分）2x 2x 39令/二 一2+2炉=0,得驻点：x=l,唯一的极值点为最值点，（11分）1 x4则/最小时，p的坐标为（12分）(21)【解析】Jjxydxdy=,厂c o se.rsi n 6/dr=D .I c o s si n1 or,dr(6分)=1 J：c o s e si n 夕 c o s2 2 0 dO=1si n 2夕 c o s2 2 0 d0(9 分)JT=-F c o s?2。4 c o s 26=-c o s3 2 6=.(12 分)16Jo 48 0 48(22)【解析】2-2AE-A=-1-1(1)当 Z?=l 时,-1 02-2 0=(2-/?)(2-2)2-1 =(2-/?)(2-3)(2-1)=0(2分)-a A-b4=4 =1,4=3,A相似于对角矩阵，则r(E A)=l,a=l (4分)(E-A)=-1、T-1 0、T -1 0、-1 0f0 0 0 a 0,、0 0 0/(3E A)=-1、T-1 0、1 1 -2、1 0-0 1 -1T 2J、0 0 0；(、令可逆矩阵2=(,。2，。3)，使得p T A P =A=1 .(7分)、3,(2)当力=3时，4=4=3,4 =1,A相似于对角矩阵，则厂(3E A)=l,。=一1(9分)(3E A)(E -A)=-11CI0、00,100-1000、rn00,4=1,庆=00J100-270,0-1102、i，Ao j-1113、令可逆矩阵尸=（4,乩,网），使得P-AP=A=3.（12分）2021研究生入学考试考研数学试卷(数学二)一 选择题：1 10小题，每小题5分，共5 0分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纲指定位置上.1.J。(e 是/的(A)低阶无穷小(B)等价阶无穷小(C)高阶无穷小(D)同阶但非等价无穷小【分析】本题考查无穷小阶的判定，考生需熟练掌握常见的等价无穷小公式以及变限积分求导。【答案】(C)【解析】作商并取极限：J；(e T)d，(产 臼 2/lim-=lim-=lim=(),x-0 JQ.r-0 x-0 元。故分子是分母的高阶无穷小.选C oev-l n-x w 02./(x)=x 在 x=0 处1 ,x=0(A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值(C)可导且导数为零(D)可导且导数不为零【分析】本题考查连续、可导的判定，考生需熟练掌握连续、可导的定义式，以及极值存在的充分条件.【答案】(D)【解析】八0)=1而)/=lim=lim 一 一=1而三;可导自X-0 X A-0 X X T。X X T X 2然连续;选D3.有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为2cm/s,-3cm/5,当底面半径为10cm,高为5c机时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为(A)125Ttem3 1s,4Qncm2/s(B)1 ISncrn,/s,-40ncm2/s(C)IOOHCAH3/5,407icm2/s(D)lOOnc/n3/s,40ncm2/s【分析】本题考查导数的物理应用，考生需要熟练掌握基本的求导公式、圆柱体的体积、表面积公式。【答案】(C)【解析】设体积及表面积分别为V =7 tr2h,S=2 nrh+2 nr2,且有*嗒7所以当/=l(),/i =5 时，有d V ()有 2 个零点，则2 的取值范围是a0,山11/(%)0只 需/昌 。即 摩)=6-6。2 l,故x”a a a ab e.a5.设函数/(x)=sec%在 x =0 处的2 次泰勒多项式为l +o v+h/,则(A)a=1,Z?=-(B)a=,b=-(C)a=0,b=-(D)a=0,b=2 2 2 2【分析】本题考查在x =0 处的泰勒展开式，考生需熟练掌握常用的泰勒展开式.【答案】(D)【解析】因为secx 为偶函数，所以。=0。r n I./(x)1 CIX hx2 r/日另由-5-=0 可得X T。X f(x)-l-ax-bx2 sec x-1 7-1-cos x,1 ,l i m-z-=l i m-b=l i m z-b=b,D X 1。X 1。X C O S X 2所以26 .设函数f(x,y)可微，且/(x +l,e*)=x(x +l)2,/(x,x 2)=2x 2 n x,则()(A)dx +dy (B)dx-dy(C)dy(D)一dy【分析】本题考查多元函数求偏导，并且是复合函数中的抽象函数求偏导，考生需熟练掌握利用链式法求复合函数的偏导数.【答案】(C)【解析】由 /(x +1,e*)=(x +I n e*,/(x,/)=/I n /可知/(x,y)=/I n y ；因此工 (1,0)=2幻 心2Y=0,/；(l,0)=1,y(i.o)=O dx +I dy =dy.7.设函数/(x)在区间 0,1上连续，则J；/(x)dx =(A)(B)limt/f M1I 2 J 2 I 2 n)n l i m巧传平 )的次/目2f 8 H 2 n)n 合 12鹿【分析】本题考查数列求和求极限，并结合定积分定义.【答案】(B)(解析用特值法，令/(%)=1,则/(x)dx =1；JOn 2 k _ 1 1 1 1 1选 项(A),=/!=-,排除；同理，选 项(B)为“=1；M 2 n 2 n In 2 n1 2选 项(C)为2 =2,排除；选 项(D)为2 2=4排除；所以选择(B).n n1人攵方法二:将区间 0,1等分，每一块长度均为其中第女块小区间为，一，取区间的n n n中点为短=9一-1，由定义积分定义可知：2 nl i m 力 /(盘)工=l i m /(与平=/(X)，f 8 M n I 2 )n Jo故选B.A选项:T8 M2 k-l 12 nD 选项:l i m /=2 f2 f(x)dx.T0 M 2n)n Jo8.二次型f(xx2,x3)=(X,+X2)2+(X2+X3)2 一(七-X 1)2的正惯性指数和负惯性指数分别为(A)2,0(B)1,-1(C)2,1(D)1,2【分析】本题考查二次型的正负惯性指数，考生需熟练掌握如何判定可逆的线性变换，并求二次型的标准形.【答案】(B)【解析】二次型/(内,3)=知+8%2+4 七+5不，从而二次型矩阵 0 1 rA=1 2 1，求其特征值日后一4|=(/1+1)(/1 3)/1 =0,特征值分别为0,1,3,故正负J 1 o j惯性指数分别为1,-1.【典型错误】将原题看成已经完成配方的标准形，未判定是否为可逆的线性变换.9 .设 3 阶 矩 阵 4 =(%02，。3)，6 =(月，河,用)，若 向 量 组 可 以 由 向 量 组片,耳,3 线性表示，则(A)A x =0的 解 均 为&=0的解(B)4 彳=0的解均为5=0的解(C)B r =0的解均为A r =0的解(D)57%=0的解均为47 彳=0的解【分析】本题考查向量组的线性表示，方程组解的关系，考生需熟练掌握线性表示对应的方程组形式、秩的关系.【答案】(D)【解析】因 为 向 量 组 a?,4 可以由向量组用，尸2,同线性表示，所以存在三阶矩阵P，使得 A=BP,故*=设存在向量a使得5 丁。=0,那么ATa=PTSra=0,所以5Tx=0的解均为ATX=0的解.10 1、1 0.已知矩阵A2-1 1,若三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使 得PAQ为(T2-5J对角矩阵，则 尸、Q分别取(A)(C)(00(121一30 0、1 00 b(0n100I00、0013(B)2-100-321001000 0、(o 01 0012 3、-1 0,2 JI001 30 b(D)0 11 3002101 J【分 析】本题考查初等矩阵的应用：左行右列，结合矩阵乘法运算.【答 案】(C)【解 析】此题涉及矩阵的标准形，考纲并不涉及这个知识点，因此可采取特值法.将选项代入,C选项成立：二 填空题：11 16小题，每小题5 分，共 30分.请将答案写在答题里指定位置上.11.卜 13_ t dr=_.J-co【分 析】本题考查反常积分的计算，结合定积分的凑微分法，考生需熟练掌握常用的凑微分公式.1+00 2 广 内 2 c 2 I【解 析】原 式=2f x3-v dx=3 d(-x2)=-3-?.J。Jn ln30 In 312.设 函 数y=y(x)由参数方程1 x=2e+f+l则 到 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _y=4(r-l)e,+r-d r 1。【分 析】本题考查参数方程求导，考生需熟练掌握参数方程求一阶导、二阶导.2【答 案】-3【解 析】_dy/dt_ 4e+4(t-l)e+2tdr dLv/dr 2e+14fe+2f 3;=2z,2e+l所以d )/d fd r/d ff=0231 3.设 函 数 z =z(x,y)由 方 程(x +l)z +I n z -a r c t a n(2 A y)=1 确 定则dz豕 -,3(0,2)【答案】1【分析】本题考查多元函数求偏导，考生需熟练掌握隐函数求导法则.【解析】由题可知z(0,2)=l ,由隐函数的求导法则:1 4.已知函数dzdx=_(0,2)F；z .2)1 +4 丁/(x+D +l 0z(0.2)1。/寸或s i n；dy,则尸7 17【分析】本题考查变限积分求导，结合二重积分交换积分次序，定积分计算.【解析】由于二重积 分 中 的 积 分 限 均 包 含 变 量，由此交换积分次序可得s i n d r oy“2 y所以根据二重积分求导有广=s i n-d r,Ji t即:fs i n-x d x7 17 T2x 4=c o s 2 7 1 17 12c o s c o s 7 1 2=c o s 2 兀兀兀22、1 5.求解微分方程V -y =0的通解【分析】本题考查高阶常系数齐次线性微分方程求解，考生需熟练掌握常系数齐次线性方程的通解结构.【解析】特征方程为万1 =0,g|J(/l-l)(22+2 +l)=0,解得2 ._-l V 3 _ 1+6.4 =1,4,3 =-3-=21 故通解为丁=。户+屋5(。2cos冬+G sin16.求多项式/(x)=X122xX1-12x2x-11x中/项的系数为【答案】-5x x上1 X【解析】/(x)=2 2-11 2x2-1x 11 X生成(一1严3 2 1)4%3=4/；X1/（九）=2x 1 2.vr 2-1，生成（一1）2-1 1 x最终Y项的系数为 5。三 解 答 题：17 22小 题，共70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证明过程或演算步骤.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.X ,2 1 +e dr i17.求极限lim%-.i s eA-1 sinx /【答案】-2cin x-e*+1 f e df【解析】原式=、iim迎 一io （e-1）sin x-o e-121.sinx-x-ex-x-1 -eA=lim-lim-+lim-.v-0 J A-0 厂 x f 0 e”1 3 1 9-r -x=1-11611-lim2 +*1x X x-0 厂一 5.18.设函数/(x)=土 且，求函数/(%)的凹凸区间及渐近线.【分析】本题考查导数的应用：凹凸性和渐近线，考生需熟练掌握曲线凹凸性的判定，以及渐近线的求解步骤.【答案】凹区间为(Y0,1),(0,8 0),凸区间为(一1,0)；渐近线为X =1,y =x l和y =-x+l.所以其凹区间为(TO,1),(0,+8),凸区间为(一 1,0)。【解析】f(x)=-2 x+x2 八，x 0,(1+X)20,x =0,/(x)=,2 x+x2 _-7，%。；(l+x)2,2a,X 0.(1+4xxlim/(x)=lim 口 =o o ,有垂直渐近线 x =-1.X T-1 A-I 1 4-X.f(x).X2 1 .，/、1 r X2-X-X2 1h m-=lim-=1,lim f(x)-x=lim-=-1；X f+8 x x +8x(l+X)xf+8 +oo i +xv/(x).-x2 ./、i v x2+x 4-x2 1lim -=lim-=-1,lim I/(x)+x=lim-=1；xfy x x-7%(l+x)X T-30 a-0 0 l+x有斜渐近线y =%1和 y =+1.19 .设函数/(x)满足J 竽 =：f-x+c,L为曲线y =/(x)(4效k 9).记 L的长度为s,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为A ,求 s 和 A.【答案】s=，A =3425兀9【解析】等式左右两边对x求导：阜=一 1,=-/8 3 3=f:(x 1-x2+-X 2(222面积A =J；2肺(%)，1+/气 外 心=2兀-x33 3 J71221、一 肾 +X 22dx-x3 x-+x937425-71.4 9【典型错误】弧微分中的根号计算式需重新配方，才能去掉根号，简化定积分的计算.2 0.y=y(x)(x 0)是 微 分 方 程 冲6 y =-6满足y (G)=10的解.求y(x)；(2)设为曲线y(x)上的一点，记p处法线在y轴上的截距为Ip.I。最小时，求的坐标.1 4【答案】(1)武 幻=尤6 +1：(2)(1,-)【解析】(1)该一阶线性微分方程可化为标准形式：y-y=-,则X Xf-d L r .6 y=e x j e*dx+C =Cx6+1；又)，(8)=1 0,故 y(x)=g f +i(x 0)。(2)设点的坐标为(x,y),法线方程为Y y =-一J(X x)=-一、(X幻。y(x)2 xX=()时，y轴上的截距4d.+k.十 户。令/=-三+2%5=0,得驻点 =1,由实际问题可知此唯一的极值点为最小值点,x4此时的坐标为(1,).21.设O由 曲 线,+力2 =/一,2(*瞰y 0)与X轴围城，求J J x)drd)，.【答案】48【解析】J Jxydxdy=JJrco s，厂 sin。，rdr(6 分)D i 5i n4 J；CS 加 夕 co s?2 6 de=-J；sin 2夕 28d 61 1-4 co s_ 26 d(co s2。)=。16 。48，222.设矩阵4=111 0、2 0 仅有两个不同特征值，若 A相似于对角矩阵.求。,从求逆矩阵a b,P,使得 p T A P =A.-1 o r 1 0 -P【答案】=人=1时，p=1 0 1；。=1,。=3 时，P 1 0 1、0 1 1、0 1 L2-2 -1【解析】|2 E-A|=-1 2-2-1-a00 =(4 )(3)(4 1)0X-b(1)当b=l时，4 =4=L4=3,4相似于对角矩阵，则 A)=l,=1；-1-1 0 1 1 0 凹E-A =-1-1 0 0 0 0取四=,%=0-1-a 0,0 0 0、/1(1 -1 oP 00、3 E A =-1 1 0 40 1 -1,取名=-1-1 210 0 0)k 1 0 0、令可逆矩阵?=(四,%，%)，使得p T AP=/=0 1 0、0 0 3,(2)当。=3时，4=4=3,4=1,A相似于对角矩阵，则 3 E-A)=1,6 t=-lo-1113令可逆矩阵尸=（以，旦，/3）,使得小 四?=/=0,003070、0L