2019年高考真题文科数学（北京卷）.pdf
绝密本科目考试启用前绝密本科目考试启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|1x1，则 AB=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数 z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）（B）y=（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）1 （B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线（a0）的离心率是，则 a=z z3512yx2x12logyx1yx2221xya5（A）（B）4（C）2（D）（6）设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）（8）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为 （A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin 第二部分（非选择题 共 110 分）二、二、填空题共填空题共 6 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 30 分。分。（9）已知向量=（4，3），=（6，m），且，则 m=_（10）若 x，y 满 足 则的 最 小 值 为 _，最 大 值 为_（11）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ 612212152lgEmmEkmkE10.110APBabab2,1,4310,xyxy yx（13）已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_ 三、三、解答题共解答题共 6 小题，小题，共共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC 中，a=3，cosB=（）求 b，c 的值；（）求 sin（B+C）的值（16）（本小题 13 分）设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 2bc 12（17）（本小题 12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一 为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式 不大于 2 000 元 大于 2 000 元 仅使用 A 27 人 3 人 仅使用 B 24 人 1 人（）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化 现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合（）的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥中，平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 （19）（本小题 14 分）PABCDPA 已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为原点，直线与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点（20）（本小题 14 分）已知函数（）求曲线的斜率为 1 的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时，求 a 的值 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2222:1xyCab(1,0)(0,1)A:(1)l ykxt t 321()4f xxxx()yf x 2,4x 6()xf xx()|()()|()F xf xxaaR()F x 2,4 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C（7）A（8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）8（10）3 1（11）（12）40（13）若，则（答案不唯一）（14）130 15 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）由余弦定理，得 因为，所以 解得 所以（）由得 由正弦定理得 在中，22(1)4xy,lm lm2222cosbacacB222132 32bcc 2bc2221(2)32 32ccc 5c 7b 1cos2B 3sin2B 3 3sinsin14aABbABCBCA 所以（16）（共 13 分）解：（）设的公差为 因为，所以 因为成等比数列，所以 所以 解得 所以（）由（）知，所以，当时，；当时，所以，的最小值为（17）（共 12 分）解：（）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为（）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则（）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04 3 3sin()sin14BCA nad110a 23410,102,103ad ad ad 23410,8,6aaa23248106aaa2(22)(43)ddd 2d 1(1)212naandn212nan7n 0na 6n 0na nS630S 4010004001001()0.0425P C()P E答案示例1：可以认为有变化理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化所以可以认为有变化 答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化（18）（共14分）解：（）因为平面ABCD，所以 又因为底面ABCD为菱形，所以 所以平面PAC （）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PAAE 因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AECD 所以ABAE 所以AE平面PAB 所以平面PAB平面PAE（）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG 则FGAB，且FG=AB()P E()P EPA PABDBDACBD AE 12因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=AB 所以FGCE，且FG=CE 所以四边形CEGF为平行四边形 所以CFEG 因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE（19）（共 14 分）解：（I）由题意得，b2=1，c=1 所以a2=b2+c2=2 所以椭圆C的方程为（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为 令y=0，得点M的横坐标 又，从而 同理，由得 则，所以 122212xy1111yyxx111Mxxy 11ykxt11|1MxOMxkxt 22|1xONkxt 22,12ykxtxy222(12)4220kxktxt122412ktxxk 21222212tx xk1212|11xxOMONkxtkxt 12221212|(1)(1)x xk x xk txxt 又，所以 解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）（20）（共 14 分）解：（）由得 令，即，得或 又，所以曲线的斜率为 1 的切线方程是与，即与（）令 由得 令得或 的情况如下：所以的最小值为，最大值为 故，即 22222222212|224(1)()(1)1212tktktkk ttkk 12|1tt|2OMON12|21tt321()4f xxxx23()214fxxx()1fx232114xx 0 x 83x(0)0f88()327f()yf xyx88273yxyx6427yx()(),2,4g xf xx x 321()4g xxx23()24g xxx()0g x 0 x 83x(),()g x g xx2(2,0)08(0,)3838(,4)34()g x()g x6064270()g x606()0g x 6()xf xx（）由（）知，当时，；当时，；当时，综上，当最小时，3a ()(0)|(0)|3MFgaaa 3a ()(2)|(2)|63MFagaa3a ()3M a()M a3a
